ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА И МЕХАНИКА
Том 77. Вып. 2, 2013
УДК 539.3:534.1
© 2013 г. В. И. Ерофеев, Е. Е. Лисенкова
ОБЩИЕ СООТНОШЕНИЯ ДЛЯ ВОЛН В ОДНОМЕРНЫХ УПРУГИХ СИСТЕМАХ
Выявляются общие закономерности, присущие волнам, распространяющимся в одномерных упругих системах. Приводятся локальные законы переноса энергии и волнового импульса в случае, когда лагранжиан упругой системы зависит от обобщенных координат и их производных до второго порядка включительно. Показано, что в системе отсчета, движущейся с фазовой скоростью, отношение плотности потока энергии к плотности потока волнового импульса равно фазовой скорости. Установлено, что для систем, динамическое поведение которых описывается линейными уравнениями или нелинейными относительно неизвестной функции, отношение средних значений плотности потока энергии к плотности волнового импульса равно произведению фазовой и групповой скоростей волн.
Рассмотрим одномерную упругую систему, плотность функции Лагранжа (лагранжиан) X(x, t, u, ux, ut, uxx, uxt) которой зависит от обобщенных координат u(x, t) = = {Ui (x,t),...,Un (x,t)} и их производных до второго порядка включительно как это имеет место, например, для описания балок моделей Бернулли—Эйлера и Релея [1]. Будем считать функцию X дважды непрерывно дифференцируемой по совокупности своих аргументов. Вычислим от нее полную частную производную по времени t:
дХ n
— = Х t + X (ХuUjt + XUjxUjxt + XUjtUjtt + XUjxxUjxxt + XUjxtUjxtt ) (1)
j=i
Через X t обозначена производная по явно входящему времени.
Воспользовавшись уравнениями колебаний упругой системы [1]
V-—XU.-dXU.+^XU . XU. = 0, j = 1, ..., n (2)
Uj dx Ujx дt Ujt дx2 Ujxx dxdt Ujxt 9 J 9 9 w
являющихся следствием условия стационарности интеграла действия при отсутствии действующих на систему непотенциальных сил, и тождествами
Ujt dt XUjt = dt (UjtXUjt) - Ujt^Ujt, Ujt dixXUjX = dix (UUjtXUjX) - Ujtx^UjX
Ujt dLt Xujxt " Îx(Ujt dt ^^xt) - fUjxtXujxt) + Ujxtt
Ujt dx2 ^Ujxx " dix ( Ujt dix ^Ujxx - UjxtXUjxx ) + Ujxxt^Ujxx
преобразуем равенство (1) к уравнению переноса энергии
дЖ + М = -Х, (3)
д Г дх
где
п
Ж(х, Г) = £ ( Щ\ир + Ц^) - X (4)
1 = 1
5(х,Г) = £{^ (я^^ -д) + ^Чхх} (5)
1=1
Ж(х, ?) — плотность функции Гамильтона (плотность энергии) [2].
Для стационарной системы (ХГ = 0) в отсутствие непотенциальных сил соотношение (3) выражает закон изменения энергии в элементе распределенной системы за счет ее потока через границы элемента. Тем самым величину 5 (х, 0 следует рассматривать как плотность потока волновой энергии.
В общем случае уравнение переноса энергии имеет вид
— + ё1у8 = -X Г (6)
дГ
Вектор 8 — плотность потока энергии (вектор Умова—Пойнтинга), широко используется в механике сплошных сред и электродинамике [2—5] для описания волновых процессов.
Для нестационарных систем, когда правая часть уравнений (5) и (6) отлична от нуля, возможно изменение (увеличение или уменьшение) энергии волнового поля за счет работы внешних сил, изменяющих параметры системы.
