ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА И МЕХАНИКА
Том 78. Вып. 5, 2014
УДК 515.126.2:531.36:531.352
© 2014 г. А. П. Маркеев
ОБ ОДНОМ СПОСОБЕ АНАЛИТИЧЕСКОГО ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ОТОБРАЖЕНИЙ, СОХРАНЯЮЩИХ ПЛОЩАДЬ
Рассматривается отображение, сохраняющее площадь. Предполагается, что отображение имеет неподвижную точку и аналитично в малой ее окрестности. Указан конструктивный алгоритм получения представления отображения в виде композиции двух сохраняющих площадь отображений, одно из которых близко к тождественному, а второе отвечает вещественной нормальной форме линеаризованного отображения. Алгоритм применен в задаче об устойчивости поступательного движения твердого тела в однородном поле тяжести при наличии его соударений с неподвижной горизонтальной плоскостью и в задаче об устойчивости одного типа резонансных плоских вращений спутника — твердого тела на эллиптической орбите.
Задача об исследовании сохраняющих площадь отображений берет свое начало в методе поверхностей сечения Пуанкаре [1]. Фундаментальным аспектам этой задачи посвящены классические труды [2—8]. Дальнейшее рассмотрение задачи содержится в работах разных авторов ([9—13] и др.).
1. Введение. Преобразование, упрощающее линеаризованное отображение. В плоскости и, и рассмотрим сохраняющее площадь отображение и, и ^ их, аналитическое в окрестности неподвижной точки, которая предполагается совпадающей с началом координат и = и = 0. В координатной форме отображение задается равенствами
щ = аи + Ьи + и, их = си + йи + V (1.1)
Здесь а, Ь, с, й — постоянные вещественные коэффициенты, а и и V — функции, представимые сходящимися рядами вида
где ик и Vk — формы степени к относительно и, и с вещественными коэффициентами. Условие сохранения площади означает, что выполняется тождество
дщдих _ди\д_Ц\ _ ^ (13)
ди ди ди ди
Отсюда следует, что коэффициенты в разложениях правых частей равенств (1.1) в ряды не вполне произвольны, они удовлетворяют некоторым соотношениям, вытекающим из тождества (1.3).
В дальнейшем определяющую роль играет линеаризованное отображение (1.1):
их = аи + Ьи, их = си + йи (1.4)
Так как из условия (1.3) сохранения площади следует, что
и = ^ ик (и, и), V = ^ Vk (и, и)
(1.2)
к=2
ай - Ьс = 1
(1.5)
то характеристическое уравнение матрицы отображения (1.4) является возвратным и имеет вид
в2 - 2Ад + 1 = 0 (2А = а + й) (1.6)
Если — один из корней уравнения (1.6), то второй корень ^ = £>-1.
Упростим запись исходного отображения (1.1), введя вместо переменных и, и новые переменные х, у при помощи линейного преобразования, выбрав это преобразование так, чтобы линеаризованное отображение (1.4) в новых переменных имело вещественную нормальную форму. Это преобразование определяется неоднозначно, но, как нетрудно убедиться, любое линейное вещественное невырожденное преобразование не меняет свойство отображения сохранять площадь. Сделаем в равенствах (1.1) замену переменных
и = «ПХ + П12У, и = П21Х + П22У (1.7)
и одновременно
и = П11Х1 + «12 У1, и = П21Х1 + «22 У1 (1.8)
Эти замены будем искать в классе канонических замен переменных с валентностью ^, т.е. требуем [14],чтобы элементы матрицы преобразований (1.7) и (1.8) удовлетворяли условию
Ц(«11«22 - И21И12) = 1 (1.9)
Нормальная форма отображения (1.4) и соответствующее нормализующее преобразование (1.7) существенно зависят от значений величин а, Ь, с, й.
