ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА И МЕХАНИКА
Том 77. Вып. 6, 2013
УДК 531.381:534.1
© 2013 г. Б. С. Бардин, А. А. Савин
ОБ УСТОЙЧИВОСТИ ПЛОСКИХ ПЕРИОДИЧЕСКИХ ДВИЖЕНИЙ СИММЕТРИЧНОГО ТВЕРДОГО ТЕЛА С НЕПОДВИЖНОЙ ТОЧКОЙ
Выполнен строгий нелинейный анализ орбитальной устойчивости плоских периодических движений (маятниковых колебаний и вращений) динамически симметричного тяжелого твердого тела с одной неподвижной точкой. Предполагается, что главные моменты инерции твердого тела, вычисленные для неподвижной точки, связаны тем же равенством, что и в случае Ковалевской, но при этом не накладывается никаких ограничений на положение центра масс тела. В случае колебаний с малыми амплитудами и в случае вращений с большими угловыми скоростями, когда удается ввести малый параметр, исследование орбитальной устойчивости выполнено аналитически. При произвольных значениях параметров нелинейная задача об орбитальной устойчивости сведена к анализу устойчивости неподвижной точки симплектического отображения, генерируемого системой уравнений возмущенного движения. Коэффициенты симплектического отображения вычислялись численно, и по их значениям на основании известных критериев были сделаны выводы об орбитальной устойчивости или неустойчивости исследуемого периодического движения. Показано, что когда центр масс лежит на оси динамической симметрии (случай интегрируемости Лагранжа) известные критерии устойчивости неприменимы. В этом случае на основании теоремы Четаева доказана орбитальная неустойчивость периодических движений. Результаты проведенного анализа представлены в виде диаграмм устойчивости в плоскости параметров задачи.
1. Постановка задачи. Рассмотрим движение твердого тела вокруг неподвижной точки О в однородном поле тяжести. Пусть OXYZ — неподвижная система координат, ось Z направлена вертикально вверх. С телом жестко связана система координат Oxyz, образованная главными осями инерции тела для точки О. Будем считать, что тело обладает динамической симметрией и, кроме того, выполняется равенство А = С = 2В, где А, В и С — моменты инерции тела относительно осей x, у и z. Пусть mg — вес тела, l — расстояние от точки О до центра масс, а — угол между радиус-вектором центра масс и экваториальной плоскостью эллипсоида инерции (О < а < п/2). Без ограничения общности можно считать, что положение центра тяжести тела в системе Oxyz определяется координатами
х* = lcos а, y * = lsin a, z* = 0 (1.1)
Отметим, что при а = 0 имеет место случай Ковалевской, а при а = п/2 — случай Лагранжа с дополнительным условием, налагаемым на моменты инерции.
Положение твердого тела в неподвижной системе координат OXYZ будем задавать при помощи углов Эйлера у, 0, ф. Уравнения движения, описывающие изменение углов Эйлера, определяются следующей функцией Лагранжа:
■ 2 ■ 2 L — A(\j/sin0sinф + 0cosф) /2 + 5(\j/sin0cosф - 0sinф) /2 +
+ C(\j/cos0 + ф) /2 - mg/sin0 sin(ф + а) (1.2)
Система уравнений движения допускает частное решение, описывающее плоское движение твердого тела, при котором проекция кинетического момента тела на вертикаль равна нулю, а экваториальная ось инерции z сохраняет неизменное горизонтальное положение. На этом движении у = const, 9 = я/2, а изменение угла ф описывается следующим уравнением физического маятника:
^ + H2cos (ф + а) = 0, и2 = ^ (1.3)
dt C
Таким образом, в данном движении тело либо совершает маятниковые колебания или вращения вокруг оси z, либо асимптотически приближается к положению равновесия.
В настоящей работе исследуется задача об орбитальной устойчивости маятниковых периодических движений твердого тела: колебаний и вращений относительно оси z. Проекция кинетического момента на вертикаль считается невозмущаемой и равной нулю. Применяется методика, аналогичная использованной А.П. Маркеевым и др. [1].
В случае Ковалевской (а = 0) задача об орбитальной устойчивости маятниковых периодических движений указанного типа была полностью изучена [1, 2].
Отметим, что в общем случае задача об орбитальной устойчивости маятниковых периодических движений тяжелого твердого тела содержит четыре параметра и весьма громоздка для исследования. Орбитальная устойчивость маятниковых периодических движений исследовалась [3—10] при различных ограничениях, налагаемых на геометрию масс тела.
Методика анализа устойчивости, используемая в данной статье, применялась также для анализа орбитальной устойчивости плоских маятниковых движений динамически симметричного спутника, движущегося относительно центра масс под влиянием гравитационных моментов [11]. В этой связи стоит заметить, что исследование орбитальной устойчивости плоских движений твердого тела представляет интерес не только как задача классической механики, но и может иметь важное прикладное значение для космической динамики. Дело в том, что уравнения движения тяжелого твердого тела с неподвижной точкой с точностью до обозначений совпадают с уравнениями движения спутника, движущегося относительно центра масс под влиянием магнитных моментов, в предположении, что моменты прочих сил (в том числе и гравитационных) пренебрежимо малы [12]. Такая ситуация возникает, например, в случае, когда спутник представляет собой сферически симметричное твердое тело, а на его борту установлены сильные магниты. Таким образом, результаты, полученные в данной статье, могут быть использованы для решения задач пассивной стабилизации намагниченного искусственного спутника Земли.
