ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА И МЕХАНИКА
Том 77. Вып. 3, 2013
УДК 532.529
© 2013 г. И. В. Степанова
ОБ ИНВАРИАНТНОМ РЕШЕНИИ УРАВНЕНИЙ ТЕРМОДИФФУЗИИ ПРИ НЕЛИНЕЙНОЙ СИЛЕ ПЛАВУЧЕСТИ
Рассматривается модель термодиффузионной конвекции бинарной смеси при нелинейной зависимости силы плавучести от температуры и концентрации. Построено и исследовано инвариантное решение, описывающее стационарное течение смеси в плоском вертикальном слое. Изучено влияние нелинейности силы плавучести на режим течения.
К моделям конвекции, более точно учитывающим динамику жидкостей, следует отнести и уравнения термодиффузионной конвекции бинарной смеси (см. соответствующие обзоры [1, 2]). Обычно используется модель термодиффузионной конвекции в приближении Обербека—Бус-синеска, основанная на предположении о том, что отклонения плотности учитываются только в уравнении импульса и играют роль только в членах, отвечающих силе плавучести, линейно зависящей от температуры и (или) концентрации. Известно, однако, что, например, зависимость плотности пресной воды от температуры в окрестности 4°С близка к квадратичной [3, 4]. Кроме того, для глубоких водоемов следует учитывать влияние изменения давления на отклонения плотности, для расчета океанических течений необходимо также принять во внимание и действие нелинейного изменения концентрации жидкости. В связи с этим отметим уравнения состояния для соленой воды [5, 6], которые определяют плотность как нелинейную зависимость от температуры, солености и давления. Тем самым учет нелинейности уравнения состояния в модели термодиффузионной конвекции - важная деталь при исследовании течений такого рода.
1. Уравнения модели. Рассмотрим бинарную смесь с уравнением состояния
где р0 — плотность смеси при средних значениях температуры смеси Т0 и концентрации легкого компонента С0; Т и С — отклонения от средних значений. Уравнения движения смеси имеют вид [2]
В системе (1.1) x = (х1, х2, х3) — вектор координат, u = (и1, и2, и3) — вектор скорости, р — давление, g = (0, 0, —g) — вектор ускорения массовых сил, V, х, В и ВТ — коэффициенты кинематической вязкости, температуропроводности, диффузии и термодиффузии. При нормальной (аномальной) термодиффузии легкий компонент накапливается в более нагретой (более холодной) области, что соответствует БТ < 0 (БТ > 0).
Замена переменных [7]
р = р 0 F( Т, С)
и, + (и -V)и = - ро1 Vр + vДu + F( Т, С)%, Шуи = 0 Т, + и V Т = %ДГ, С, + и V С = БД С + БТД Т
(1.1)
1
—Р = р0
Б
Т = и5, С--Т— Т = и ; БТ Ф 0, Б Ф 0, %Ф 0, Б фх
X - Б
5
Б
возможная при выполнении указанных выше неравенств, позволяет привести последние два уравнения системы (1.1) к одинаковой дифференциальной структуре. В результате система (1.1) перепишется следующим образом:
и, + (и • V)и = - Vы4 + vДu + ¥(и5, ы6)2, ШУи = 0
(1.2)
Ыц + и • Vи = хДы , Ыц + и • Vы = БДи
2. О групповых свойствах системы (1.2). Поскольку в уравнениях (1.2) содержится произвольная функция ¥ ь^), система становится незамкнутой. Найти вид функции ¥ — значит определить уравнение состояния жидкости. Следуя работам Л.В. Овсянникова [8] и его учеников, можно искать функцию ¥ с помощью техники группового анализа. Ставится задача групповой классификации: найти группы преобразований переменных, допускаемых уравнениями в зависимости от вида произвольной функции, входящей в систему.
Как было отмечено выше, обычно в моделях конвекции учитывают уравнение состояния в приближении Обербека—Буссинеска: линейную зависимость силы плавучести от температуры и концентрации. Исследовались групповые свойства такой системы [9, 10]. Было представлено
решение задачи о нахождении вида функции ¥, зависящей от температуры, с помощью методов группового анализа для двумерных уравнений тепловой конвекции [11]. Изучались групповые свойства системы (1.2) [12, 13]. Так, было получено 43 представления для функции, определяющей силу плавучести, в зависимости от температуры и концентрации и соответствующие алгебры операторов [13].
С использованием полученных в результате решения задачи групповой классификации представлений функции ¥ и алгебр операторов было построено [14] инвариантное решение, описывающее течение жидкости в вертикальном слое под действием градиентов давления, температуры и концентрации, а также силы плавучести, нелинейно зависящей от разности ^ и u6. Ниже исследуется еще одно инвариантное решение, построенное на операторах, соответствующих нелинейной зависимости функции
¥ от ^ и линейной по u6.
3. Построение инвариантного решения. В дальнейшем рассматривается случай, когда функция, определяющая силу плавучести, имеет вид
¥ = и6 + /( и5)
где f — произвольная гладкая функция. В этом случае уравнения (1.2) допускают основную алгебру операторов, дополненную оператором x3д^ — д 6 [13].
Для построения и анализа решений с использованием групповых свойств системы (1.2) удобно перейти к безразмерным переменным. Отметим, что переменные ^ уже безразмерные согласно замене, предложенной для перехода от уравнений (1.1) к системе (1.2), gL — характерный размер переменной u4. Принимая характерные масштабы длины L, времени L2/v и скорости gL 2/v, перепишем уравнения (1.2) в безразмерных переменных
и, + Ga(и • V)и = - Vи4 + Ди - ¥(и5, и6)eз, Шуи = 0; eз = (0, 0, 1)
и5 + Gau •Vи5 = Рг"^и5, и6 + Gau • Vы6 = 8е-1 Ди6
Уравнения содержат три безразмерных параметра: числа Прандтля Рг, Шмидта £е и Галилея Ga.