С целью получения уравнений переноса волнового импульса продифференцируем лагранжиан по пространственной координате х:
п
— = Х х + X + Хи!Ц]хх + V+ ^и^рах + ^и ¡Ц]хх1),
1=1
где X х — производная по явно входящей переменной х. Используя уравнения (2) и группируя слагаемые в уравнение дивергентного типа, получим
дР + дТ = 1 х (7)
дГ дх Здесь
п
Р (х, Г) = -X (ир + и^х,) (8)
1=1
Т Г) = Х- £ {и1х (Хих-д -д Ъи»,) + и1ххХи,}} (9)
1=1
где р(х, ?) — плотность волнового импульса, Т(х, ?) — плотность потока волнового импульса [4].
Если параметры системы явно зависят от координаты, как, например, в стержне переменного сечения, то правая часть уравнения (7) отлична от нуля. Это указывает на возможность изменения (усиления или ослабления) волнового импульса в неоднородной системе. Уравнения (3) и (7) выражают локальные законы изменения энергии и волнового импульса в одномерной распределенной системе. Для получения глобальных законов необходимо проинтегрировать эти уравнения по размерам системы.
Отметим, что в литературе чаще встречается другой прием получения уравнений переноса энергии и волнового импульса, а именно, путем умножения уравнений движения (2) на и, и и1х , соответственно [3]. Результат при этом не изменится.
В дальнейшем будем считать и1 (х, Г) = и (х, Г). Умножим плотность потока энергии на их, плотность энергии на и, и сложим. Далее, умножая полученное таким образом соотношение на их и воспользовавшись выражениями для плотности волнового импульса и его потока, будем иметь
их(ихБ + иЖ) + и,(ихТ + ир) = (ихих, - иихх)(и*Чх + и^их) (10)
Если лагранжиан упругой системы содержит производные обобщенных координат только первого порядка, то соотношение (10) упрощается и его правая часть обращается в нуль.
Для гармонической волны с медленно изменяющимися во времени и пространстве параметрами (квазигармоническая волна)
и (х, Г) = А (ех, е,) ехр [; (ю, - кх)] + к.с.; (тЛ) 1 дА/д, ~ (—кА) 1 дА/дх ~ е ^ 1,
где А (ех, е,) — комплексная амплитуда, ш — частота, к — волновое число, к.с. — комплексно-сопряженное выражение.
Правая часть уравнения (10) обращается в нуль в силу того, что для указанного приближения первый сомножитель в правой части равен нулю, и соотношение (10) можно переписать в виде
5 - «рЖ = и рЬ (Т - ^р); и рЬ =| (11)
Это равенство можно трактовать так, что в системе отсчета, движущейся с фазовой скоростью, поток энергии, переносимый волной, связан с плотностью потока импульса посредством фазовой скорости. Действительно, полагая в уравнениях (3) и (7) х' = х - ирЬ,, = ?, т.е. переходя в движущуюся со скоростью ирЬ систему отсчета, видим, что плотности потоков энергии и импульса будут соответственно равны 5 - ьрЪЖ иТ - -ОрЬ р.
В качестве примеров рассмотрим уравнения
и,, - с\ихх + ш*и = 0, р¥ии + !ЕЦххх + ки = 0 (12)
Первое из них описывает колебания с дополнительной возвращающей силой, пропорциональной перемещению и (х, Г), в частности, поперечные колебания струны, лежащей на линейном упругом основании; в квантовой теории поля это уравнение известно как уравнение Клейна—Гордона [6]. Второе уравнение (12) описывает в рамках модели Бернулли—Эйлера, изгибные колебания балки лежащей на линейном упругом основании, где р^ — погонная плотность, 1Е — изгибная жесткость балки, к — коэффициент упругости основания.
Лагранжианы X, соответствующие этим примерам, будут определяться соотношениями
X = (U2 - e0ul - ra*U2)Д (13)
Х = (pFU2 - IEU2XX - hU2)/2 (14)
Подставляя выражение (14) в уравнения (4), (5), (8), (9), получим
W (x, t) = (U2 + e02U:2 + ffl*U 2)Д, S(x, t) = -e20UxU, p (x, t) = -UxUt, T (x, t) = (U2 + e02U2 - ra*U2)/2
Для медленно изменяющегося в пространстве и во времени волнового пакета
U ~ a cos (ф + ф); a = \A\, ф = arg A (16)
значения плотностей энергии, импульса и их потоков в пренебрежении производными от a и ф будут иметь вид
W ~ {e2k2 + ш* - e0k2 cos 2 (ф + ф)|а2¡2, S ~ {1 - cos 2 (ф + ф)} e^aka2¡2 p ~ {1 - cos 2 (ф + ф)} (йка2/2, T ~ {e^k2 - (га* + e^k2)cos2 (ф + ф)}а2¡2
Здесь учтено, что dy/dt = ю, дф/Sx = -k, а частота ю и волновое число k связаны по-
2 2,2 , 2
средством дисперсионного уравнения га = e0 k + га*, которое следует из первого уравнения (12).
