ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА И МЕХАНИКА
Том 77. Вып. 2, 2013
УДК 62-50
© 2013 г. А. А. Азамов, М. Б. Рузибоев
О ЗАДАЧЕ БЫСТРОДЕЙСТВИЯ ДЛЯ ЭВОЛЮЦИОННЫХ УРАВНЕНИЙ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ
Рассматривается задача быстродействия для управляемой системы с распределенными параметрами эволюционного типа. Получена верхняя оценка для времени оптимального перехода в нулевое состояние. 1. Постановка задачи. Рассматриваются управляемые системы с распределенными параметрами, описываемые линейными уравнениями в частных производных эволюционного типа
wt = А^ + и (1.1)
где м?(х, 0 — скалярная функция от вектора х = {х1, ..., ха) и времени I, выражающая состояние системы, и — параметр управления, выбираемый также в виде функции и(¿, х), А — линейный эллиптический дифференциальный оператор порядка 2т [1—3].
Уравнение (1.1) задается в области А = ^ х [0, где О — открытая область пространства Rd с компактным замыканием ^ и регулярной границей Г [2], и рассматривается при начальном и граничных условиях
w(x, 0) = w 0 (х), х ; Mw = 0, х еГ; М = (М1? М2, Мт) (1.2)
где М1, М2, ..., Мт — линейные дифференциальные операторы порядка не выше 2т — 1.
Предполагается, что управляющая функция и выбирается из класса £2(А) и должна удовлетворять ограничению
где и0 — заданная положительная постоянная. Такие функции будут называться допустимыми управлениями.
Задача управления ставится следующим образом: найти допустимое управление и(х, 1), такое, что соответствующее ему решение ^(х, 0 из класса W2m, 1(А) уравнения (1.1) с условиями (1.2) обращается тождественно в нуль в некоторый момент времени Т, Т> 0, т.е. ^(х, Т) = 0 почти при всех х е О. Каждое управление, обладающее этим свойством, будем называть гарантирующим. В дальнейшем величину Т, для которой выполняется условие ^(х, Т) = 0, будем называть временем перехода, а величину Т* = Ш* Т, где ин-фимум берется по всевозможным гарантирующим управлениям, оптимальным временем перехода.
Изучению задачи оптимального управления процессами, описываемыми уравнениями с частными производными эволюционного типа, посвящено много работ (см., например, [4—11]). Настоящее исследование следует подходу, использованному Ф.Л. Чер-ноусько [12].
| и (х, г)\< и0, х е^, г > 0
(1.3)
2. Редукция к конечномерной системе. Всюду в дальнейшем будем полагать, что оператор А обладает полной системой собственных функций |фА{х)|, а решение w(x, t) и управление u(x, t) из рассматриваемых классов допускают разложения по этой системе:
w(x, t) = £qk(0фk(x), u(x, t) = £uk(?)фk(x) (2.1)
k k
(Если не оговорено другое, то всюду индекс k принимает целые положительные значения.) Такое предположение выполнено, например, для самосопряженного равномерно эллиптического оператора ([13], гл. XIV, теорема 25).
В силу сделанного предположения пара функций w(x, t)), u(x, t) удовлетворяет соотношениям (1.1)—(1.3) тогда и только тогда, когда величины qk и иk удовлетворяют бесконечной системе уравнений
qk + Kqk = Uk (2.2)
с начальными условиями
Як (0) = д°к = ]Ч(* )фк (*) , к = 0, 1, 2, ... (2.3)
п
Отметим, что последовательность собственных чисел ^ оператора А обладает свойствами: 1) 0 < < Х2 < ...; 2) 'кк ^ при k ^ да ([13], гл. XIV, теорема 25; возможность
= 0, которая, например, имеет место в задаче Неймана, не исключается). В дальнейшем, чтобы не затенять существо дела, налагается дополнительное предположение о том, что все числа Xk попарно различны, т.е. задача (1.1), (1.2) не имеет кратных собственных чисел.