Гиперболический случай (|А| > 1). В этом случае корни уравнения (1.6) действительны и различны, причем модуль одного из корней больше единицы:
01 = А + л/А2 -1, д2 = А-VА2 - 1 = а1) (1.10)
Нормальная форма отображения (1.4) имеет вид
Х1 = ах, У1 = 02У (1.11)
Для элементов пу нормализующего преобразования (1.7) получаем выражения
«11 = кф, «12 = -^Ь, «21 = -к1(а - о!), «22 = к2(а - 02) (1.12)
Постоянные к1, к2 и валентность преобразования ^ связаны соотношением
2цк1к2ь/А2 - 1 = 1 (1.13)
а во всем остальном величины к1, к2, ц произвольны.
Если Ь = 0 и с = 0, то построение преобразования (1.7) не требуется, так как в этом случае исходное отображение (1.4) имеет нормальную форму. Пусть Ь = 0, с ф 0. В этом случае при а > й имеем ^ = а, = й и
п11 = т1(й - а), «12 = 0, «21 = -да1с, «22 = -т2с (1.14)
Постоянные ть т2 и валентность ^ связаны соотношением
цт1т2с(а - й) = 1 (1.15)
а если а < й, то & = й, & = а и
п11 = 0, n12 = m2(d - a), n21 = -тс, n22 = -m2c (1.16)
причем
^m1m2c(d - a) = 1 (1.17)
Случай b = 0, a = d при |A| > 1, очевидно, невозможен.
Параболический случай (|A| = 1). В этом случае уравнение (1.6) имеет двукратный вещественный корень, модуль которого равен единице.
Пусть A = 1. Тогда ¿ = ¿2 = 1. Если b = с = 0, то нормализация не требуется, так как в этом случае исходное отображение является тождественным и записывается в своей нормальной форме
u1 = u, u1 = и (1.18)
Если же хотя бы одна из величин b или c отлична от нуля, то нормальная форма отображения (1.4) будет такой:
х 1 = х + y, y 1 = y (U9)
При этом, если b ф 0, то нормализующее преобразование (1.7) имеет вид
u = п11х + n12y, и = - ——— n11x + 2■ [n11 - (a - 1)n12]y (1.20)
b b
Величина n12 произвольна, а nn связана с валентностью ^ преобразования (1.7) соотношением
цп121 = b (1.21)
А если b = 0, с ф 0, то преобразование (1.7) будет таким
u = — y, и = п21х + n22y (1.22)
с
где n22 — произвольная величина, а
№1 = —с (1.23)
Пусть теперь A = -1. Тогда q = Qi = -1. Как и в предыдущем случае, при b = с = 0 нормализация не требуется, так как исходное отображение имеет свою нормальную форму
u1 = -u, u1 = -и (1.24)
Если же хотя бы одна из величин b или c отлична от нуля, то нормализованное отображение (1.4) имеет вид
Х1 = —х + y, y1 =-y (1.25)
При этом нормализующее преобразование (1.7) задается формулами (1.20)—(1.23), надо только во втором из равенств (1.20) выражение (a - 1) заменить на выражение (a +1).
Эллиптический случай (|A| < 1). Здесь корни уравнения (1.6) комплексно сопряженные с модулем, равным единице:
q1 = cos a + i sin a, g2 = cos a- i sin a (cos a = A) (1.26)
Вещественная нормальная форма отображения (1.4) представляет собой поворот на угол a:
х1 = сов а х + в1п а у, у1 = - в1п а х + сов а у
(1.27)
причем величина а/п отлична от целого числа.
Можно убедиться, что при \Л\ < 1 величина Ь (впрочем, как и с) отлична от нуля. Нормализующее преобразование (1.7) имеет вид
и = п11х + п12у
и = -^[(а - сов а)п11 + в1п ап12]х + -^т ап11 - (а - сов а)п12]у
(1.28)
Величины пц, П12 и валентность ^ нормализующего преобразования связаны соотношением
2 2 ц в1п а(п11 + п12) = Ь
(1.29)
а во всем остальном эти величины произвольны.
