ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА И МЕХАНИКА
Том 77. Вып. 6, 2013
УДК 532.5.013.4
© 2013 г. В. К. Андреев, В. Б. Бекежанова
О РЕШЕНИИ СО СВОБОДНЫМ ПАРАМЕТРОМ УРАВНЕНИЙ КОНВЕКЦИИ В ВЕРТИКАЛЬНОМ ЦИЛИНДРЕ ПРИ ОБЪЕМНОМ ПРОГРЕВЕ
В рамках приближения Обербека—Буссинеска построено точное решение уравнений свободной конвекции, описывающее течение вязкой теплопроводной жидкости в вертикальном цилиндре большого радиуса при радиационном нагреве. Исходная задача сведена к операторному уравнению с сильно нелинейным оператором, удовлетворяющим теореме Шаудера в С[0, 1]. Для определения независимого параметра, входящего в решение, предложена итерационная процедура, позволяющая найти три различных значения и, соответственно, три класса решений исходной задачи. Изучена линейная устойчивость всех полученных решений и показано, что при выбранных значениях параметров задачи наиболее опасной является плоская волновая мода и присутствуют два механизма неустойчивости. При этом структура течения и тип неустойчивости существенно зависят от значений свободного параметра.
Имеется большое количество работ по устойчивости плоскопараллельных течений, в том числе с поверхностями раздела, в горизонтальных слоях и каналах кругового и прямоугольного сечений при разных тепловых условиях на границах (см. историю данного вопроса [1, 2] и наиболее полные обзоры, в том числе по наклонным и вертикальным слоям, [3, 4]; см. также [5—17]).
Для вертикальных слоев хорошо изучена задача о течении жидкости, подогреваемой сбоку [18, 19]. Влияние движения границ на устойчивость данного течения с кубическим профилем скорости было исследовано в рамках полной постановки [20] и в гидродинамическом пределе [21]. Изучено воздействие продольного градиента давления [22].
В настоящей работе исследован плоский осесимметричный аналог решения Хименца уравнений Навье—Стокса. Полученное решение позволяет описать стационарное течение жидкости в области аномалии теплового расширения. Рассматриваемая задача содержит дополнительное интегральное соотношение и независимый параметр, задающий квадратичную зависимость давления от радиальной координаты. На основании теоремы Шаудера доказана разрешимость операторного уравнения, эквивалентного исходной задаче. С помощью построенной итерационной процедуры найдены три неподвижные точки соответствующего отображения и отвечающие им значения свободного параметра.
Структура исследуемого решения такова, что условие прилипания выполняется только на верхней и нижней границе цилиндра, а на боковой поверхности распределены источники и стоки с общим нулевым расходом. Подобная ситуация возникала и раньше при интерпретации решений Остроумова и Бириха при наличии условия замкнутости потока. Для задач о конвекции жидкости в вертикальных цилиндрах и горизонтальных плоских кюветах экспериментально и численно получены оценки области влияния условий прилипания на торцах цилиндра или вертикальных стенках кюветы и показано, что вдали от них течение хорошо аппроксимируется классическими решениями уравнений Обербека—Буссинеска. Это позволяет предполагать, что аналогичное свойство сохраняется и для решения, изучаемого в данной статье.
1. Точное решение. Пусть несжимаемая жидкость с постоянными кинематической вязкостью V, температуропроводностью х и теплопроводностью к заполняет цилиндр радиуса Я и высоты I (фиг. 1) с твердыми верхней (г = 0) и нижней (г = I) границами. Движение жидкости описывается уравнениями Обербека—Буссинеска [23]. В качестве уравнения состояния используется квадратичная зависимость
р = р0(1 - а(0 - 00)2)
Фиг. 1
где р0 — максимальное значение плотности, которое достигается при температуре инверсии 90 (температура аномалии теплового расширения жидкости); а — коэффициент теплового расширения, 9 — температура жидкости. Для воды р0 = 999.972 кг/м3, 90 = 277.13 К, а = 8.57 ■ 10-6 К-2.