Таким образом, исходная задача управления для уравнения в частных производных (1.1) сведется к задаче управления для линейной управляемой системы бесконечного порядка (2.2), (2.3), у которой последовательность функций управления и к (0 должна удовлетворять ограничению
< и°, х eQ
X Фк( Х ) " k ( t)
k
или равносильно
sup X Фк(x)иk(t)| < и (2.4)
x eQ
Условие (2.4) неудобно для поиска оптимального управления, например, из-за того, что даже для оператора A = д2/дх2 невозможно определить, какую область представляет собой совокупность последовательностей {и к}, удовлетворяющих условию
sup£ ф(х)ÜJ < и
В связи с этим условие (2.4) было заменено [12] более жестким ограничением
£ Ф^иk(t)\ < и0; Фk = max|ф^х) (2.5)
k
х еП
х к
Ясно, что условие (2.4) представляет собой другую запись ограничения (1.3), в то время как набор управлений {и1 (0, и2 (0, ...}, удовлетворяющий ограничению (1.3), необязательно обладает свойством (2.5). Тем не менее, каждое гарантирующее управление {и1 (0, и2 (0, ...}, удовлетворяющее ограничению (2.5), порождает гарантирующее управление и(х, 0 исходной задачи в соответствии со второй формулой (2.1).
Задачу (2.2), (2.5) будем называть ю-задачей быстродействия. Была получена [12] верхняя оценка для оптимального времени перехода Т посредством замены области (2.5) "гильбертовым кирпичом" | ик | < Ц (к = 1, 2, ...), причем линейные размеры Ц
выбирались так, чтобы имело место неравенство ^ Фк Ц < и0.
к
Здесь приводится точное решение ю-задачи в случае ограничения (2.5). Прежде всего, посредством линейной замены
Фк Фк ~
Ук = —ик = ~ик и и
систему (2.2) и ограничение (2.5) преобразуем к виду
У к + ^кУк = ик, ^ К1 < 1 (2.6)
к
Затем на время зафиксируем целое положительное число п и изучим следующую конечномерную задачу:
у] + Х]у] = и1, и = {и е + |и2| + ... + |ип| < 1} (2.7)
Если не оговорено другое, индекс] всюду в дальнейшем пробегает значения 1, 2, ..., п.
Отметим, что задача (2.7) соответствует линейной управляемой системе с диагональной матрицей, а область управления Ц — п-мерный октаэдр с вершинами
е7 = ст(5л, ...,5,в), сте{-1, +1},
где 8^ — символ Кронекера.
Применим к задаче быстродействия (2.7) принцип максимума Понтрягина [14, 15]. Поскольку Хк Ф Х1 при к ФI, то условие общности положения выполнено, так что оптимальное управление единственно и кусочно-постоянно (см. [14], а также [15], где приведено необходимое и достаточное условие единственности, а также кусочного постоянства оптимального управления). Более того, все собственные числа Х/ действительны и неотрицательны, так что оптимальное управление существует для любой начальной точки [16].
Основываясь на этих свойствах, приступим к синтезу такого управления. Прежде всего изучим поведение сопряженного вектора
у(0 = у2еМ, ..., У°„еК'), г> 0; у(0) = (у1, у2, уП) * 0 (2.8)
Обозначим О7 конус с границей д О , сопряженный к октаэдру Ц в вершине е7 . Поскольку Ц — многогранник, то
07 = {у е Кп| < е/,у)>< еП,у), 5 = 1, 2,., п, п = ±1} (2.9)
Внутренность конуса (2.9) будем обозначать
ст
Проекция вектора и на вектор у достигает максимума на одной из вершин , так что в силу принципа максимума оптимальное управление и(?) обладает свойством
и(^ = , если у(^ е ( (2.10)
Если вектор у(?) попадает на границу д( при некотором ? = ?', ? > 0, то оптимальное управление и(?) терпит разрыв первого рода. Каждый такой момент времени ? принято называть моментом переключения.
