ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА И МЕХАНИКА
Том 77. Вып. 4, 2013
УДК 539.3:534.1
© 2013 г. А. Г. Куликовский, А. П. Чугайнова
ОБ ОПРОКИДЫВАНИИ ВОЛН РИМАНА В УПРУГОПЛАСТИЧЕСКИХ СРЕДАХ С УПРОЧНЕНИЕМ
Изучаются волны Римана (простые волны) в рамках модели упругопла-стичности Мизеса с упрочнением. Предполагается, что предшествующими процессами среда приведена в состояние, соответствующее некоторой точке на поверхности нагружения. Указываются условия, при которых волна Римана в процессе эволюции опрокидывается, т.е. условия образования разрывов.
Нестационарные уравнения упругопластических сред с упрочнением представляют нелинейную гиперболическую систему уравнений. Эволюция решений таких систем уравнений в общем случае может приводить к образованию разрывов. Изучению разрывов в упругопластических средах посвящено много работ (см. [1—3] и цитированную в них литературу), в то время как условия образования разрывов изучены недостаточно. Так как непосредственно перед образованием поверхности разрыва решение близко к волне Римана, то условия образования поверхностей разрывов можно рассматривать как условия "опрокидывания" волн Римана. В упругопла-стической по Мизесу среде с упрочнением [2, 4] изучались волны Римана [5—7]. Показано [6], что при постоянном или убывающем упрочнении (т.е. в случае, когда при одноосном растяжении упругопластической среды напряжение линейно или медленнее растет с ростом деформации) волны Римана расширяются со временем за исключением предельных случаев, когда волны Римана распространяются без изменений формы. Ниже в рамках тех же предположений, что и ранее [6, 7], но в случае нарастающего упрочнения, найдены условия опрокидывания волн Римана, т.е. условия образования разрывов.
1. Модель упругопластической среды. Будем как обычно считать, что полная деформация представляет сумму упругой и пластической деформаций
£ у = £ ( + £ у , I, ] = 1, 2? 3
Всюду далее ограничимся случаем малых деформаций, когда
£ ц = (и,; + ии,) / 2 (1.1)
ц — компоненты скорости среды, х 1 — декартовы координаты, точкой обозначена производная по времени, и, ] = до/дх].
Представим напряжения а ^ через девиатор и шаровую часть
Оу = Ву -р5р = -акк/3, к = 1, 2, 3 (1.2)
Поверхность нагружения выберем по Мизесу в виде
В^ = в2 (1.3)
Здесь и далее по повторяющимся индексам предполагается суммирование.
Эффекты пластичности могут возникать после того, как В достигнет некоторого
значения В * , которое при дальнейшей деформации принимается за начальное. Далее будут рассматриваться процессы пластического нагружения среды с учетом упрочнения, когда величина В растет. В предположении малых деформаций примем, что
Оу = X ^ к5и + 2ц(8у - £^}) (1.4)
При отсутствии пластических деформаций это равенство выражает закон Гука в изотропном теле.
Согласно ассоциированному закону [2, 4] тензор ё j должен быть пропорционален градиенту функции, задающей поверхность нагружения в пространстве компонент де-виатора напряжений, т.е. согласно равенству (1.3) пропорционален Dtf
ё j = fDDj, D = D~1Diji) ij (1.5)
Второе равенство (1.5) получено дифференцированием равенства (1.3), f > 0 — коэффициент пропорциональности. При f = 0 отсутствуют пластические деформации, т.е. среда ведет себя как упругая. Равенство f = да соответствует отсутствию упрочнения
(D = 0), т.е. идеальной пластичности. В случае упрочнения изменение пластической деформации приводит к изменению D и, соответственно, поверхности нагружения (1.3). Пренебрегая термодинамическими эффектами, примем, что f=f(D). Используя соотношения (1.2), (1.4), (1.5), получим
Dij = Cij + pbij = - (2/3)ц vKkdij + ц( иi,j + Ujti) - 2f D)DjD (1.6)
p = -(X + 2 ц / 3 )Uk, k (1.7)
Умножим равенство (1.6) на Dy и используя соотношение (1.3), получим равенство
DD = ц q( D)( ии + и,,) Dj, q (D) = (1 + 2^Df(D))1 (1.8)
Оно может быть переписано следующим образом:
dD = q( D) deD, deD = ц( и, j + uL i) D'1Dijdt (1.9)
deD — величина изменения D, которое произошло бы в упругом теле при заданном тензоре скоростей деформаций за время dt. В области упругости dD/dfi = 1, а при наличии пластических деформаций 0 < dD/deD = q(D) < 1.
