ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА И МЕХАНИКА
Том 78. Вып. 5, 2014
УДК 539.3
© 2014 г. М. Ю. Соколова, Д. В. Христич О СИММЕТРИИ ТЕРМОУПРУГИХ СВОЙСТВ КВАЗИКРИСТАЛЛОВ
Рассматриваются термоупругие свойства квазикристаллов, обладающих поворотными осями 5-го, 8-го, 10-го, 12-го порядков, не присущими кристаллическим телам. На основе группового анализа построены канонические представления тензоров второго и четвертого рангов, характеризующих свойства квазикристаллов. Доказаны принадлежность октагональных, декагональных и додекагональных квазикристаллов к классу трансверсаль-но-изотропных материалов и изотропия икосаэдрических квазикристаллов и фуллеренов.
Наряду с трансляционной симметрией [1] кристаллы обладают поворотной симметрией — свойством совмещаться с самим собой при повороте на некоторый определенный угол вокруг оси симметрии. Ось симметрии п-го порядка — это ось поворота на угол, кратный 2п/п. Однако трансляционная симметрия кристаллов накладывает ограничения на значения порядков осей симметрии. Известно [1], что в кристаллах возможно наличие поворотных осей только 2-го, 3-го, 4-го и 6-го порядков.
Открыты материалы (квазикристаллы), которые не имеют периодической кристаллической структуры, но обладают дальним порядком апериодического типа. Они могут иметь поворотные оси симметрии 5-го, 8-го, 10-го и более высоких порядков [2—6], недопустимые для периодически упорядоченных кристаллов. Известно [4], что существуют квазикристаллы двух типов пространственной симметрии: икосаэдрические и аксиальные. Икосаэдрические квазикристаллы имеют шесть осей симметрии 5-го порядка, десять осей симметрии 3-го порядка и центр симметрии. Однако центральная симметрия не влияет на структуру тензоров четных (в частности, второго и четвертого) рангов, описывающих физические свойства материалов [1], поэтому в дальнейшем преобразование симметрии относительно центра икосаэдрического квазикристалла не рассматривается. Аксиальные квазикристаллы имеют одну поворотную ось симметрии и квазипериодическое расположение атомов в плоскостях, перпендикулярных оси симметрии. Квазипериодические плоскости упакованы периодическим образом вдоль оси симметрии. Известны [4] аксиальные квазикристаллы с поворотными осями симметрии 5-го, 8-го, 10-го и 12-го порядков.
Цель работы — представление тензоров упругости квазикристаллов в каноническом виде и определение типа симметрии свойств, присущих квазикристаллам разных видов.
1. Общий подход к описанию симметрии свойств материалов. Рассмотрим анизотропное упругое тело, свободная энергия которого представляется разложением в ряд Тейлора
Г) = у(0, Т0) + ^ЙШ., + т - г0) +
д £ д Т
+1 2
д^02Т)... <ЕЕ) + 2. -г(Т - То) + д2^(0Т)(Т - Го)2
2 ^г» ГТ12
дЕ дгд Г дт2
+...
где £ — тензор деформаций, Т — температура, Т0 — начальная температура. Каждая точка означает скалярное произведение базисных векторов, входящих в диадные (поли-адные) представления перемножаемых тензоров.
Тензор второго ранга А = д2у/дг д Т и тензор четвертого ранга N = д2 у/д £2 в линейной теории упругости называют тензором температурных напряжений и тензором
упругости соответственно. В силу симметрии используемых в классической теории упругости тензоров напряжений и деформаций число независимых компонент тензора A равно 6, тензора N — 21. Если термоупругие свойства материала обладают некоторой симметрией, то количество независимых констант уменьшается, а тензоры приобретают более простую структуру.
В опытах по конкретизации свойств линейного анизотропного упругого материала требуется определить все независимые компоненты тензоров A и N, предварительно определив число этих компонент и, следовательно, структуру этих тензоров.
В кристаллографии и теории анизотропной упругости известны разные подходы к представлению тензоров A и N в каноническом (простейшем) виде [1, 7]. Один из возможных подходов — построение тензорных базисов, инвариантных относительно групп ортогональных преобразований, характеризующих симметрию физических свойств. Были предложены [8, 9] инвариантные комбинации базисных тензоров, которые образуют каноническую структуру тензоров свойств материалов, относящихся к одной из семи кристаллографических систем. Метод построения таких комбинаций может быть применен для определения структуры тензоров A и N, характеризующих свойства квазикристаллов.
Введем систему декартовых координат так, что вектор e3 направлен вдоль главной поворотной оси симметрии (перпендикулярно плоскости симметрии), вектор e2 вдоль возможной боковой поворотной оси, а вектор e1 выберем таким образом, чтобы тройка векторов e1, e2, e3 была правой и выполнялись условия e' ■ eJ = 8iJ (i, j = 1,2,3). Вы-
12 3
бранные таким образом векторы e , e , e определяют направление главных осей анизотропии [7].
