ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА И МЕХАНИКА
Том 77. Вып. 3, 2013
УДК 539.384
© 2013 г. Ю. И. Дорогов
ОБ УСТОЙЧИВОСТИ ФОРМЫ НЕЗАКРЕПЛЕННОГО УПРУГОГО СТЕРЖНЯ С ЖЕСТКИМИ ПОЛКАМИ НА КОНЦАХ
Исследуется устойчивость незакрепленной стойки, состоящей из упругого стержня с жесткими полками на концах, под действием продольного сжатия. Найдена нагрузка, при которой плоскость поверхности полок отклоняется от плоскости поверхности опор. Это отклонение сопровождается значительным поворотом (выворачиванием) полок и соответствующим изгибом оси стержня. Происходит резкая смена прямолинейной или изогнутой формы равновесия на несмежную с ней форму равновесия. Установлено, что стойки, в зависимости от отношения длины стержня к длине полок, ведут себя по-разному при такой смене форм равновесия.
При исследовании устойчивости продольно сжатого упругого стержня рассматривают разные условия закрепления концов [1—3]. В наиболее распространенных на практике случаях, когда концы стержня свободно оперты и могут свободно вращаться или жестко заделаны, вращение концов и концевых сечений невозможно. Был рассмотрен промежуточный случай, когда заделка упругая [4]. Исследован вопрос о потере устойчивости стержня для случаев, в которых материал стержня, опор или заделок подвергается разрушениям [5—9].
1. Постановка задачи. Устойчивость прямолинейной формы равновесия. Исследуется потеря устойчивости незакрепленной стойки в виде прямолинейного вертикального упругого стержня 1 с двумя одинаковыми абсолютно жесткими полками на концах 2. На стойку длиной I действует сила Р в результате давления тяжелого жесткого пресса,
77Ш77Ш77>77 777?Ш77Ш77 ШШШШ
Фиг. 1
собственный вес стойки не учитывается. Поверхности пресса и основания, а также опирающиеся на них поверхности полок плоские (фиг. 1).
Предполагается, что вначале плоскости поверхностей верхней (нижней) полки и пресса (основания) совпадают. В дальнейшем и основание, и пресс называются опорами. На всех этапах деформирования, плоскости опор остаются горизонтальными. Полки жестко скреплены с концами стержня и не крепятся к опорам. Толщина полок не учитывается.
Материал стержня стойки предполагается неограниченно прочным и неограниченно упругим с модулем упругости E, J — момент инерции поперечного сечения стержня. Материал опор принят абсолютно жестким.
Исследуется изгиб стержня после потери устойчивости прямолинейной формы равновесия. На первой стадии нагружения, пока стержень остается прямолинейным, условия на концах соответствуют схеме с жестко заделанными концами. Далее, после достижения нагрузки, при которой прямолинейная форма равновесия перестает быть устойчивой, граничные условия соответствуют схеме шарнирно опертого стержня со смещенной относительно оси стержня линией действия нагрузки.
Задача решается в рамках гипотезы плоских сечений. Принято, что все поперечные сечения стержня, включая концевые, остаются плоскими и перпендикулярными к оси стержня на всех этапах нагружения.
Следует рассматривать два вида возможных изогнутых форм равновесия, смежных с прямолинейной формой:
1) стержень изгибается так, что плоскости его концевых сечений и плоскости полок остаются параллельными плоскостям опор (средняя часть фиг. 1); при этом изогнутая ось стержня обладает двоякой выпуклостью и касательная, проведенная к ней в концевых точках, совпадает с первоначальным прямолинейным положением этой оси;
2) стержень изгибается, опираясь не на всю поверхность полок, а лишь на части их границ (правая часть фиг. 1); плоскости полок оторваны от плоскостей опор и сосредоточенные силы оказываются смещенными в сторону выпуклости оси стержня.
В первом случае реакция опоры может быть сведена к равнодействующей сосредоточенной силе P, приложенной в центре концевого сечения вдоль первоначальной оси стержня.
Пусть у — прогиб оси стержня. Выберем систему координат с началом в одном из концов стержня. Ось x направим вдоль первоначальной неизогнутой оси стержня, а ось у направим перпендикулярно к оси x в сторону прогиба стержня. Примем, что кривизна стержня равна второй производной от прогиба: к = у". Тогда в рамках закона Гука линеаризованное дифференциальное уравнение изогнутой оси стержня и граничные условия на его концах можно записать в виде
Нетривиальное решение этой граничной задачи возможно, если а = 2п к. Уравнение изогнутой оси стержня получается с точностью до некоторого неизвестного множителя.
Таким образом, криволинейная форма равновесия становится возможной при наименьшем значении продольной силы, равном
+ а2у" = 0; а2 = Р/(Е/)
(1.1)
у (0) = у (I) = 0, у' (0) = у' (/) = 0
(1.2)
(1.3)
где Ре — сила Эйлера. При нагрузках Р < 4Ре криволинейная форма равновесия рассматриваемого вида невозможна.
