ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА И МЕХАНИКА
Том 77. Вып. 2, 2013
УДК 531.36
© 2013 г. С. Г. Журавлёв, Ю. В. Перепелкина
ОБ УСТОЙЧИВОСТИ В СТРОГОМ НЕЛИНЕЙНОМ СМЫСЛЕ ТРИВИАЛЬНОГО ПОЛОЖЕНИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОГО РАВНОВЕСИЯ
В КЛАССИЧЕСКОМ И ОБОБЩЕННЫХ ВАРИАНТАХ ЗАДАЧИ СИТНИКОВА
Исследуется устойчивость в строгом нелинейном смысле тривиального положения относительного равновесия в классическом и в обобщенных вариантах задачи Ситникова в случае малых эксцентриситетов орбит тел конечных размеров. В классическом варианте задачи (п = 2) доказано отсутствие резонансов второго, третьего и четвертого порядков, а также случая вырождения. В обобщенных вариантах (2 < п < 5 • 105) доказано отсутствие резонансов второго и третьего порядков, а также случая вырождения. Резонанс четвертого порядка имеет место в вариантах задачи, в которых число тел конечных размеров удовлетворяет неравенству 45000 < п < 62597, при этом эксцентриситет орбит е < 0.25. Применение теорем Арнольда— Мозера и А.П. Маркеева позволило установить устойчивость по Ляпунову тривиальных положений относительного равновесия в упомянутых вариантах задачи Ситникова.
Задача Ситникова [1] — это простейший вариант ограниченной эллиптической задачи трех тел, не интегрируемой в квадратурах. Вместе с тем она представляет собой пример динамической системы, у которой существуют практически все типы движений: стационарные, периодические, квазипериодические, а также наблюдаются хаос и бифуркации.
Проблема устойчивости тривиального положения относительного равновесия, существующего в этой задаче и ее обобщениях, несмотря на существование нескольких публикаций по этой проблеме, еще не решена. Недавно была исследована [2] устойчивость тривиального положения относительного равновесия и доказана его устойчивость в линейном приближении при почти всех значениях эксцентриситета орбит тел конечных размеров для классического варианта задачи (п = 2). Однако ранее [3] эта проблема устойчивости рассматривалась в более общей постановке и к тому же не только в линейном приближении, но и в строгом нелинейном смысле. Было, в частности, доказано, что устойчивое в первом приближении при малых эксцентриситетах орбит тел конечных размеров тривиальное положение равновесия остается устойчивым и в строгом смысле при учете нелинейных членов и отсутствии резонансов вплоть до резонансов четвертого порядка. Такой вывод относится прежде всего к положению относительного равновесия в классическом случае задачи Ситникова (п = 2). Для обобщенного варианта задачи Ситникова (2 < п < 5 • 105) показано, что устойчивое в первом приближении при малых эксцентриситетах орбит тел конечных размеров тривиальное положение равновесия остается устойчивым и в строгом смысле при наличии резонансов четвертого порядка вида 4 ю = 3. При этом рассмотрен лишь случай п = 5 • 105.
Однако из теории устойчивости гамильтоновых систем известно, что для окончательного решения проблемы устойчивости в этой задаче необходимо рассмотреть резонансы и ниже четвертого порядка, а также вырожденный случай [4—6].
В данной работе проводится нелинейный анализ устойчивости тривиального положения относительного равновесия, прежде всего в классическом варианте задачи Ситникова, и показывается, что в этом варианте задачи резонансы второго, третьего и четвертого порядков, равно как и вырожденный случай, не проявляются, и следовательно, в соответствии с теоремами Арнольда—Мозера и А.П. Маркеева [4—6], исследуемое положение относительного равновесия устойчиво по Ляпунову при малых эксцентриситетах орбит тел конечных размеров.
В обобщенном варианте задачи Ситникова, сформулированном А.Н. Прокопеней [3], в котором гравитационное поле задачи генерируется системой n частиц (n > 2, вплоть до 5 • 105) одинаковой массы, движущихся в единой плоскости относительно общего барицентра по эллиптическим орбитам, определяемым соответствующим решением задачи n тел, и находящихся в любой момент времени в вершинах правильного n-угольника [7], авторами также завершено исследование устойчивости тривиального положения равновесия в строгом нелинейном смысле для орбит достаточно малого эксцентриситета. При этом не потребовалось выполнения многих трудоемких выкладок, свойственных задачам такого типа, поскольку все основные громоздкие преобразования были выполнены [3] в рамках пакета Mathematica. Необходимые дополнительные преобразования значительно меньшего объема были проделаны с привлечением пакета Maple 13. В результате удалось показать, что резонансы второго и третьего порядков, а также вырожденный случай не проявляются и в этом варианте задачи. Что касается резонанса четвертого порядка, то он имеет место лишь в вариантах с количеством частиц, удовлетворяющих неравенству 45000 < n < 62597, и при малых эксцентриситетах орбит e < 0.25, однако не приводит к неустойчивости.
Применение теоремы А.П. Маркеева [6] позволило сделать вывод об устойчивости по Ляпунову тривиального положения относительного равновесия в этих вариантах задачи.
