ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА И МЕХАНИКА
Том 77. Вып. 3, 2013
УДК 531.36
© 2013 г. В. И. Каленова, В. М. Морозов
О ВЛИЯНИИ ДИССИПАТИВНЫХ И ГИРОСКОПИЧЕСКИХ СИЛ НА УСТОЙЧИВОСТЬ ОДНОГО КЛАССА ЛИНЕЙНЫХ НЕСТАЦИОНАРНЫХ СИСТЕМ
Показано, что влияние диссипативных и гироскопических сил на потенциальную линейную нестационарную систему определенного класса существенно отличается от влияния этих сил на стационарную систему. Рассмотрены примеры. В первом из них изучаются уравнения движения диска, закрепленного на вращающемся невесомом упругом валу, при учете внешнего трения. Проведено сравнение полученных результатов с результатами, полученными ранее другими авторами при рассмотрении этой задачи. Во втором примере изучаются некоторые вопросы устойчивости вращения волчка Лагранжа, установленного на основании, подверженном вертикальным гармоническим вибрациям.
В отличие от линейных стационарных механических систем, для которых влияние сил различной физической природы на устойчивость движения детально исследовано (см., например, [1—7]), в случае нестационарных систем вопросы, связанные с влиянием гироскопических и диссипативных сил практически не изучены. Можно отметить лишь известный вывод о возможности расширения области неустойчивости при введении демпфирования в случае комбинационного резонанса в многомерной гамильтоновой системе с периодическими коэффициентами [8].
1. Приводимость линейных нестационарных механических систем. Для изучения влияния гироскопических и диссипативных сил на устойчивость нестационарных систем рассмотрим случай, когда многомерная однородная нестационарная система второго порядка приводится к системе с постоянными коэффициентами при помощи конструктивного преобразования (см. [9—11], где исследован ряд механических задач, математические модели которых относятся к рассматриваемому ниже классу).
Рассмотрим нестационарную систему второго порядка
где х — (п х 1)-вектор состояния, N (I) (I = 1,2,3) — (п х п)-матрицы с непрерывно дифференцируемыми элементами на интервале I, которые принадлежат классу систем, матрицы которых удовлетворяют уравнению
Nx(t)X + N2(t)X + N3(t)x = 0
(1.1)
N( = CNi - Nfi, C(n x n) = const Решения матричных уравнений (1.2) для матриц N (t) имеют вид N (t) = exp(Ct)N/0exp(-Ct)
(1.2)
(1.3)
В частности, если какая-либо из матриц N j (t) = Nj0 = const, то необходимо, чтобы
NjoC = CNj 0.
В большинстве задач механики матрица N1(t) симметричная. Можно показать, что матрица N1(t), представленная в виде (1.3), удовлетворяет свойствам симметрии, если матрица C кососимметричная (CT = — C), что и будем полагать.
Применив к системе (1.1) преобразование
х = exp(Ct )y (1.4)
получим стационарную систему [9—11]
M1yy + M2y + M3y = 0 (1.5)
Здесь
Mi = N10, M2 = 2NWC + N20, M3 = N10C2 + N20C + N30, N¡0 = N(0) (1.6)
Пусть для простоты N1(t) = En. В соответствии с традиционным представлением механической системы, на которую действуют гироскопические, диссипативные, потенциальные и неконсервативные позиционные силы, запишем систему (1.1) в виде
X + D(t)X + G(t)X + K (t )x + F (t )х = 0 (1.7)
Матрицы D(t) и K(t) — симметричные, G(t) и F(t) — кососимметричные, и все они по-прежнему удовлетворяют уравнению (1.2). При этом
N20 = D0 + G0, N30 = K0 + F).