Рассмотрим плоский вертикальный слой ширины 2L, ограниченный твердыми стенками, на которых поддерживается постоянная температура ±9. Предположим, что температура меняется только в горизонтальном направлении, горизонтальная компо-
нента скорости отсутствует, а вертикальная компонента скорости зависит только от продольной координаты х1. Построим инвариантное решение уравнений (3.1) относительно подалгебры
д,, д 2, д з + Я(хЗд 4 - д 6) х х и и
Операторы записаны в безразмерных переменных, постоянная Я = АЬ — безразмерный градиент концентрации, определенный по постоянному вертикальному градиенту концентрации А. Соответствующее решение в предположении и1 = и2 = 0 имеет вид
и3 = w(x), и4 = Р(х) + Лг2/2, и5 = и5(х), и6 = с(х) - Я1 (3.2)
где использованы стандартные обозначения координат х1 = х, х3 = г. На твердых стенках зададим следующие граничные условия:
х = ±1: м = 0, и5 = ±0, с' + Ье (и5)' = 0 (3.3)
Здесь 0 = 9ВТ/(% — В) — безразмерная температура нагретой стенки, Ье = %/Л — число Льюиса, штрихом обозначена производная по х. Первое равенство выражает условие прилипания, второе задает распределение температуры, последнее означает отсутствие потока легкого компонента через границы слоя.
Подставляя представление решения (3.2) в систему (3.1) и интегрируя полученные равенства с учетом граничных условий, получим, что функция и4, определяющая давление, зависит только от продольной координаты г:
и4 = Яг2/2 + р0
где р0 — произвольная постоянная. Для определения остальных параметров течения получается система обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка
мТ - с -/(и5) = 0, (и5)'' = 0, с" + Ям = 0 (3.4)
При Я = 0 уравнения (3.4) интегрируются в квадратурах, конвекция индуцируется только действием силы плавучести, далее этот случай рассматриваться не будет.
Заметим, что расход жидкости через любое поперечное сечение слоя равен нулю; это следует из последнего уравнения (3.4) и последнего граничного условия из (3.3).
Для определения вертикального градиента концентрации, зависящего от физических свойств смеси и интенсивности конвекции, необходимо задать дополнительное условие
1
Ga |(и5 + с)мйх + ^ = 0 (3.5)
-1
которое выражает отсутствие потока легкого компонента через поперечное сечение слоя. Первое и второе слагаемые отвечают за конвективный и диффузионный перенос массы легкого компонента в вертикальном направлении соответственно. Введя функцию тока
х
О(х) = - |м(т)йт, м = -О"
-1
(3.6)
и дифференцируя первое уравнение (3.4) по x, перепишем систему (3.4) в виде
0- + с + и5)' = 0, (и5)' = 0, е" - Я@ = 0 (3.7)
йи
Из второго уравнения (3.7) и соответствующих граничных условий (3.3) следует, что
и5 = 0х (3.8)
Из третьего уравнения (3.7) при учете граничных условий получаем
х
(т)йт - 0Ьех + е* (3.9)
С = Я I О(т)йт _ЙТег + е*
-1
1
Величина с* находится из условия Со = 11е определяющего среднЮЮ концентРа-
_1
цию в слое, которую считаем заданной. В результате приходим к следующей задаче для функции тока:
О"" + ЯО = 5(х); s(x) = бГье - (3.10)
4 йи5
О(-1) = О( 1) = О (-1) = О (1) = 0 (3.11)
11
0( 1 - Ье) (х)йх + Я |О2(х)йх + = 0 (3.12)
-1 -1
Граничные условия (3.11) следуют из условий прилипания и условия равенства нулю расхода жидкости через любое поперечное сечение слоя:
J ^йх = 0
-1
Соотношение (3.12) получается из равенства (3.5).
Следует заметить, что задачу (3.10)—(3.12) можно трактовать как обратную: определить коэффициент R и функцию тока Q в уравнении (3.10) с граничными условиями (3.11) и заданном условии переопределения (3.12).
4. Решение задачи для функции тока. Покажем, что соответствующая однородная задача для задачи (3.10), (3.11) является самосопряженной, т.е. равенство
(8и, V) = (и, %*У); 8 = й4/йх4 + Я
справедливо в пространстве Х2([—1, 1]). Здесь U и V — решения соответствующих сопряженных задач. 8* — оператор, сопряженный оператору 8. Итак,
(йU, V) = J(U"" + RU)Vdx + U" V- +
-i
i
+ UF'l^ - UV"\\ + JU(V"" + RV)dx = (U, й* V)
где V — функция, сопряженная функции V. Внеинтегральные слагаемые обращаются
в нуль за счет граничных условий для U и V, совпадающих с условиями (3.11). Решение задачи (3.10), (3.11) можно выписать в виде (см., например, [15])
i
Q (x) = Js(£)G (хД) d^ (4.1)
-i
где G(x, t) — функция Грина, s(x) — правая часть уравнения (3.10). Такое решение существует в случае произвольной правой части для значений R, не принадлежащих спектру оператора й. Последнее условие справедливо для всех R, кроме R = —у4, удовлетворяющих равенству
2 2
к„(у) - кL(y) = 0 (4.2)
Здесь и далее используются следующие обозначения:
Kee(x) = chx cosx, Kes(x) = chx sinx, Kse(x) = shx cosx, Kss(x) = shx s
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.