Учитывая равенства (1.8), перепишем уравнение (1.6) в виде
Dij = - (2/3)ц vKkbij + ц( ии + Uj> i) - ц( 1 - q(D))( uk>, + ul>k)D^D (1.10)
Предполагая скорость движения среды малой, запишем уравнения движения среды
pui = Dij j - p i (1.11)
где p — плотность среды. В силу предположения о малости деформаций можно считать, что p = const.
Уравнение (1.8) может использоваться вместо уравнения (1.3) как уравнение для определения текущего значения величины D, если известно ее начальное значение. Таким образом, система уравнений, решения которой будут рассматриваться ниже, состоит из уравнений (1.11), (1.7), (1.10) и (1.3), причем последнее можно заменить уравнением (1.8). При этом в силу симметрии тензора девиатора DiJ число независимых переменных DiJ и, соответственно, независимых уравнений (1.10), оказывается равным пяти. Помимо этого в системе уравнений (1.11), (1.7), (1.10), (1.8) неизвестными являются p, D и три компоненты скорости и. Поскольку указанная система несправедлива при разгрузке, ее необходимо дополнить условием D > 0. Кроме того, должна быть задана функция f(D) (или q(D)).
2. Одномерные движения. Отметим некоторые свойства решений рассматриваемой системы уравнений в одномерном случае [7], когда все величины зависят от переменных х1 и Из уравнения (1.10) для Б23 следует, что Б23 = 0, так что
^23 = АзС*!) (2.1)
Если начальное состояние среды в некоторой области однородно, то в этой области поворотом системы координат вокруг оси х можно добиться тождественного обращения в нуль Б12. Этот случай имеет место при изучении волн Римана.
Из уравнений (1.10) для Б22 и Б33 следует
S = -2 ц^D) DS, S = D22 - D33
откуда
(
D22 - D33 = A exp
-2ц jfD)dD
A = const
(2.2)
(2.3)
где Б* — начальное значение Б.
Используя представления, следующие из равенства нулю суммы диагональных элементов девиатора, получим
2Б22 = - Бп + (Б22 - Бзз), 2Бзз = - Бп - (Бг1 - Б,,)
Обозначим = Б, (; = 1, 2, 3). Используя предыдущие равенства, равенство (1.3) при Б23 = 0 можно переписать в виде
D = 3 D / 2 + 2 D2 + 2D2 + (D22 - D33 )2 / 2 Из соотношений (2.3) и (2.4) следует [7] 3 D1/2 + 2 D2 + 2D3 = F2( D)
F ( D ) = D2 - 1 A2 exp
-4 ц jf(D) dD
A = (D22 - D33)
D = D *
(2.4)
(2.5)
(2.6)
Функция F1(D) такова, что F1(D) < D2 и dF/dD > 1. Если известны Dx, D2 и D3, то D находится однозначно из соотношений (2.5), (2.6). Поверхности D = D(D1, D2, D3) = = const в пространстве D1, D2, D3 определяются уравнением (2.5).
В одномерном случае уравнения (1.10) с использованием второго равенства (1.8) вместе с уравнениями (1.11) и (1.7) приобретают вид
Di = ц(5у + 5у/3 + 2Wj ui, 1, i, j = 1, 2, 3 ¥ = ¥(D) = (q(D) - 1)F(D)D 2 dj = DiDj/ ( 3D? / 2 + 2 D2 + 2 D^)
(2.7)
(2.8) (2.9)
D
D
Отметим, что величины dу выражаются через отношения D2/D1 и D3/Db а в равенстве (2.8) величина F2(D) определена равенством (2.6).