Рассмотрим подробнее структуру стационарной системы (1.5), которую представим в виде
y + D1y + G1y + K1y + F1y = 0 (1.8)
D1 = D0, G1 = 2C + G0, K1 = K0 + C2 + D0- + G+, F1 = F0 + D+ + G-
D± = 2(D0C ± CD0), G± = !(G0C ± CG0)
Отметим следующие свойства стационарной системы (1.8): она не содержит неконсервативных позиционных сил ((F = 0), если F0 = -D+ - G-, и содержит только потенциальные и диссипативные силы, если G0 = -2C, F0 = -D+ ; при этом
G1 = 0, F1 = 0, D1 = D0, K1 = K0 - C2 + D-В частности, стационарная система содержит только потенциальные силы, если
G0 = - 2C, D0 = 0, F0 = 0
Справедливы следующие утверждения.
1. Система, содержащая нестационарные потенциальные силы с матрицей, удовлетворяющей уравнению (1.2), и стационарные гироскопические силы (D0 = 0, F0 = 0, G(t) = G0 ), приводится к стационарной системе (1.8) той же структуры тогда и только тогда, когда
G0C = CG0 (1.9)
2. Система, содержащая только нестационарные потенциальные силы указанного вида, приводится к стационарной системе (1.8), содержащей кроме потенциальных, еще и гироскопические силы, при этом
G1 = 2C, K1 = K0 + C2 (1.10)
3. При приведении системы, содержащей нестационарные потенциальные силы указанного вида и постоянные диссипативные силы с матрицей D = dE, d > 0, к стационарной системе (1.8) необходимо возникают, помимо потенциальных, диссипатив-ных и гироскопических сил, еще и неконсервативные позиционные силы, причем
D1 = dE, G1 = 2C, K1 = K0 + C2, F1 = dC
2. Устойчивость линейных нестационарных механических систем. Преобразование (1.4) является преобразованием Ляпунова, так как матрицы exp(Ct) и exp(-Ct) ограничены. Поэтому исследование устойчивости нестационарной системы (1.1) ((1.7)) сводится к анализу устойчивости стационарной системы (1.5) (или (1.8)).
Характер устойчивости системы (1.1) определяется свойствами корней характеристического уравнения системы (1.5)
det[M{к2 + M2k + M3] = 0
В ряде случаев устойчивость системы (1.1) можно также исследовать, применяя к стационарной системе (1.8) теоремы Кельвина—Четаева и их обобщения [1—7, 12—14].
Пусть в нестационарной системе отсутствуют неконсервативные позиционные силы (F(t) = 0) и матрица диссипативных сил имеет вид D(t) = dE, d = const > 0. Тогда система (1.7) записывается следующим образом:
G = 2C + G 0, K i = K0 + C2 + G +, Fx = dC + G0
Как уже указывалось в разд. 1, в этом случае система (2.2), в отличие от системы (2.1), содержит неконсервативные позиционные силы. Случай отсутствия диссипативных сил (d = 0).
Теорема 1. Нестационарная потенциальная система (2.1) (d = 0, G0 = 0) с матрицей K(t), удовлетворяющей уравнению (1.2), где CT = —C, устойчива, если матрица K0 + C2 положительно определена.
Доказательство следует из утверждения 2 и теоремы Кельвина—Четаева. Число отрицательных собственных значений матрицы K0 + C2 называется степенью неустойчивости соответствующей стационарной системы (2.2) (d = 0, G0 = 0). Если степень неустойчивости этой системы нечетна, то системы (2.2) и (2.1) неустойчивы. Если степень неустойчивости четна, то в системе (2.2) возможна гироскопическая стабилизация, и если она реализуется, то устойчива и нестационарная система (2.1). Система (2.2) при d = 0 и выполнении условия (1.9) имеет интеграл энергии
T T V = У У + У Kxy = const
которому соответствует следующий нестационарный интеграл исходной нестационарной системы (2.1):
Vi(t, x,x) = xTx + 2xTCx + xT (K(t) + G0C)x = const Справедлива следующая теорема.
Теорема 2. Нестационарная система (2.1) при d = 0 и выполнении условия (1.9)
2
устойчива, если матрица Kx = K0 + C + G0C положительно определена.
