ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА И МЕХАНИКА
Том 76. Вып. 4, 2012
УДК 532.5: 534.1
© 2012 г. И. А. Башкирцева, А. Ю. Зубарев, Л. Ю. Искакова, Л. Б. Ряшко
ОБ ИНДУЦИРОВАННЫХ ШУМАМИ КОЛЕБАНИЯХ В ТЕЧЕНИИ КОНЦЕНТРИРОВАННЫХ СУСПЕНЗИЙ
Исследуется течение концентрированной суспензии с ^-образной зависимостью скорости сдвига от приложенного к системе сдвигового напряжения. Рассматривается математическая модель с двумя динамическими режимами — стационарным и автоколебательным. Показано, что в зоне стационарных потоков, обладающих детерминированной устойчивостью, даже малые флуктуации сдвигового напряжения могут вызывать колебания скорости течения большой амплитуды. Анализ таких индуцированных шумом осцилляций проводится с помощью техники функций стохастической чувствительности. Для обнаруженных в модели стохастических колебаний течения представлены теоретические результаты по параметрическому описанию их дисперсии.
Обобщение предложенной Эйнштейном теории вязкости разбавленных суспензий [1], состоящих из невзаимодействующих частиц, на случай парного взаимодействия было дано Бэтче-лором [2]. Результат уточненной теории достаточно хорошо согласуется с экспериментами при объемных концентрациях частиц порядка 10—15% и из нее следует важный качественный вывод, который состоит в том, что эффективная вязкость суспензий уменьшается при увеличении градиента скорости течения.
Экспериментальные данные по высококонцентрированным суспензиям показывают (см., например, обзоры [3, 4]), что при увеличении скорости течения вязкость суспензии, действительно, несколько уменьшается. Однако, начиная с некоторого критического значения скорости, вязкость суспензии вновь увеличивается, причем это может происходить как плавно, так и скачком.
В экспериментах [5] с концентрированными суспензиями была обнаружена ^-образная зависимость скорости сдвига от напряжения сдвига. Стационарные течения, соответствующие убывающему участку ^-образной кривой, были неустойчивы и при затягивании эксперимента свыше нескольких секунд наблюдался срыв стационарного течения в автоколебательное. Подчеркнем, что автоколебания скорости течения происходили в условиях постоянного напряжения, приложенного к суспензии. Аналогичные автоколебания течений наблюдались также в других экспериментах [6].
На основании гипотезы о влиянии эффектов контактного трения между частицами на реологические свойства суспензии ^-образная реологическая кривая была получена теоретически [7] и было показано, что наблюдаемые в экспериментах автоколебания могут быть результатом комбинированного влияния эффектов вязкоупругости и абсолютной неустойчивости стационарного течения суспензии на убывающем участке ^-образной кривой.
Математическое исследование предложенных реологических уравнений [7] было продолжено при рассмотрении полностью детерминированной модели автоколебаний [8] и при исследовании влияния шумовых воздействий на особенности автоколебаний, возникающих на неустойчивой, убывающей ветви ^-образной реологической кривой [9].
Ниже исследуется влияние флуктуаций внешнего напряжения, соответствующего устойчивым, возрастающим участкам этой кривой. Анализ показывает, что даже малые флуктуации напряжения могут вызывать колебания скорости течения с большой амплитудой, которая растет при приближении среднего напряжения к точкам максимума и минимума ^-образной кривой. Вероятностная природа этого явления связана с высокой стохастической чувствительностью стационарных течений рассматриваемых сред. Индуцированные шумом переходы — активно разрабатываемое направление современной нелинейной стохастической динамики [10—14]. Были представлены методы анализа стохастической чувствительности аттракторов нелинейных динамических систем [15].
1. Математическая модель. Между двумя параллельными плоскостями, расстояние между которыми d, находится слой суспензии. Используется декартова система координат с осью Oz, перпендикулярной плоскостям, и началом координат на нижней плоскости. Нижняя плоскость z = 0 неподвижна, к верхней z = d прикладывается параллельное сдвиговое напряжение Е. Перемещение верхней плоскости приводит в движение весь слой суспензии 0 < z < d. В силу симметрии удается ограничиться одной пространственной переменной ^
Предполагаем [7], что реологическая модель суспензии описывается обобщенным уравнением Максвелла
у = /(а) + О^
д /
Функция /(а) соответствует стационарной Ж-образной зависимости скорости сдвига у от напряжения сдвига а, С — параметр вязкоупругости, величина 1/С может рассматриваться как модуль упругости среды при высокочастотных процессах. В случае линейной функции /(а) выбранное реологическое уравнение совпадает с классическим уравнением Максвелла.