Поскольку 0 < q(D) < 1 и F2D-2 < 1, то
-1 <¥(D)< 0 (2.10)
Уравнения движения (1.11) в одномерном случае могут быть записаны в виде
pui = D, i - 5йрд, p = -(X + 2ц/3)ui,i, i = 1, 2, 3 (2.11)
К уравнениям (2.7) и (2.11) следует добавить уравнения (2.5) и (2.6), выражающие величину D через D. И наконец, должна быть задана функция/(D) или q(D).
Заметим, что при q = 1 значение ¥ обращается в нуль и среда ведет себя как упругая. При q = 0, как уже упоминалось, среда становится идеально пластической, в которой dD/dt = 0. Однако в этом случае нельзя считать, что правая часть равенства (2.5) постоянна. Дело в том, что /(D) ^ да при q ^ 0, так что из равенства (2.6), в котором в связи с этим возникает неопределенность, нельзя сделать вывод о постоянстве F2. Непосредственными следствиями уравнений (2.7) являются равенства
d£ = dié[d2 - ( 1 - q)F )]Du, i, i = 1, 2, 3, dD = 2 qD-2 (2.12)
dt D2 dF D2 - ( 1 - q ) F2
Из них следует, что D2 = const при q = 0, но при этом, в общем случае, величина F2 может меняться согласно первому равенству (2.12). Равенство F2 = const справедливо при всех возможных одномерных деформациях среды, только если
D2 = ( 1 - q)F2 (2.13)
3. Волны Римана. Под волнами Римана понимаются одномерные нестационарные решения уравнений (2.7) и (2.11), зависящие от переменных х1 и t не независимо, а через их комбинацию, представленную некоторой функцией ф(х:, t), поведение которой изучается. Обозначим
c = -Ф/Ф,1 (3.1)
Производную по ф далее будем обозначать штрихом. Уравнения (2.11) и (2.7) для Dt и ц (здесь и всюду далее = 1, 2, 3) примут вид
-pc u' = D' - p'5,1, cp' = (X + 2 é/3 ) u1 (3.2)
-cD\ = ( 1/3u15i1 + Ц u' - 21 - q(D))Dkuk (3.3)
Из уравнений (3.2) найдем
u1 = -[pc - (X + 2ц/3)/c]-1 D1, u'a = -(pc)-1 D'a, a = 2, 3
Далее рассмотрим случай pc2 Ф X + 2ц/3. Исключим из уравнений (3.3) производные u' и введем безразмерную характеристическую скорость C = cVp/Ц . Получим систему
C - ( X/ и + 2 + 2 У dn ) - - 2^_3 = 0
C2 - (X/и + 2/3) 1 C2 2 C 3 2Уdi2 п. , C2 - (1 + 2Уd22)п. 2У d23
D1 +-^-2^D'2--= 0 (3.4)
C2 - (X/и + 2/3) C2 C2
2У di3 D! - + C2 - ( 1 + 2 У d33)D3 = 0
C2 - (X/и + 2/3) C2 C2
Функция ¥ = ¥(D) и симметричная матрица с элементами dу определены равенствами (2.8) и (2.9). Функция q(D), введенная второй формулой (1.8), должна быть задана.
4. Типы волн Римана. Система уравнений (3.4) представляет собой линейную однородную алгебраическую систему относительно Dt (i = 1, 2, 3). Условием существования нетривиального решения системы уравнений (3.4), (2.8), (2.5) является равенство нулю определителя системы (3.4). Определитель включает в себя зависимость от C, а условие обращения его в нуль служит уравнением для нахождения C:
(C2 - 1)[(C2 - 1 )(Х/и + 2 - C2 + 2Уd11) - 2(X/и + 2 - C2)У(d22 + d33)] = 0 (4.1)
Это уравнение имеет один очевидный корень C2 = 1, или с2 = ц/р, соответствующий
22
волнам, в которых D: = const, D2 + D3 = const, D = const, так что вектор с координатами D1, D2, D3 поворачивается на произвольный угол вокруг нормали к фронту волны (ось x). Т
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.