Исходное отображение (1.1) в переменных х, у. Из предыдущего следует, что в зависимости от значений величин а, Ь, с, d возможны шесть случаев отображения (1.1). Эти случаи различаются матрицами G нормализованной линейной части (1.4) отображения:
I) V)
в1 0 о е-1 , II)
-1 1 0 -1 , VI)
1 0 -1 0 1 1
0 1 , III) 0 -1 , IV) 0 1
сов а в1п а - в1п а сов а
(1.30)
В переменных х, у, введенных при нормализации отображения (1.4), исходное нелинейное отображение можно представить в виде композиции двух отображений, сохраняющих площадь. Одно отображение x*, у* ^ x1, определяется равенством
х1 = о х*
у1 у*
(1.31)
где матрица G соответствует одному из случаев (1.30). Второе отображение x, у ^ x*, у* близко к тождественному и задается рядами вида
х* = х + X Хк(х, у), у* = у + X ук(х, у) (1.32)
к=2 к=2
Хк = ц[(спп + dn22)Uk - (апп + Ьп22^к])
Ук = ц[-(спп + dn2l)Uk + (апп + Ьп21^к ]) (1.33)
Здесь ик V — формы степени k из разложения (1.2), в которых величины и, и выражены через х, у в соответствии с каноническим преобразованием (1.7), ^ — валентность этого преобразования.
2. Производящая функция отображения (1.32). Близкое к тождественному отображение (1.32) может быть задано неявно при помощи производяшей функции F(x*, у)
дГ дГ /0 1Ч
х = у* (2Л)
ду дх*
Р = х*у + X Рт(х*, у); рт(х*, у) = X /^у* (2.2)
т=3 г+5= т
^т(х*, у) — форма степени т относительно x*, у).
Задание отображения (1.32) при помощи производящей функции вида (2.2) целесообразно, например, при решении задачи об устойчивости неподвижной точки и = и = 0 отображения (1.1), так как условия устойчивости и неустойчивости часто могут быть выражены [15] через коэффициенты /„ конечного числа форм Рт.
Покажем как найти функцию F по заданному отображению (1.32). Из соотношений (2.1) и (2.2) имеем выражения
ад ад
х = х* + X ^ у* = у + X ^ (2.3)
о ду . ох*
т=3 ^ т=3 *
Подставив их в равенства (1.32), приходим к соотношениям
I -Р=I Ук х*+^^ у
к=3 дх* к=2 I т=3 ду .
(2.4)
^ . ду
( » „„ Л
(2.5)
I ду = -1 Хк х* + X дг,у
к=3 ду к=2 V т=3 ду
которые должны удовлетворяться тождественно относительно х*, у. Приравняв формы одинаковых степеней в правых и левых частях этих соотношений, получаем систему уравнений для нахождения форм Рт из разложения (2.2):
дРк(х'у) = Ук-1(х, у) - Мк-1(х, у), дРк(х'у) = -Xк-1(х, у) - Мк-1(х, у); к = 3,4,... (2.6)
дх ду
Правые части уравнений (2.6) выражаются через формы X,, У,,, , степень 5 которых меньше к. Для функций Мк-1 при 3 < к < 8 имеем такие выражения:
Ы - V д2рк-1 V .V дЪрк-2-1 V V , 1 V д Ърк-21 V2 ,
Мк-1 = Ъ-Т^ Х1+'- + Ъ , 3 Х 2Х 2+' + " Ъ , 3 Х1+'' + Iдх (.=1 дх 2'дх
+ 1 д4Рк-3 Хз + 1 д4р-4 Х2 Х ,д\рк-1 ХХ (27)
+ 7 а 4 Х2 + ^ - 4 Х2Х3 + , 3 Х3Х4 (2.7)
6 дх 2 дх дх
(Если у < 2, то функция р в правой части равенства (2.7) полагается равной нулю.)
Выражения для функций Ык-1 получаются из соответствующих выражений (2.7) для функций Мк-1, если в них производные д/дхп заменить на производные
дП г1 / -л П—1 -л
Р/дх ду.
Совместность линейной системы (2.6) следует из сохранения площади при отображении (1.32). Формы Рк находятся путем последовательного интегрирования уравнений (2.6) для к = 3,4,....
3. Пример. Пусть твердое тело движется в однородном поле тяжести над неподвижной горизонтальной плоскостью. Время от времени тело может соударяться с плоскостью. Удар считается абсолютно упругим, трение пренебрежительно мало. Тело пред-
ставляет собой однородный эллипсоид вращения, уравнение поверхности котор
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.