В уравнении энергии дополнительно учитывается общая энергетическая функция теплового источника
г) = СТК яь ехр ( -к г)
В случае объемного поглощения (проникания солнечной радиации в жидкую среду) функция Fw определяется отношением ст интенсивности солнечной радиации к радиационному балансу Rb на поверхности жидкости и показателем поглощения к [24]. Вообще говоря, показатель поглощения не является постоянной величиной, а зависит
2 Прикладная математика и механика, № 6
от состояния, природы вещества, длины волны проходящего излучения и практически не зависит от мощности светового пучка.
В качестве входных данных выберем значения физических параметров задачи, характерные для озера Байкал: l = 730 м (средняя глубина озера), V = 1.45 ■ 10—3 м2/с, X =1.32 ■ 10—7 м2/с, k = 0.558 Вт/(м ■ К).
Поскольку задача рассматривается применительно к естественным водоемам, в функции Fw будет учтена коротковолновая радиация, а длинноволновая радиация, основная часть которой поглощается атмосферой, не учитывается. В таких условиях можно считать величину к постоянной, причем к ~ 0.2—0.4 м-1.
Решение, описывающее стационарное течение жидкости в цилиндре большого радиуса, будем искать в виде
и = (и, и, w), и = и (г) г, и = 0, w = w (г)
0 = 0(г), р = р(г) - ахг2/2 .
где u — радиальная компонента скорости, и — азимутальная, т — осевая, р — давление, параметр ах подлежит определению. Тогда в безразмерных переменных уравнения тепловой конвекции в цилиндрических координатах примут вид
2 и + = 0, и2 + = игг + а
2
= рг + wzz + Оа - Ог(0 - 1)
0^ = 10гг + /1^ (г) (О)
а = а 1/4 / V2, Оа = gli / V2, Ог = £а02 /3/V2, Рг = V/х /1 = стк^/ (к 00), К1 = к1, (г) = ехр (-К1 г)
Здесь Оа, Ог и Рг — числа Галилея, Грасгофа и Прандтля, fl — параметр тепловыделения, к и F1(z) — безразмерные показатель поглощения и функция теплового источника.
На твердых границах заданы условия
г = 1: и = w = 0, 0( 1) = 01
(1.3)
г = 0: и = w = 0, 0г( 0) = 910, ?1 = 001/( к00)
где Q0 и Q — характерный и безразмерный потоки тепла. При расчетах учитываются средние значения потоков тепла Q и радиационного баланса в период, когда озеро имеет ледяной покров (декабрь—апрель) [25, 26].
2. Сведение к операторному уравнению. Задача (1.2), (1.3) разделяется на последовательно решаемые задачи для определения и, т, р, 9.
Основная из них — краевая задача для нахождения функции и^) и параметра а
г
игг + 2иг |и(гМг - и2 + а = 0, 0 < г < 1, и (г) е с2(0, 1 )п С[0, 1 ] (2.1)
0
1
и( 0) = и (1) = 0, |и (г )йг = 0
0
(2.2)
Заметим, что при а = 0 задача (2.1), (2.2) является переопределенной и u(z) = 0 — ее единственное решение. Введем операторы
( г
E±(и) = exp ±2 Jи(т)dx , F(и) = Je-(и)da
Умножим уравнение (2.1) на Е+ (u) и проинтегрируем. Учитывая граничное условие ^0) = 0, получим
и(z) = J J(и2(p) - a)E+(и)dp
+ D
0 ""0
E-(и)da
^ — нелинейный функционал от решения D = aBj(и) - B2(и)
B(и) = ^ J jEp+(и)dp E-(и)da, B2(и) = J Ju (p)E+ (и)dp 0 L0 J 0L0 ■
(2.3)
(2.4) E- (и)da
определяемый граничным условием ^1) = 0.
