ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА И МЕХАНИКА
Том 77. Вып. 5, 2013
УДК 532.546
© 2013 г. Э. Н. Береславский
О ПРИМЕНЕНИИ УРАВНЕНИЙ КЛАССА ФУКСА ДЛЯ РАСЧЕТА ФИЛЬТРАЦИИ ИЗ КАНАЛОВ И ОРОСИТЕЛЕЙ
В рамках теории плоской установившейся фильтрации несжимаемой жидкости по закону Дарси рассматриваются некоторые схемы фильтрационных течений из каналов и оросителей ирригационных систем через почвенный слой, подстилаемый хорошо проницаемым напорным водоносным горизонтом или непроницаемым основанием. Для их исследования формулируются смешанные краевые многопараметрические задачи теории аналитических функций, которые решаются с помощью метода П.Я. Полуба-риновой-Кочиной и интегрирования дифференциальных уравнений класса Фукса, характерных для задач подземной гидромеханики. На базе этих моделей разработаны алгоритмы расчета размеров зоны насыщения в случаях, когда при фильтрации воды из каналов или оросителей приходится оценивать совместное влияние на картину движения таких важных факторов как подпор со стороны нижележащего напорного водоносного горизонта или водоупора, капиллярность грунта и испарение со свободной поверхности грунтовых вод. Результаты расчетов для всех схем течения сопоставляются при одинаковых фильтрационных характеристиках.
Известно (см., например, обзоры [1—4]), что при математическом моделировании течений из каналов и оросителей используются самые разные методы исследования: применяются аналитические функции, введенные разными авторами [5—9], метод конформных отображений прямолинейных многоугольников, основанный на применении формулы Кристоффеля—Шварца [10—14] и функций Б.К. Ризенкампфа и Н.Н. Веригина [15], метод П.Я. Полубариновой-Кочи-ной, основанный на применении аналитической теории линейных дифференциальных уравнений класса Фукса [16—19], теория обратных краевых задач [20] и т.д. При всей значимости перечисленных исследований изыскания в указанном направлении пока разобщены и не в полной мере отражают специфику движений из каналов и оросителей, которая характеризуется совместным действием следующих определяющих факторов: подпором со стороны нижележащего сильнопроницаемого горизонта, содержащего напорные подземные воды, или непроницаемого основания, капиллярности грунта, а также испарения (или инфильтрации) со свободной поверхности. Изучалась фильтрация из системы каналов и оросителей бороздового типа через почвенный слой с нижележащим сильнопроницаемым напорным водоносным горизонтом при наличии капиллярности грунта и испарения (инфильтрации) со свободной поверхности [21].
В отличие от названных исследований ниже, как непосредственное продолжение и развитие предыдущих результатов автора [21—23], случаи фильтрации из каналов и оросителей, в том числе и при наличии в нижележащем основании сильнопроницаемого водоносного горизонта, содержащего напорные подземные воды, и водоупора рассматриваются одновременно (что, по-видимому, до сих пор не встречалось в литературе). Дается решение достаточно общей задачи о течении при учете совместного влияния капиллярности грунта и испарения (инфильтрации) со свободной поверхности грунтовых вод.
Показано, что решение задачи для оросителей получается из решения задачи фильтрации для каналов с помощью некоторого предельного перехода, связанного с неизвестным параметром конформного отображения, который содержится в искомых зависимостях. Приводится единообразная методика решения задач, которая позволяет рассматривать четыре различные схемы течения и учесть при исследовании сразу все указанные фильтрационные характеристики (подпор, капиллярность и испарение), что дает возможность оценить совместное влияние этих факторов на картину явлений. Для этой цели используется метод П.Я. Полубариновой-Ко-
Фиг. 1
чиной [1—4]. С помощью разработанных ранее [24—27] способов решения соответствующих линейных дифференциальных уравнений класса Фукса, которые весьма характерны для задач подземной гидромеханики [28, 29]1, решаются смешанные краевые многопараметрические задачи теории аналитических функций.
На основе полученных точных аналитических зависимостей и посредством численных расчетов проводится гидродинамический анализ влияния всех физических параметров рассматриваемых схем, а также дается сопоставление результатов математического моделирования при одинаковых фильтрационных характеристиках на картину течений в зависимости как от вида источников питания русловых вод (канал или ороситель), так и от вида подстилающего почвенный слой основания (хорошо проницаемый напорный горизонт или водоупор).
1. Фильтрация из каналов при наличии в основании сильнопроницаемого горизонта, содержащего напорные подземные воды (схема 1). Рассмотрим плоскую безнапорную стационарную фильтрацию несжимаемой жидкости в почвенном слое мощности T, подстилаемом хорошо проницаемым напорным водоносным горизонтом, из канала шириной 21 с малой глубиной воды при равномерном испарении со свободной поверхности интенсивности в (0 < в < 1), отнесенной к коэффициенту фильтрации грунта к = const. Ввиду симметрии области движения относительно оси y ограничимся изучением правой половины области z (фиг. 1). Задача состоит в нахождении комплексного потенциала течения ro(z) как функции, аналитической в указанной области и удовлетворяющей граничным условиям
AB: y = 0, ф = 0; BC: y = 0, у = Q
AF: x = 0, у = 0; FE: y = -T, ф = T - H0 = H (1.1)
CE: ф = -y + Нс, у = Q - (x -1 - lc)
Здесь ю = ф + iу (ф — потенциал скорости фильтрации, у — функция тока) и комплексная координата z = x + iy отнесены соответственно к кТи Т, Н0 — напор в сильям. также: Кочина П.Я., Береславский Э.Н., Кочина Н.Н. Аналитическая теория линейных дифференциальных уравнений класса Фукса и некоторые задачи подземной гидромеханики. Ч. 1. Препринт № 567. М.: Ин-т проблем механики, РАН, 1996. 122 с.
