ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА И МЕХАНИКА
Том 77. Вып. 2, 2013
УДК 539.3
© 2013 г. К. М. Зингерман, В. А. Левин
ОБОБЩЕНИЕ ЗАДАЧИ ЛАМЕ-ГАДОЛИНА ДЛЯ БОЛЬШИХ ДЕФОРМАЦИЙ И ЕЕ АНАЛИТИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ
Рассматривается для случая больших плоских деформаций постановка и решение осесимметричной статической задачи о напряженно-деформированном состоянии двух полых круговых упругих цилиндров, один из которых предварительно деформирован и вставлен в другой цилиндр (обобщение задачи Ламе—Гадолина на случай больших деформаций). С использованием теории наложения больших деформаций получено точное аналитическое решение статической задачи для цилиндров из несжимаемых материалов Трелоара и Бартенева—Хазановича, включая случай, когда цилиндры изготовлены из разных материалов. Для цилиндров из сжимаемого материала Блейтца—Ко получено аналитическое решение в параметрической форме. Исследованы нелинейные эффекты.
Рассматриваемая задача представляет собой обобщение задачи Ламе—Гадолина [1] на случай наложения больших деформаций [2—6]. Полученные ниже ее решения для разных классов нелинейно-упругих материалов — видимо, одни из первых точных аналитических решений задач о наложении больших деформаций. Отметим, что имеется решение этой задачи при малых деформациях [7].
Статья состоит из трех разделов. После физической формулировки задачи (разд. 1) рассматривается математическая постановка и дается точное аналитическое решение задачи для цилиндров из несжимаемых материалов (на примере материалов Бартенева—Хазановича и Трелоара), включая случай, когда цилиндры изготовлены из разных материалов (разд. 2). Затем приводятся математическая постановка и решение этой задачи для сжимаемого материала, механические свойства которого описываются определяющими соотношениями Блейтца—Ко (разд. 3).
1. Формулировка физической задачи. Круговой упругий цилиндр, к внутренней поверхности которого может быть приложено давление, деформируется под действием этого давления и некоторой нагрузки, приложенной к внешней поверхности, таким образом, что его внешняя граница сохраняет круговую форму, а радиус уменьшается на заданную величину. Затем этот цилиндр вставляется в другой (недеформирован-ный) цилиндр, внутренняя поверхность которого совпадает с внешней поверхностью первого цилиндра после его предварительной деформации. Цилиндры находятся в промежуточном состоянии (для второго цилиндра оно совпадает с недеформирован-ным). Затем нагрузка, приложенная к внешней поверхности первого цилиндра, убывает до нуля. Цилиндры приходят во взаимодействие, которое рассматривается без учета динамических эффектов. Вследствие этого взаимодействия в них возникают дополнительные деформации и соответствующие им напряжения. Границы цилиндров меняются, и они переходят в конечное (текущее) состояние. Считается, что в этом состоянии на границе между цилиндрами выполнено условие идеального контакта, т.е. внешняя граница первого цилиндра совпадает с внутренней границей второго и на этой границе истинные нормальные напряжения обоих цилиндров совпадают.
Предварительное деформирование первого цилиндра может осуществляться не посредством приложения нагрузки, а в результате изменения его температуры (охлажде-
ния). В таком случае вместо снятия нагрузки осуществляется его нагревание до исходной температуры [7].
Результаты решения этой задачи могут быть использованы при расчете остаточных напряжений, возникающих при соединении элементов конструкций, изготовленных из высокоэластичных материалов, и при исследовании их возможного разрушения под действием этих напряжений на основе различных критериев [8, 9].
2. Математическая постановка и решение задачи для несжимаемых материалов. Математическая постановка задачи в координатах промежуточного состояния в принятых ранее обозначениях [2] имеет следующий вид. Для промежуточного состояния (т.е. для определения начальной деформации первого цилиндра) записываются уравнение равновесия, граничные условия и кинематическое соотношение
1
V- Со, 1 = 0 (2.1)
1
N - Со, 1Ь = 0, (И! - Ио)| , = иг (2.2)
1 1 1 2
То,1 = (V Ио )-1 (2.3)
Для конечного состояния (т.е. для задачи о совместном деформировании цилиндров, после того как один из них вставлен в другой), записываются уравнение равновесия, граничные условия и кинематические соотношения
V -[(2)*-1 - Со, 2] = 0 (2.4)
N - Со,21г2 = 0, 2 Со,3|г2 = 0 (2.5)
1 1 1 3
Т, 2 = = Е + Vи2, То, 2 = Т),1 - ^1,2 (2.6)
Постановка задачи для обоих состояний включает также определяющие соотношения для материала Бартенева—Хазановича
Со, „ = 2 ^ - А, „Е, Го, „ = Т* „ - То, „, п = 1, 2 (2.7)
и условия несжимаемости
ёйТк, п = 1, п = 1, 2, к < п (2.8)
Кроме того, в постановку задачи входит условие непрерывности вектора R2 и векто-
2 2
ра нормальных напряжений N ■ о0, 2 на границе Г2 между цилиндрами в конечном состоянии.
Использованы следующие обозначения: индекс 0 соответствует начальному (неде-формированному) состоянию, 1 — промежуточному, 2 — конечному, Rk — радиус-вектор частицы в к-м состоянии, ¥к, п — аффинор деформаций при переходе из к-го в и-е состояние, о0, п — тензор истинных напряжений при переходе из начального в и-е со-
Г к -рп к »
1 и Г 2 — внутренняя и внешняя граница первого цилиндра в к-м состоянии
соответственно (Г2 при к = 1, 2 является и внутренней границей второго цилиндра в
соответствующем состоянии), Г^ — внешняя граница второго цилиндра в к-м состоянии, иг — заданный вектор смещения внешней границы первого цилиндра при его на-
к
чальной деформации, N — вектор единичной нормали к границе в к-м состоянии, п — тензорная мера деформаций, соответствующая мере Фингера, р0 п — множитель Лагранжа, Е — единичный тензор.