Из третьего условия (2.2) и равенства (2.3) следует
1 zr О
JJ J(и2(p) - a)E+ (и) dp + D
0 0 L0
E- ( и) da dz = 0
откуда, используя соотношения (2.4), получим, что параметр а = a(u) — нелинейный функционал вида
1 z Г"
a = | JJ B2(и) - \и2(p)E(и)dp
00 1 z Г"
( a Л
exp -2 Ги (p)dp
К J J 0
da dz J- x
JJ Bi(и) - JEp+(и)dp
00
E-(и)da dz J
Таким образом, если решение u(z), z e [0, 1] известно, то параметр а определяется по нему единственным образом.
Рассмотрим в пространстве С[0, 1] замкнутый шар
S(0, r) = {и: ||и|| = max |и(z)| < r}
z e [0, 1 ]
и введем функции
£(r) = e2r - 1, n(r) = (e2r - 1)/(e2r - 2re~2r - 1)
0
0
-a
a
x
Нелинейные функционалы В:(и) > 0, В2(и) > 0 допускают на шаре £(0, г) оценки е-2' < Бх(и) < £(г)/(2г), 0 < Б2(и) < г^(г)/2
I I 2
Для параметра а на этом же шаре получим \а\ < г п(г) .
Оператор А преобразует шар £(0, г) в себя, если выполнено неравенство для г
\\Ли\\ < г£(г)(£(г) + 1 )(п(г) + 1/2) < г
где Аи — правая часть равенства (2.3). Следовательно, шар радиуса г0 « 0.304 оператор А переводит в себя. Кроме того, А — вполне непрерывный на нем. Поэтому по теореме
Шаудера в шаре £ (0, г0) имеется, по крайней мере одна, неподвижная точка оператора А, т.е. решение краевой задачи (2.1), (2.2). Заметим, что в этом шаре
|а| < 0.153 (2.5)
Таким образом, краевая задача (2.1), (2.2) для функции и(г) сведена к операторному уравнению с сильно нелинейным оператором А, удовлетворяющим теореме Шаудера в шаре £ (0, г0) пространства С[0, 1], откуда и следует разрешимость полученного уравнения.
3. Итерационная процедура определения параметра. Умножим уравнение (2.1) на и и проинтегрируем, учитывая условия (2.2). Очевидно, что любое решение задачи (2.1), (2.2) обладает свойством
11
2 |и3(г) йг + |и2(г) йг = 0 (3.1)
0 0
С другой стороны, интегрируя уравнение (2.1) и учитывая условия (2.2), получим
1
а = uz(0) - uz(1) + 3 |и2(г)йг (3.2)
0
Шаг 1. Выбирается функция и0(г), удовлетворяющая условиям (2.2) и (3.1). Шаг 2. Из равенства (3.2) определяется нулевое приближение параметра а0. Шаг 3. Из уравнения (2.1) находится приближение
г
и1гг = и2 - 2и0г ^г)йг - а0
0
удовлетворяющее граничным условиям (2.2).
Далее шаги 2 и 3 повторяются до достижения заданной точности. В качестве нулевых приближений и0, позволяющих с помощью предложенной итерационной процедуры определить три различных значения параметра а, были выбраны функции
и1 (г) = 0.216( - 10г4 + 10г3 + 3 г2 - 3 г)
и2 (г) = - 2 г5 + 5 г4 - 4.42 г3 + 1.63 г2 - 0.21г (13)
и0 (г) = г5 - 2.5г4 + 4.1 г3 - 3.65г2 + 1.05 г
Им соответствуют следующие значения параметра а:
а1 = -7.34 • 10-6, а = 9.12 • 10-7, а = 12.02 (3.4)
из которых первые два удовлетворяют оценке (2.5). Значение а3, по-видимому, не фи-зично, поскольку в таком случае давление должно существенно убывать в радиальном направлении. Например, при г = 10 м разность между давлением на оси цилиндра и значением р(г, 10) будет около 0.13 бар; если же г = 1000 м, то эта разность составляет около 1300 бар. Таким образом, построенное решение (1.1) описывает течение в центральной части цилиндра, радиус Я которого достаточно большой, но конечный.
П
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.