Вычисляя выражения, соответствующие левой и правой части первого равенства (11), убеждаемся в справедливости тождеств
2 2
S - иphW T - и php ra*a га k 2k
В случае балки значения, полученные в результате: 1) подстановки выражения (15) в соотношения (4), (5), (8), (9), а затем в соотношение (16), 2) пренебрежения производными от медленно меняющихся а, ф, ш и k, 3) использования следующего из второго уравнения (12) дисперсионного уравнения
р F га2 = IEk4 + h (17)
таковы:
W ~ (IEk4 + h)a2/2, S ~ IErnk3a2
p ~ pF {1 - cos 2 (ф + ф)} (üka1 ¡2, T ~ {2IEk4 - pF©2 cos 2 (ф + ф)}a2¡2 Из этих выражений следует
(S - иphW)/ю = (T - иphp)/k = (IEk3 - h/k)a2/2
В рамках сделанных допущений вычислим средние за период значения плотности потока энергии и плотности волнового импульса
(S) = IErnk 3a2, (p) = pFraka 72. (19)
По определению групповой скорости имеем и gr = do/dk, поэтому из равенства (17) следует и gr = 2IEk3 /pF©. Из соотношений (19), находим, что
S Л p> = и grU ph (20)
Это выражение справедливо и для поперечных колебаний струны, описываемых первым уравнением (12).
Рассмотрим одномерную распределенную систему со стационарными и однородными параметрами, лагранжиан которой имеет вид
X = aU + а2ül - ßU2 - ß2U2 - ßiU2xx - yU4 - у2UX - уUl (21)
Подставляя выражение (21) в уравнения (2), получим, что в отсутствие распределенных потерь и источников колебания распределенной системы будут описываться уравнением
aiU« - а2Uxxtt - ß2Uxx + ß3Uxxxx + ßiU + 2yiU3 - (22)
2 2 2
- 2Ux Uxx + 12Y3Uxxxuxx + 6Y3UxxUxxxx = 0
Входящие сюда постоянные коэффициенты определяются через параметры распределенной системы, U (x, t) — обобщенная координата, имеющая, например, смысл поперечного либо продольного смещения, либо угла закрутки, смотря по тому, какие вибрации рассматриваются.
Например, если
ai = pF / 2, а 2 = р//2, ß3 = EJ/ 2, у 2 = 5EF/8, ßi = ß2 = Yi = Y 3 = 0
а U (x, t) — поперечное смещение срединной линии балки, то уравнение (22) описывает изгибные колебания балки в модели Релея [1] (балка Бернулли—Эйлера, когда а,2 = 0) с геометрической нелинейностью. Здесь F — площадь поперечного сечения, J — осевой момент инерции сечения, E — модуль упругости, р — плотность материала.
Если
ai = pV2> а 2 = рЛр/2, ß2 = y.Ik/2, ß3 = 2,
Y2 = И V4 , ßi = Yi = Y3 = 0
где I0 — полярный момент инерции, Ik — момент инерции при кручении, I^ — момент депланации, а U (x, t) — угол поворота поперечного сечения, то уравнение (22) представляет собой уравнение крутильных колебаний стержня с кубической нелинейностью.
Аналогичным образом, задавая соответствующие значения коэффициентов уравнения (22), из него можно получить большой набор технических и уточненных теорий поперечных, продольных и крутильных колебаний однородных прямолинейных стержней, как в линейном приближении, так и при учете кубической нелинейно
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.