Во втором случае, т.е. при отклонении плоскостей полок от плоскостей опор, точка приложения главного вектора равнодействующей реакции опоры смещается. Стержень изгибается, причем в результате смещения точки приложения сил в сечениях стержня возникает момент, препятствующий дальнейшему его изгибу и стремящийся вернуть стержень в исходное прямолинейное положение. Следовательно, прямолинейная форма равновесия стержня оказывается устойчивой по отношению к повороту плоскостей полок относительно опор. Отклонение плоскостей поверхностей полок не может начаться, пока стержень прямолинеен. Прямолинейная форма равновесия остается единственно возможной вплоть до достижения сжимающей силой значения (1.3). Отклонение полок возможно только при нагрузках, превосходящих значение 4Ре, когда прямолинейная форма равновесия перестает быть устойчивой и стержень начинает изгибаться по мере увеличения нагрузки.
Примем, что полки одинаковые, а их поверхности симметричны относительно главных осей инерции прилегающих концевых сечений стержня. Линейный размер полки в направлении оси у назовем длиной полки и обозначим через к. Тогда смещение точки приложения сосредоточенной силы относительно центра составит к/2.
Учитывая изгибающий момент, возникающий в концевом поперечном сечении вследствие эксцентриситета силы Р, и пренебрегая смещением концов при малых углах отклонения полок от опор, примем следующие граничные условия:
Решая дифференциальное уравнение (1.1) при граничных условиях (1.4), находим, что изогнутая форма равновесия стержня возможна в двух случаях:
а) при значении сжимающей силы (1.3), тогда уравнение изогнутой оси стержня имеет вид
y (х) = h (1 - cos ах)/2 + C sin ax
причем постоянная C, а следовательно, и прогибы остаются неопределенными;
б) уравнение изогнутой оси стержня имеет вид
Если Р < Ре, то изогнутая форма равновесия стержня невозможна. Действительно, так как аI/2 < п/2, т.е. £ > 0, из выражения (1.5) следует, что прогибы по всей длине стержня отрицательные, а это противоречит первоначальному выбору направления прогиба. Отрицательные прогибы указывают на то, что стержень выгнется в другую сторону. Такой изгиб возможен, если с самого начала нагружения точки приложения сил смещены в указанное положение, а полки имеют возможность беспрепятственно поворачиваться вверх. Однако в рассматриваемом случае нагружение осуществляется жестким прессом, и такой поворот становится невозможным. Точка приложения нагрузки смещается в сторону выпуклости оси стержня, что препятствует дальнейшему его изгибу.
Если Р > Ре, то £ < 0, и из выражения (1.5) следует, что прогибы по всей длине стержня положительные. Если Р ^ Ре, то £ ^ 0, и прогибы, вычисленные по формуле (1.5), бесконечно большие.
Таким образом, при Ре < Р < 4Ре изогнутая форма равновесия стержня возможна, однако она неустойчива, о чем свидетельствует бесконечный рост прогибов при
y (0) = y (l) = 0,
(1.4)
У (x) = -h£
(1.5)
P ^ Pe.
Первоначальная схема нагружения стойки соответствует схеме нагружения стержня с заделанными концами, у которого заделки сопротивляются сжатию, но не сопротивляются отрыву. Пока стержень сжат по всему объему, его состояние соответствует состоянию стержня с заделанными концами. Таким образом, при значениях нагрузки P < 4Pe прямолинейная форма равновесия остается единственно возможной устойчивой формой равновесия.
2. Изгиб стержня до поворота полок. При увеличении нагрузки P > 4Pe, прямолинейная форма равновесия стержня становится неустойчивой, стержень начинает изгибаться.
Чтобы выяснить, при какой нагрузке происходит отклонение полок от опор и как изменяется форма изгиба при дальнейшем нагружении, рассмотрим дифференциальное уравнение изогнутой оси стержня, учитывающее точное выражение для кривизны изогнутой оси стержня.
к = 9' = к0 - a2y (2.1)
Здесь к0 — кривизна оси стержня на его конце (y = 0), 0 — угол между касательной к изогнутой оси стержня и осью абсцисс, штрихом обозначена производная по длине дуги оси стержня s, отсчитываемой от конца стержня.
На конце стержня справедливы условия
5 = 0: y = 0, 9 = 0, 9' = к0 (2.2)
Дифференцируя равенство (2.1) по переменной 5 и учитывая, что dy¡ds = sin 9, получим после преобразований
d9 '2 =-2а2 sin 9d9 (2.3)
Проинтегрируем последнее уравнение с использованием условий (2.2), затем учтем, что у концевых сечений стержня кривизна изогнутой оси положительна, т.е. 9' = к0 > 0 при 9 = 0, и введем обозначения
m = —, sin - = m sin ф (2.4)
2a 2
В результате получим
9' = к0 cosф (2.5)
Продифференцируем второе равенство (2.4) по ф и получим выражение для d9, подставив которое в уравнение (2.5), разделив переменные и интегрируя при учете условия ф = 0 при 5 = 0, имеем
^ d
sa = Ь 2Ф 2 =F m) (2.6)
0\1 - m sin ф
Г (ф, т) — интеграл Лежандра первого рода.
Посредине стержня 5 = // 2 и ф = п. Следовательно,
а//2 = Г(п т) >п (2.7)
Если а//2 < п, то уравнение (2.7) не имеет решений и единственная форма равновесия — прямолинейная. Смежная изогнутая форма равновесия стержня становится возможной при а//2 > п.
В точке перегиба изогнутой оси стержня кривизна равна нулю, т.е. к = 0' = 0. Подставляя найденное значение кривизны в уравнение (2.5), получим ф = п/2. Учитывая, что F(и/2,m) = F(п,т)/2, с помощью равенства (2.6) получим для точки перегиба s = l/4. Таким образом, в процессе продольного из
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.