Зависимость /(а) может быть получена из результатов эксперимента. Ее конкретный вид здесь взят из предложенной ранее модели [7] и проиллюстрирован на фиг. 1. Было показано [7], что в рамках рассматриваемой модели уравнение движения суспензии в области [0, го) х [0, d] и краевые условия имеют вид (р — плотность среды)
р д (/(а) + вд) = ^; а(<) = 2, дт (0) = 0 (1.1)
Первое из краевых условий отражает единственное внешнее воздействие на систему — постоянное приложенное к верхней плоскости сдвиговое напряжение Е. Второе соответствует выполнению условия прилипания на нижней неподвижной плоскости щели. Начальные данные а(0, z) = Ф^) однозначно определяют решение этой краевой задачи. При каждом Е система имеет стационарное решение
а( г, г ) = 2 (1.2)
2. Анализ устойчивости стационарного потока. Рассмотрим малые возмущения стационарного решения (1.2). Представим возмущенное решение в виде
а( г, г) = 2 + 5а (г, г)
где 8 — малый параметр. В первом приближении имеем следующую линейную задачу:
Р
' К (2)^ + О ^ д а дг
= ; а(г, <) = 0, (г, 0) = 0 (2.1)
Функция а (?, z) = ел'оо&kz удовлетворяет краевым условиям задачи при к = п(2т + 1)/(2<), т = 0, 1, ..., а из уравнения следует условие, которому должен удовлетворять коэффициент Л: рОА2 + р/(2) А + к2 = 0
Необходимым и достаточным условием устойчивости стационарного решения а^, z) = Е является неравенство/'(Е) > 0. При/'(Е) > 0 амплитуда возмущений высокочастотных гармоник затухает по экспоненциальному закону: ехр ( —/ ( 2 )/) , а при/'(Е) < 0
^ 2О ^
стационарное решение (1.2) неустойчиво, малые возмущения экспоненциально растут.
3. Дискретизация модели. Для исследования нелинейной динамики системы (1.1) используется дискретизация, основанная на методе прямых. Разобьем поток толщины d на п слоев прямыми z = z¡, где Z| = ¡к с шагом к = d/n. Рассмотрим соответствующие аппроксимации напряжения а() для функций а((, Используя формулу численного дифференцирования, для уравнения (1.1) на прямой z = Z| можно записать аппроксимацию
р(/(«, )£' +
а { - ! ( г) - 2 аг) + а- +1 ( г) 1)
к2 .
Краевые условия приводят к уравнениям
ап(г) = 2, а!(г) - а„(г) = 0 (3.2)
Учитывая соотношения (3.1), (3.2), в качестве дискретизации исходной задачи (1.1) на прямых z = I, запишем следующую нелинейную систему 2(п — 1) обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка:
CTj = Pj, j = 1, 2, ..., я - 1 p = - aCTi + аст2 - ф(ст i )pi
Pi = aCTt-1 - 2аа,- + аст(- +1 - ф(ст,)pi, i = 2, 3, ..., я - 2
pn - 1 = аСТя - 2 - 2 аСТя - 1 + - ф(ст„ - 1 )P„ - 1
Я -
(3.3)
Здесь
а = 1 /(р ОН2), ф(ст) = f (ct)/О
Решение = Е, = 0 соответствует единственному положению равновесия системы (3.3). При / '(Е) > 0 это равновесие асимптотически устойчиво. При/(Е) < 0 оно неустойчиво и в системе наблюдается другой вид аттрактора — предельный цикл.
Для детального исследования возможных режимов динамики системы (3.3) зафиксируем ряд параметров. Пусть
Выбранные значения р, G и d соответствуют типичным значениям плотности суспензии, параметра вязкоупругости и ширины щели в измерительном приборе в единицах системы СИ. Функция f(а) моделирует характерный тип зависимости, полученной опытным путем [5, 7].
Здесь зоной неустойчивости равновесия является интервал
Е1 = 700 <Е<Е2 = 1700,
что близко соответствует данным эксперимента [5]. В этой зоне система (3.3) переходит в режим автоколебаний. Установившиеся колебания напряжения а по слоям представлены на фиг. 2.
Видно, что амплитуда колебаний напряжения в потоке существенно меняется от слоя к слою и, кроме того, зависит от параметра £.
На фиг. 3 представлено распределение экстремальных значений a(t, z) в режиме автоколебаний по слоям. Как видим, колебания напряжения с максимальной амплитудой наблюдаются при z = 0 в слое, расположенном непосредственно над нижней неподвижной плоскостью. Зависимость экстремальных значений для колебаний напряжения в этом слое от параметра £ представлена на фиг. 4. Для £ < £ = 700 и £ > £2 = = 1700 в системе наблюдается устойчивое равновесие а = £ (сплошная линия). На интервале £ < £ < £2 это равновесие неустойчиво (штриховая линия). Потеря устойчивости равновесия в точках £1 и £2 сопровождается появлением в системе (3.3) устойчивого предельного цикла — происходит бифуркация Андронова—Хопфа. Колебания максимальной амплитуды наблюдаются в середине отрезка [700, 1700].
4. Индуцированные шумом осцилляции в зоне устойчивого равновесия. Стохастические возмущения в исследуемой модели течения жидкости могут иметь различные источники и быть связанными с разными параметрами. Ограничимся возмущениями только одного параметра — сдвигового напряжения £.
р = 2000, О = 5, d = 0.002
f(CT) = 2.8 х 10-6(ct3/3 - 1200ct2 + 1.19 • 106ст) - 400
Тогда
f (ст) = 2.8 х 10-6(ст - 700)(ст - 1700)
г = 0, ----г = 0.5^, -----г = 0.9^
Фиг. 2
Будем считать, что при формировании на верхней пластине сдвигового напряжения наряду с его контролируемым постоянным значением Е вносится случайное возмущение. Отметим, что в реальном эксперименте малые флуктуации приложенного напряжения всегда неизбежны. В результате вместо постоянного детерминированного напряжения Е к верхней пластине прикладывается стохастическое напряжение (1 + 8у(0)Е, где у(0 — дельта-коррелированный стандартный белый шум, 8 — постоянный параметр интенсивности этого возмущения. Тогда при выбранных выше параметрах
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.