нопроницаемом водоносном горизонте, кс — статическая высота капиллярного поднятия грунтовой воды, Q — фильтрационный расход из канала, 1с — ширина капиллярного растекания воды.
В рассматриваемой постановке участок ВС, на котором у = Q, согласно распространенному подходу разных авторов [5—7, 1, 2] моделируется непроницаемой линией выхода капиллярных вод на поверхность земли. Определение ширины капиллярного растекания 1С наряду с расходом Q представляет значительный практический интерес.
Для решения задачи используем метод П.Я. Полубариновой-Кочиной, который основан на применении аналитической теории линейных дифференциальных уравнений класса Фукса [1, 30]. Вводится вспомогательная параметрическая переменная ^ и функции: г(0, конформно отображающая верхнюю полуплоскость ^ на область z при соответствии точек
Се = 0 Со = Л, Сс = 1 Ся = а также производные
Z =
dz
d z'
Q =
d Z
(1.2)
Определяя характеристические показатели функций 2 и О около регулярных особых точек [1], найдем, что они являются линейными комбинациями двух ветвей следующей функции Римана [1, 30]:
P
Za Zf 0 d i » - 1/2 - 1/2 -1/2 0 -v/ 2 32 Z
-1/2 -1/2 -i 2 v/2 2
Y
zVcZ+ZAXZ+ZFXI-O'
(1.3)
Y = P
0 d 1 ж 0 0 0 -(1 + v) / 2 Z 1/22 v -v /2
Видно, что ^ = — £>л и С = —Z^• — обыкновенные точки функции Y, представляющей последний символ Римана. Этому символу Римана соответствует линейное дифференциальное уравнение класса Фукса с четырьмя особыми точками, которое весьма характерно для задач подземной гидромеханики [28, 29] и в данном случае имеет вид
Y " + [± + -1 -v
1
v2Z Z-1 Z- d.
Y' +
v (1 + v) Z¡ 4 + Я. 0
Z (Z- 1)(Z- d)
Y = 0
(1.4)
где ^ = 2аг^ л/е. Напомним, что наряду с аффиксами и в уравнении (1.4) прообраз Л (0 < Л < 1) точки перегиба свободной поверхности, а также акцессорный параметр Х0 остаются неизвестными при постановке задачи и должны быть определены в ходе ее решения.
Замена переменных
Z = th21
(1.5)
переводит верхнюю полуплоскость Z в полуполосу Reí > 0, 0 < Imt < п/2 плоскости t при соответствии точек
ÍE
- 0, tF = if, tA = ia, tB = rn/2, tC
а уравнение (1.4) преобразует к виду
Фиг. 2
[( -1)еИ^ + 1]еЬ+ [v( -1)еИ^ +1 + v]sh2tY' +
(1.6)
+ [(v2 + v + x0)еИЬ - v - v2]Y = 0
Обратимся к области комплексной скорости щ, соответствующей граничным условиям (1.1), которая изображена на фиг. 2. Эта область, представляющая собой круговой четырехугольник с двумя прямыми углами, разрезом и углом пи, при вершине С, принадлежит классу многоугольников в полярных сетках [31] и была исследована ранее [23].
Были построены [24, 25] линейно независимые интегралы уравнения (1.6) в форме линейных комбинаций с неопределенными коэффициентами из известных частных решений более простого — гипергеометрического уравнения [1, 30, 31], которые в данном случае принимают вид
у / ч _ С1 ей t ей Vt + С2 1Vt v _ С1 ей 1V^ + С2 t ей Vt , ч
! V) - , Г2 (t) - (1.7)
ей t ей t
где С12 — неизвестные постоянные конформного отображения, подлежащие определению.
Функция, совершающая конформное отображение полуполосы плоскости ^ на рассматриваемой круговой четырехугольной плоскости щ, должна выражаться через отношение линейных комбинаций интегралов У() и Г2(0 (1.7). Составив такие комбинации и воспользовавшись соответствием вершин Е, С и В, получим
* = -41^1 . (1.8)
Y1 -
Учитывая, что м> = и принимая во внимание соотношения (1.3) и (1.5), придем к
зависимостям [23]
Z = - е^, п = ш + /Ц еь1+у/
л/е A(t) Д(/) (1.9)
Здесь М > 0 — масштабная постоянная моделирования, а = агс8тА,/ = агс8тГ (0 </< а < < п/2) и С = С2/С1 — неизвестные параметры конформного отображения. Отметим, что для фильтрационных задач рассматриваемого класса была исследована [26] получающаяся при этом система уравнений относительно всех неизвестных постоянных конформного отображения и установлена ее однозначная разрешимость.
В данном случае для определения неизвестных постоянных а,/, С и М служат выражения для задаваемых физических характеристик модели
a п/2 да a
-|ФAFdt = H, [ XAвdt = I --Ц- ГФвcdt = к, [YAFdt = T (1.10)
■' ■' cos(лv/2) ■' ■'
f a 0 f
Численным путем определяется монотонность функций, входящих в подынтегральные выражения левых частей уравнений системы (1.10), и, таким образом, дополнительно проверяется од
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.