2. Гамильтониан задачи. Невозмущенное движение в переменных действие — угол. Введем обобщенные импульсы, соответствующие углам Эйлера:
дL _ dL _ дL
TT , рв — Т , Ра — ТТ
dv д0 дф
Pv — тт, Рв — —, Ра — — (2.1)
Координата у циклическая, а соответствующий ей импульс p¥ — проекция кинетического момента на вертикаль. В соответствии с принятым выше предположением Pw = 0.
Перейдем к новым каноническим переменным
Яг = Ф - Т' = б - П, р = , Р2 = ^ (2.2)
2 2 цС цС
и введем безразмерное время т = ц?.
В новых переменных уравнения движения запишутся в канонической форме с функцией Гамильтона
H = - cos(qx + а) +
(1 - cosq2) cos(qx + а) + 1 (1 + sin2qx)p\tg2+
+ sin qicos q^^i tg qp + 1 (1 + cos2 qi )p2
(2.3)
На решениях, отвечающих плоским маятниковым движениям твердого тела относительно неподвижной оси инерции z, изменение переменных qb pl описывается системой канонических уравнений с гамильтонианом
Ht0) = p2/2 - cos(q1 + а) (2.4)
а переменные q2, p2 принимают нулевые значения. В зависимости от значения постоянной h интеграла энергии Н-0) = h плоские движения будут либо асимптотическими (h = 1) к неустойчивому положению равновесия (ф = п/2 — а) твердого тела, либо представляют собой периодические движения: колебания (|h| < 1) в окрестности устойчивого положения равновесия (ф = 3п/2 — а) или вращения (h > 1) относительно оси z.
Введем переменные I и w, которые являются переменными действие — угол для системы с гамильтонианом Н(0), описывающей невозмущенное движение. В случае колебаний каноническая унивалентная замена переменных q:, p1 ^ I, w имеет вид [1]
q1 = 2arcsin[k1 sn(u, k1)] - a, p1 = 2k1 cn(u, k 1), u = 2я-1 K(к 1 )w (2.5) где kx = k1(I) — функция, обратная к функции
I = 8я-1 [E(к 1) - (1 - k1)K(к 1)] (2.6)
В случае вращений переменные действие — угол Iи w вводятся по формулам [3]
q1 = 2am(u, k2) - a, p1 = 2k^1 dn(u, k2), u = я-1 K(k2)w (2.7)
где k2 = k2(I) — функция, обратная к функции
I = 4E( k2)/(nk2) (2.8)
В соотношениях (2.5)—(2.8) используются общепринятые обозначения для эллиптических функций и интегралов [13]. В невозмущенном движении
I = I0 = const, w = ют + w (0) (2.9)
где ю — частота периодического движения. В случае колебаний ю = n/(2K(k1)), а в случае вращений ю = n/(k2K(k2)). При этом k1(I0) = sin(P/2) (где в — амплитуда плоских колебаний; 0 < в < п), k2 (I0) = 2(1 + h)-1. Вместе с соотношениями (2.9) формулы (2.5), (2.7) определяют явную зависимость переменных q1, px от т на невозмущенном движении.
3. Гамильтониан возмущенного движения. Изоэнергетическая редукция. Введем возмущение переменной действие rl = I — I0 и разложим гамильтониан возмущенного движения r(w, rb q2, p2) в ряд по q2, p2, r{.
Г = Г2 + Г4 +... + r2m + ..., (3.1)
где Г2т — форма степени 2m относительно q2, p2, |r1|1/2 с 2п-периодическими коэффициентами относительно w. Несущественная аддитивная постоянная в (3.1) опущена. Необходимые для дальнейшего анализа формы Г2 и Г4 имеют вид
Г2 = ЮГ1 + Г20)(q2, Р2, w) , Г20) = ¡20(12 + /ii(lP2 + fü2pl (3.2)
^ i дю 2 дГ20) , ч „(0) „ 4 „ 3
Г4 = Г1 + -тт-Г1 + Г4 ((2,Р2, w), Г4 = /40(2 +/31 qp (3.3)
2 д! д!
/20 = 2 [p2( 1 + sin2(i) + cos ( (i + а)], /il = Pisinqicosqi, /02 = 1( 1 + cos2(i)
2 2 (3.4)
1 2 2 1
/40 = 24[8Pi( 1 + sin (i) - cos(qi + а)], /31 = 3Pisinqicos(i
Величины q1 и р1 отвечают невозмущенному движению и определяются по формулам (2.5) и (2.7) в случаях колебаний и вращений соответственно.
Гамильтониан (3.1) зависит от двух параметров: угла а и величины I0, которая является параметром семейства траекторий невозмущенного движения. Для дальнейшего анализа, однако, будет удобнее вместо I0 использовать постоянную энергии плоского невозмущенного движения.
Задача об орбитальной устойчивости плоских колебаний и вращений твердого тела эквивалентна задаче об устойчивости канонической системы с гамильтонианом (3.1) по отношению к переменным q2, p2, r:.
Для решения вопроса об устойчивости необходимо выполнить нормализацию гамильтониана (3.1), а затем применить соответствующие критерии устойчивости [14]. Заметим, однако, что данные критерии устойчивости совпадают с критериями устойчивости положения равновесия редуцированной системы с одной степенью свободы, описывающей движение на изоэнергетическом уровне Г = 0. Поэтому далее будем рассматривать возмущенное движение лишь на изоэнергетическом уровне Г = 0, отвечающем невозмущенному движению.
В силу уравнений движения с гамильтонианом (3.1) координата w является возрастающей функцией переменной т, поэтому для описания движения на нулевом изоэнергетическом уровне координату w можно принять за новую независимую переменную. Кроме того,
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.