ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА И МЕХАНИКА
Том 77. Вып. 1, 2013
УДК 532.5
© 2013 г. Э. В. Теодорович
ОДНА ИЗ ВОЗМОЖНОСТЕЙ ЗАМЫКАНИЯ ЦЕПОЧКИ УРАВНЕНИЙ ДЛЯ СТАТИСТИЧЕСКИХ МОМЕНТОВ В ТЕОРИИ ТУРБУЛЕНТНОСТИ
Рассматривается задача о статистическом описании поля турбулентных пульсаций скорости на основе метода характеристического функционала. Получены уравнения для парной корреляционной функции (ПКФ) поля скоростей и функции Грина, описывающей усредненный отклик поля скорости на внешнее силовое воздействие. Получено представление нелинейного члена в уравнении для ПКФ в виде двух слагаемых, которые могут быть интерпретированы как результат учета переноса импульса за счет турбулентной вязкости и действия эффективных случайных сил (в рамках традиционного феноменологического описания учитывается только турбулентная вязкость). Предложена схема замыкания цепочки уравнений для статистических моментов путем использования низшего приближения теории возмущений для высших статистических моментов, в результате чего получена замкнутая система уравнений для ПКФ и функции Грина, решение которой соответствует суммированию некоторой бесконечной подпоследовательности полного ряда теории возмущений.
1. Введение. Решение проблемы статистического описания турбулентности, хотя бы в упрощенном варианте при предположении о стационарности, однородности и изотропности поля скоростей, до сих пор отсутствует несмотря на научную и практическую важность этой проблемы. Речь идет о нахождении статистических решений системы уравнений Навье—Стокса (УНС) при наличии внешней случайной силы (силы Ланжевена), моделирующей порождение энергии турбулентного движения за счет развития при больших числах Рейнольдса неустойчивости крупномасштабных течений.
Статистическое описание турбулентных течений означает знание вероятности найти заданную реализацию поля скоростей и(г, I) в элементарном объеме й[и(г, I)] функционального пространства реализаций поля скоростей, являющихся решениями УНС [1, 2]. Соответствующую вероятностную меру запишем в виде
И№(г, I)]) = Р[и(г, I)] й [и(г, I)]
I Р[и(г, I)] й [и(г, I)] = 1
где Р[и(г, I)] — функциональная плотность вероятности, подчиняющаяся приведенному выше условию нормировки, и интегрирование проводится по всевозможным реализациям поля скоростей. Экспериментальное определение плотности вероятности распределения реализаций поля скоростей — весьма трудная (практически неосуществимая) задача.
Знание плотности вероятности эквивалентно заданию статистических моментов поля скоростей (всех порядков). Экспериментальное определение статистических моментов (конечного порядка) для приближенного статистического описания поля турбулентных пульсаций скорости представляется более реальным. Однако попытки по-
лучить уравнения для статистических моментов оказываются неконструктивными, поскольку в силу нелинейности УНС уравнение для статистических моментов данного порядка содержит статистические моменты более высокого порядка и в результате возникает бесконечная цепочка зацепляющихся уравнений (цепочка Фридмана-Келлера [3]), аналогичная известной в статистической физике цепочке уравнений Боголюбова— Борна— Грина—Ивона—Кирквуда [4].
Возникает проблема обрыва этой цепочки (проблема замыкания). Существует множество способов замыкания, наиболее простой из них — отбрасывание членов, содержащих моменты выше некоторого выбранного. Другая возможность сводится к попытке выразить моменты высших порядков через низшие, например, с помощью гипотезы квазинормальности или лог-нормальности, что нередко приводит к нефизическим результатам, например, к отрицательным вероятностям [5].
Другая широко распространенная возможность замыкания сводится к некоторой феноменологической гипотезе о связи высших моментов с низшими моментами типа гипотезы турбулентной вязкости или длины пути перемешивания, что требует введения дополнительных подгоночных параметров, в результатае чего оказывается возможным добиться удовлетворительного согласия с экспериментальными данными в некоторой ограниченной области частот и волновых чисел.
Предложенный Крейчнаном [6] (см. также [7]) метод "приближения прямых взаимодействий" можно рассматривать как дальнейшее развитие метода моментов, при этом в дополнение к статистическим моментам Крейчнан вводит в рассмотрение функцию усредненного отклика поля скоростей на внешнее силовое воздействие (функцию Грина), которая определяется как решение задачи диффузионного переноса в случайном поле скоростей при заданной статистике поля скоростей.