1. Постановки задач. Рассмотрим прежде всего движение материальной точки P0 массы m в поле гравитационного притяжения по закону Ньютона двух тел Px и р конечных размеров и одинаковой массы mj (mj > m), движущихся по кеплеровским эллиптическим орбитам относительно их барицентра. Расположим в барицентре начало O правой прямоугольной системы координат Oxyz и совместим плоскость Oxy с плоскостью орбит тел конечных размеров (фиг. 1).
Поставим задачу исследования устойчивости движения материальной точки P0 вдоль оси Oz, совпадающей в данном случае с перпендикуляром, восставленным в середине отрезка [Pb P2]. Такое движение может быть обеспечено надлежащим выбором начальных условий.
Приведенная постановка ограниченной эллиптической задачи трех называется классическим вариантом задачи Ситникова. Было доказано [2], что имеющееся в задаче тривиальное положение относительного равновесия устойчиво в линейном приближении при почти всех значениях эксцентриситета орбит тел конечных размеров. В более ранних работах [3, 8, 9] при анализе некоторых более общих постановок задачи Ситникова также отмечалась устойчивость тривиального положения равновесия в линейном приближении, по меньшей мере в случае малых эксцентриситетов орбит тел конечных размеров.
Фиг. 2
В обобщенных вариантах задачи Ситникова, которые сформулированы А.Н. Прокопе-ней [3], движение материальной точки P0 массы m находится под воздействием гравитационного поля, генерируемого системой n частиц (n > 2, вплоть до 5 ■ 105) одинаковой массы mi (mi > m), движущихся в единой плоскости относительно общего барицентра по эллиптическим орбитам, определяемым соответствующим решением задачи n тел, и находящихся в любой момент времени в вершинах правильного n-угольника [7] (фиг. 2).
Поставим также задачу исследования устойчивости движения материальной точки P0 вдоль оси Oz, совпадающей в данном случае с перпендикуляром, восставленным в общем барицентре системы частиц. При этом все аналитические выкладки будут проводиться в постановке обобщенных вариантов задачи, а при формулировке результатов будет выделен случай классического варианта задачи Ситникова.
Введем в рассмотрение цилиндрическую систему координат Orqz и запишем известные из небесной механики соотношения, связывающие параметры орбит тел конечных размеров:
r¡ = p, ф j = v + nj, Zj = 0, rj — = c = const, j = 1,2,... \ dt
n-1 1 (1.1)
£ = 1 + e cos v, c = ^VGpmS1, S1 = Y (sin—) , n > 2
2 *=Л n'
где p и e — фокальный параметр и эксцентриситет одинаковых эллиптических орбит, V — истинная аномалия, с — постоянный параметр, G — гравитационная постоянная.
Кстати, при n = 2 имеем S1 = 1 и S1 = 348403.26 при n = 5 • 104.
Используя далее истинную аномалию v в качестве независимой переменной и переходя к координатам Нехвилла, запишем функцию Гамильтона в виде [3]
H = 1 p2 z2 -^^ (1.2)
2 Z 2^
где pz = pz (v) и z = z(v) — канонические сопряженные импульс и координата.
В результате уравнения движения точки P0 запишутся в следующем каноническом виде:
= р = _ г
(
1 + 4п
¿Л(1 + г2)3.
(1.3)
Очевидно, что система дифференциальных уравнений (1.3) обладает тривиальным стационарным решением — положением относительного равновесия г = = 0, анализ устойчивости которого, как уже отмечалось, в линейном приближении при малых эксцентриситетах орбит тел конечных размеров проведен ранее [3]. Оказалось, что положение относительного равновесия устойчиво в первом приближении, и была доказана его устойчивость в строгом нелинейном смысле при наличии одного резонанса четвертого порядка.
Отметим, что анализ устойчивости положения относительного равновесия [3] оказался незавершенным, хотя основные необходимые громоздкие преобразования гамильтониана в рамках пакета МаШешаиса были выполнены и оставалось проанализировать возможности появления резонансов, в частности второго и третьего порядков, вырожденного случая, а также выявить диапазон изменения числа частиц п > 2 и значений эксцентриситета их орбит в обобщенных вариантах задачи, при которых возможен резонанс четвертого порядка.
Восполнить указанный пробел, а именно: показать невозможность реализации ре-зонансов второго и третьего порядков, равно как и вырожденного случая, провести дополнительные несложные преобразования (представление практически всех разложений в форме рядов Фурье с коэффициентами в виде степенных рядов по эксцентриситету), проанализировать диапазон изменения числа частиц п > 2 и значений эксцентриситета их орбит в обобщенных вариантах задачи при резонансе четвертого порядка и сформулировать окончательные теоремы об устойчивости и призвана данная работа.
2. Нелинейный анализ устойчивости. Представим функцию Гамильтона (1.2) задачи в виде разложения
Н = Н2 + Н3 + Н4 + ... (2.1)
где
„12 а + ^ -1 2 „ п „ 3а 4 4п /ооч
Н2 =- рг +-2-г , Н3 = 0, Н4 =— г , а =— (2.2)
2 2 г 2Е, 3 4 ¿1
Отметим отсутствие слагаемых третьего порядка в разложении исходного гамильтониана (2.1), вследствие чего будут также отсутствовать члены второго порядка в уравнениях возмущенного движения.
Для исследования устойчивости тр
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.