X + dX + G(t)X + K (t)x = 0 Соответствующая ей стационарная система имеет вид y + dy + Gxy + Kxy + Fxy = 0
(2.2)
(2.1)
Если система стационарна, то в соответствии с теоремой Кельвина—Четаева введение произвольных гироскопических сил в устойчивую потенциальную систему не нарушает ее устойчивости. Введение гироскопических сил с постоянной матрицей 00 Ф 0 в нестационарную потенциальную систему может существенно изменить свойство устойчивости исходной нестационарной системы, так как наличие матрицы G0 может изменить свойства матрицы ^
Теорема 3. Если в системе (2.1) d = 0, ёЫС Ф 00 Ф 0 и выполнено условие (1.9), то эту систему можно всегда сделать устойчивой за счет соответствующего выбора матрицы G0.
Доказательство. Ортогональное преобразование у = Т1, в силу условия (1.9), одновременно приводит матрицы G0 и C системы (2.2) к блочно-диагональному виду [15]
ТТСТ = ^ ((01/,...,ют/), ТтО{)Т = ^ ,..., - Ет1); / =
0 1 -1 0
п = 2т, ±т5(ю5 > 0) — собственные значения матрицы C, > 0 (5 = 1,...,т). Поэтому ТТС 2Т = (^(-ю^,..., -ют^), ТТ00СТ = Е2,..., Я^ттЕ)
ТТКТ = ТТК{)Т + ^(у^,...,УтЕг), У5 = (я5 - )
Т
Отсюда следует, что при достаточно больших значениях gs матрица Т К{Т всегда будет положительно определенной независимо от свойств матриц ^ и С
Т
Тогда в стационарной системе (2.2) матрица потенциальных сил ТТ КТ положиТ
тельно определена, матрица Т ОТ — кососимметричная, и по теореме Кельвина—Четаева система (2.2) и, следовательно, система (2.1) устойчивы.
С другой стороны, как показывают примеры (см. ниже), за счет выбора матрицы G0 систему (2.2) ((2.1)) можно сделать неустойчивой, т.е. возможна гироскопическая дестабилизация.
Влияние диссипативных сил (й ф 0).
Теорема 4. Нестационарная система (2.1) (при условии, что матрицы О(г) и К(г) удовлетворяют уравнению (1.2)) и соответствующая ей приведенная стационарная система (2.2) асимптотически устойчивы, если матрица
А = &1 + ■1(Со0) - о1с) + -^(СО0 - О0С)2; Щ = К0 - ^-{О1К0 - КО)
положительно определена.
Доказательство. Построим функцию Ляпунова в виде
2
V = 2уТУ + уТфу + 2УТФ2у; Ф1 = -(¿Е - Ох), Ф2 = ^Е + К1 -20°
Условием положительной определенности функции V является [15] условие полот
жительной определенности матрицы ф2 — Ф1Ф1 > 0, т.е. матрицы
К0 + й2 Е -10° 4 4
Производная функции V, вычисленная в силу уравнений (2.2), может быть представлена в виде
V=- 2 {(y+- Fiy )T (y+1 Fiy)+yTRy
Функция V отрицательно определена, если положительно определена матрица Rv При этом условии функция V положительно определена. Таким образом, функция V при выполнении условий теоремы 4 удовлетворяет условиям теоремы Ляпунова об асимптотической устойчивости.
Следствие. Если выполняется условие (1.9), то нестационарная система (2.1) и соответствующая ей стационарная система (2.2) асимптотически устойчивы при условии, что матрица R- положительно определена.
Рассматривалась [5] стационарная система следующей специальной структуры:
y + (a + b)y + 2Sy + (P - SST)y + aSy = 0; ST = -S,PT = P, a,b = const > 0 (2.3) Система (2.3) соответствует стационарной системе (2.2) при
d = a + b, K1 = P - SST, G1 = 2S, F1 = aS Условия асимптотической устойчивости систем
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.