Из равенства (2.8) видно, что если уу° = 0 для некоторого у, то уД?) = 0, если же у° = 0, то уД?) сохраняет знак при всех ?.
° ст °
Лемма. Пусть у0 е ( , и Ф 0 для всех 1 < г < п. 1°. Если у = п, то у(?) е ((° при всех ? > 0.
2°. Пусть] < п. Тогда существуют ?* и ?**, ?** > ?* > 0, такие, что
а) у(?) е на интервале [0, ?*); б) у(?*) е д( ; в) существует индекс s, s >у, такой, что у(?) е 2р на интервале (?*, ?**), р = у° .
Доказательство. 1°. Пусть, например у0 е Qp (случай у0 е Qn рассматривается аналогично,
обозначения вида Q± сокращаются к виду Q± ). Тогда у0 > ly0 |. Поскольку Xn > Xj (j = 1, 2, ..., n — 1),
Xnt X.t
то при всех положительных t неравенство e > e сохраняет силу. Отсюда, в силу формулы (2.8), вытекает неравенство yn(t) > |yj(t)|, что означает y(t) е Qn .
2°. Пусть теперь у0 е Q+ , j < n. Как и в случае 1°, имеем у0 > |у0 | для всех ä = l, 2, ..., n, за исключением значения индекс ä = j. Поскольку Xj < Xs для ä = j + 1, ..., n, то обязательно наступит момент времени ts, ts > 0, такой, что Уj(ts) = |у5(^)|. Легко заметить, что для каждого ä такое значение tä единственно, хотя среди чисел tä могут и быть равные. Положим
t* = min{t^jä = j + 1, ..., n}
+
и обозначим t** наименьшее ts, превосходящее t*. Тогда у(0 е Qj при 0 < t < t*, y(t*) е дQj и
°р о
y(t) е Qs на интервале (t*, t**) для некоторых ä = j + 1, ..., n; r = sgnу^ .
Следствие. Оптимальные управления в задаче (2.7) имеют не более n — 1 переключе-
ст
ние, причем переключения могут произойти только с вершины ej с меньшим индексом j на вершину eP с большим индексом s при соответствующем р.
Опираясь на это свойство, можно сделать следующее заключение (предполагается, что все используемые индексыj, s, r пробегают значения 1, 2, ..., n): оптимальные траектории (ОТ) без переключений начинаются из начального положения, лежащего на одной из координатных осей, и, скользя по ней, достигают точку нуль. ОТ, имеющая ровно одно переключение, должна начинаться из внутренних точек координатных плоскостей размерности два, натянутых на пару осей Оу, Oys (j < s), и целиком лежат
на соответствующей плоскости; каждая такая ОТ сперва попадает на ось Оу, и, начиная с этого момента переключения, скользит по этой оси до точки нуль.
Далее, ОТ, имеющая в точности два переключения, начинается из внутренних точек октантов трехмерных координатных плоскостей, натянутых, скажем, на оси Оу, Оу,, Оуг ( < , < г), и в момент первого переключения попадает на координатную плоскость Оууг и в дальнейшем ее не покидает, в момент второго переключения попадает на ось Оуг и по ней достигает точку нуль. Аналогичная картина имеет место для ОТ, имеющих ровно к переключений, к < п _ 2.
Наиболее типичны ОТ, имеющие ровно п _ 1 переключение. Они начинаются из внутренних точек координатных ортантов и в момент первого переключение попадают на одну из координатных гиперплоскостей размерности п _ 1 и в дальнейшем ее не покидают, так что дальнейшее поведение траекторий совпадает с ОТ, имеющими ровно п _ 2 переключения.
Теперь вычисление оптимального времени перехода не составляет труда, поскольку на каждом промежутке постоянства
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.