Следует также упомянуть способ построения статистического решения УНС, основанный на теории возмущений, когда при вычислении статистических моментов нелинейный член в УНС рассматривается как возмущение, и решение для скорости представимо в виде ряда по степеням параметра нелинейного взаимодействия с последующим перемножением полученных рядов и почленным усреднением результата ("примитивная теория возмущений"). Однако в действительности нелинейный член не является малым, характеризующий нелинейность безразмерный параметр определяется числом Рейнольдса, которое оказывается большим в случае развитой турбулентности. Вследствие этого сходимость ряда теории возмущений будет очень медленной, т.е. знание нескольких первых членов ряда недостаточно для оценки поведения представляющих интерес характеристик турбулентности. Задача оказывается аналогичной проблеме сильных взаимодействий в квантовой теории поля, где были развиты методы улучшения теории возмущений путем частичного суммирования бесконечных подпоследовательностей полного ряда теории возмущений с помощью решения уравнений Дайсона ("улучшенная теория возмущений"). В применении к описанию турбулентности соответствующий подход был развит Уайлдом [8], который для анализа рядов теории возмущений использовал заимствованную из квантовой теории поля фейнмановскую диаграммную технику, когда отдельным членам ряда ставятся в соответствие некоторые графические символы, которым приписывается определенный наглядный физический смысл как процессов рождения, уничтожения и распространения квантов поля.
Отметим, что эффективное число Рейнольдса, определяемое отношением нелинейной подкачки энергии к данной моде со стороны крупномасштабных мод к величине вязкого поглощения за счет взаимодействия с мелкомасштабными модами в условиях стационарного режима развитой турбулентности оказывается величиной порядка единицы, что обеспечивает более быструю сходимость ряда. Отметим также, что в рамках "улучшенной теории возмущений" метод возмущений используется для нахождения
некоторых связанных с решением характеристик (например, оператора "собственной энергии"), что после подстановки в уравнение Дайсона и его последующего решения соответствует суммированию некоторой бесконечной подпоследовательности полного ряда теории возмущений.
Упомянем также возможность улучшения теории возмущений, связанную с применением метода ренормализационной группы (РГ) (см. обзоры [9,10]), что также соответствует суммированию некоторой (уже другой) бесконечной подпоследовательности полного ряда.
Еще одной особенностью, позволяющей выявить основные черты спектра энергии турбулентных пульсаций скорости в определенном интервале волновых чисел, является предположение о том, что спектр турбулентности формируется за счет нелинейных взаимодействий между модами близких масштабов, а взаимодействие между модами с сушественно различающимися масштабами осуществляется через каскадную последовательность взаимодействий мод промежуточных масштабов (ричардсоновский каскад); другими словами, следует говорить о "локальности межмодовых взаимодействий в пространстве волновых чисел" [11]. Это объясняется тем обстоятельством, что взаимодействие мод с существенно различающимися масштабами сводится к простому механическому переносу мелкомасштабных мод крупномасштабными без перераспределения энергии между модами [12]. Возникает проблема отделения сводящихся к переносу сильных взаимодействий мод с существенно различающимися масштабами от формирующих перенос энергии по спектру волновых чисел слабых взаимодействий мод близких масштабов [13]. Представление о локальности межмодовых связей лежит в основе описания турбулентности в рамках метода ренормализационной группы [9], и в частности, составляющий неотъемлемую часть техники РГ метод е -разложения следует рассматривать как способ отфильтровывания локальных взаимодействий от не участвующих в формировании спектра нелокальных взаимодействий [14].
Гипотеза локальности позволила предсказать форму спектра энергии в определенном интервале волновых чисел (колмогоровский спектр), которая получила экспериментальное подтверждение.
Задача исследования — получение замкнутой системы уравненией для двух представляющих непосредственный интерес функций, а именно, парной корреляционной функции поля скоростей и функции усредненного отклика поля скоростей на внешнее силовое воздействие (функции Грина). Как и при формулировке теории турбулентности в терминах статистических моментов, в предлагаемом подходе также возникает цепочка уравнений для последовательности неких величин, через которые можно выразить статистические моменты поля скоростей. Замыкание этой цепочки осуществляется с помощью использования на некотором этапе теории возмушений, что позволяет получить систему уравнений для двух скалярных функций. Решение этих уравнений соответствует суммированию определенной бесконечной подпоследовательности ряда теории возмущений для усредненных характеристик поля скоростей. При вероятностном описании поля турбулентных скоростей используется метод пространственно-временного характеристического функционала и уравнение в функциональных производных для него.
2. Математическая постановка задачи. Одним из возможных способов статистического описания случайных полей является метод характеристического функционала (ХФ). Введенный впервые Льюисом и Крейчнаном [15] пространственно-временной характеристический функционал представляет собой функциональный Фурье-образ плотности вероятности случайного поля скорости ([1]
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.