Отметим, что вследствие осевой симметрии задачи вектор единичной нормали к
2 1
границам цилиндров не меняется при деформации, т.е. N = N. Это позволяет переписать граничные условия (2.5) и условие непрерывности вектора нормальных напряжений в координатах промежуточного состояния.
Рассмотрим решение задачи в цилиндрической системе координат (р, 9, z). Пусть г0 — радиальная координата частицы в начальном состоянии, р — в промежуточном, г — в конечном. Обозначим через а1 внутренний радиус первого цилиндра в промежуточном состоянии. Его внешний радиус в этом состоянии без ограничения общности можно считать равным единице. Пусть внешний радиус первого цилиндра в начальном состоянии равен 1 + е, а внешний радиус второго цилиндра до деформации равен с0. Из смысла введенных обозначений ясно, что
0 < а1 < 1, е > 0, с0 > 1
Для решения используется подход, обобщающий на случай наложения больших деформаций одно из универсальных решений для несжимаемых материалов [10, 11]. Интегрирование условий несжимаемости (2.8) с учетом осевой симметрии задачи (и в предположении о том, что движение частиц происходит только в радиальном направлении) позволяет получить выражения для г0 и г через р с точностью до постоянной. Подстановка полученных выражений в кинематические и определяющие соотношения и затем в уравнения равновесия приводит к линейным дифференциальным уравнениям для множителей Лагранжа р0 п (п = 1, 2). Решение этих уравнений позволяет определить р0 п и затем — напряжения. Постоянные определяются из граничных условий.
Сначала определим начальную деформацию первого цилиндра. Условие несжимаемости (2.8) при п = 1 может быть записано в виде
Рг = 1 ^ Го = л/Ас (2.9)
р а р
Диагональные компоненты аффинора начальных деформаций при учете равенства (2.9) определяются по формулам
^ 1 = (Ор)" = р, №. 1 )ее = р = р, 1)« = 1; р = 7=р= ар р Го л/р2 + С
а недиагональные компоненты равны нулю. Подстановка этих компонент в определяющие соотношения (2.7) дает
(^о, 1 )„ = ^ + Ро, 1, (^о, 1) ее = 2 Ир + Ро, 1 (2.10)
рр
Наконец, после подстановки выражений (2.10) в уравнение равновесия
"Г [(а0,1)„] + 1 [(^0,1 )„ - (Сто, 1 )00] = о d р р
получается дифференциальное уравнение для p0 ::
d (Ро, 1) = 0 d р
откуда p0,: = B, B — постоянная. Подстановка этого выражения в формулы (2.10) позволяет получить окончательные выражения для начальных напряжений. Постоянные C и B определяются из граничных условий (2.2), которые могут быть записаны в виде
Г>| р = 1 = 1 + е, К1) rr\р = в1 = 0
В частности, первое из этих условий при учете равенства (2.9) позволяет найти C:
C = 2 е + е2 (2.11)
Найдем теперь дополнительные деформации. Характеристики напряженно-деформированного состояния в первом цилиндре будем помечать верхним индексом int, а во втором цилиндре — индексом ext. Индекс 0,2, указывающий номера состояний, будем для краткости опускать. Тензор дополнительных деформаций Т 2 будем обозначать через Ф, чтобы отличать его от тензора полных деформаций Т0 2 = Т. Условие несжимаемости det¥:, 2 = 1 может быть записано в виде
^ = 1 ^ r = л/р2 + Q (2.12)
р d р
Q — постоянная. Поскольку должно выполняться условие непрерывности r на границе между цилиндрами, значение этой постоянной будет одним и тем же для обоих цилиндров.
Ненулевые компоненты аффинора дополнительных деформаций при учете равенства (2.12) определятся следующим образом:
Фгг = ^ = р, ф00 = - = 11, ф« = 1; р = -т-^— (2.13)
1 I ' 00 — 7 ее ' Г I-
dр р р vaq
Для ненулевых компонент аффинора полных деформаций в первом цилиндре имеют место следующие выражения:
^ = (^с, 1 )„Ф„ = Р, < = (^с, 1)ееФее = i; Р = ^Р2^ ^
р JT+Q
mint = 1
zz
Во втором цилиндре начальные деформации отсутствуют, поэтому полные деформации в нем равны дополнительным.
После подстановки компонент этих тензоров в определяющие соотношения (2.7) имеем
int 0 ~ int int 2ц, int ,
ct,, = 2цр + p , CT00 = -i- + p (2.14)
P
ext ~ ~ ext ext 2 Ц ext л
<згг = 2 цр + p , а00 = + p (2.15)
Р
Уравнение равновесия (2.4) для внутреннего цилиндра может быть записано в виде
d [<7Фгг] + 1 [<7Фгг - стее/Фее] = 0 d р р
Аналогично записывается уравнение равновесия для внешнего цилиндра. Подставляя в эти уравнения выражения (2.13), (2.14), (2.15), получаем дифференциальные уравнения для множителей Лагранжа
а <■ ext4 ~ d у int4 ~ int „int ext j^ext л
— (p ) = 0, — (p ) = 0 ^ p = B , p = B
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.