Как и ранее [5, 7—9], построим "канонический" тензорный базис
т0 1 /„1„1 , „2 2 3 3, Т1 1 /"->„3 3 1 1 2 2ч
I = -р(ee + ee + ee ), I = -¡= (2ee -ee -ee )
43 4в
т2 1,11 2 2Ч т3 1 у 1 2 2 1ч /Л 1Ч
I =-:= (ee - ee ), I =-;= (ee + ee ) (1.1)
V2 V2
T4 1 у 2 3 3 2Ч T5 1/13 3 14
I =-;= (ee + ee ), I =-;= (ee + ee )
V2 V2
Он удовлетворяет условию Ia • -Iе = 8aß (а, ß = 0,1,..., 5),на его основе строится орто-нормированный базис полусимметричных тензоров четвертого ранга
Iaß = i(IaIß + IßIa) (1.2)
При ортогональном преобразовании Q = qijeiej базиса декартовой системы координат (ei)' = qijej тензорные базисы (1.1) и (1.2) изменяются по законам
(Iа)' = rnapIß, (Iaß)' = ma6I%y (1.3)
Компоненты maß связаны с компонентами qtj соотношениями
maß = ßßßkiqikqij (1.4)
Матрица преобразования с компонентами PaPoy имеет вид [8]
% О О п
, % =
1/>/з -1/л/б 1/V2 1/V3 -1/V6 -1/V2 1/V3 2/Vó
о
п = diag {1/V2,1/V2,1/V2)
О — нулевая (3 х 3) -матрица.
Любой симметричный (A¡j = Aj¡) тензор второго ранга однозначно представляется разложением по базису (1.1) в виде
A _ AaI > A _ Aj'e e 1 > Aa = ЭсхAij
(1.5)
а полусимметричный (Nijkl = Njikl = Nijlk = Nщ) тензор четвертого ранга — по базису (1.2) в виде
N = N apIав; N = Nykiele1 e kel, Nap = р^р ki
ijnkni
(1.6)
Если при некотором преобразовании Q системы координат для каких-либо базисных тензоров выполняются условия
(Iа) ' _ Iа (!аР)' _ IаР
(1.7)
то они называются инвариантными относительно преобразования Q.
В случае, когда преобразование Q входит в группу симметрии некоторого физического свойства, характеризующие это свойство тензоры содержат в своих разложениях (1.5) или (1.6) только инвариантные базисные тензоры.
На основе известных порождающих элементов для разных групп ортогональных преобразований, характеризующих симметрию свойств материалов, относящихся к различным кристаллографическим системам, были получены [8, 9] наборы базисных
1а таб г______^ ._ , I , инвариантных относительно этих преобразований и входящих в канонические представления тензоров A и N для кристаллических материалов. В таблице перечислены номера инвариантных базисных тензоров для материалов с разными типами симметрии.
Для квазикристаллов с разными типами симметрии также требуется получить наборы инвариантных базисных тензоров и выписать канонические представления тензоров A и N.
2. Свойства аксиальных квазикристаллов. Рассмотрим квазикристалл с поворотной осью симметрии 5-го порядка и плоскостью симметрии, перпендикулярной этой оси. Порождающий элемент группы симметрии такого квазикристалла — ортогональный тензор поворота следующего вида:
Г* 2п / 1 1 , 2 2Ч , • 2rt/ 12 2 К 3 3
Q = cos — (e e + e e ) + sin — (e e - ee ) + ee ,
= 5
(2.1)
В соответствии с соотношениями (1.4) для поворота (2.1) получаем (6 х 6)-матрицу, ненулевые элементы которой имеют вид
4п 4п
m00 = Шц = 1, m22 = m33 = cos —, m23 = -m32 = - sin —
n n
2n • 2п с
m44 = m55 = cos —, m45 = -m54 = sin —; n = 5
n n
(2.2)
Непосредственная проверка выполнения условий (1.7) показывает, что инвариантными относительно рассматриваемого преобразования являются базисные тензоры
второго ранга I0, I1 и тензоры четвертого ранга 100,101,111. Можно показать, что при повороте (2.1) инвариантными являются и линейные комбинации базисных тензоров
т22 т33 т44 т55 ^ »тут
1 + 1 , 1 + 1 . Тогда канонические представления тензоров А и N для квазикристалла, имеющего поворотную ось 5-го порядка, могут быть записаны в виде
А = V + 411, N = Nоо100 + N о/1 + ЖП1П + ^2(122 + 133) + N 44 (I44 +155) (2.3)
Это указывает на то, что линейные термоупругие свойства рассматриваемого материала аналогичны свойствам гексагональных кристаллов и свойствам трансверсаль-но-изотропных материалов (ТИМ), поскольку они имеют аналогичные наборы инвариантных базисных тензоров [8, 9].
Обобщим полученный результат на случай квазикристаллов с осью симметрии порядка п > 6 и перпендикулярной ей плоскостью симметрии. Порождающий элемент группы симметрии такого материала — поворот, которому соответствует матрица преобразования базисных тензоров; тензор поворота и матрица определяются по формулам (2.1) и (2.2) при п > 6.
Непосредственной проверкой доказывается, что инвариантными относительно преобразования (2.2) при п > 6 являются те же базисные тензоры и их линейные комбинации, что и при п = 5. Поэтому для квазикристаллов, имеющих поворотную ось симметрии порядка п > 6 и перпендикулярную ей плоскость симметрии, канонические представления тензоров А и N также имеют вид (2.3). Полученный результат полностью подтверждается экспериментальными данными по определению упругих свойств декагональных квазикристаллов [3].
Таким образом, для квазикристаллов с поворотной осью симметрии порядка п > 4 тензоры четвертого ранга одинаковые и совпадают с тензором четвертого ранга для ТИМ. Этот результат соответствует утверждению, содержащемуся в теореме Германа [1]: если тензор ранга г имеет ось симметрии порядка п и г < п, то он имеет и ось симметрии бесконечного порядка. Механические эксперименты по исследованию начальных упругих свойств и определению структуры тензора упругости N не позволяют отделить аксиальные квазикристаллы от кристаллов гексагональной сингонии и ТИМ.
3. Свойства икосаэдрических квазикристаллов. Симметри
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.