ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА И МЕХАНИКА
Том 77. Вып. 3, 2013
УДК 62-50
© 2013 г. А. И. Благодатских
ОДНОВРЕМЕННАЯ МНОГОКРАТНАЯ ПОИМКА В КОНФЛИКТНО УПРАВЛЯЕМОМ ПРОЦЕССЕ
Получены достаточные условия одновременной многократной поимки в линейном нестационарном конфликтно управляемом процессе с равными динамическими и инерционными возможностями всех участников.
Задача простого группового преследования с равными возможностями впервые рассматривалась Б.Н. Пшеничным, были получены [1] необходимые и достаточные условия поимки. Н.Л. Григоренко ввел понятие многократной поимки, для задачи с простыми движениями и равными возможностями им представлены [2] необходимые и достаточные условия многократной поимки. Были получены [3, 4] достаточные условия многократной поимки в конфликтно управляемых процессах и в примере Л.С. Понтрягина с равными возможностями. Для перечисленных задач приведены [5, 6] достаточные условия многократной, нестрогой одновременной и одновременной многократных поимок; в частности, для задачи простого группового преследования с равными возможностями получены [6] необходимые и достаточные условия одновременной многократной поимки.
Многократная поимка происходит, если заданное количество преследователей ловят убегающего, при этом моменты поимки могут не совпадать. Если моменты поимки (не обязательно наименьшие) совпадают, то говорят, что происходит нестрогая одновременная многократная поимка. Наконец, если совпадают наименьшие моменты поимки, то происходит одновременная многократная поимка.
1. Постановка задачи. В пространстве Як(к > 2) рассматривается дифференциальная игра Г п + 1 лиц: п преследователей Р1,Р2,..., Рп и убегающего Ес законами движения и начальными условиями (при t = 10)
XI = Л(()х1 + ы1, ы1 е V, х1 = X0, у = ЛЦ)у + и, и е V, у#0) = 70 (1.1)
причем X0 Ф 70 для всех / е I = {1,2,..., п}. Здесь XI,у е Як, V — строго выпуклый компакт в Як с гладкой границей и непустой внутренностью, Л($) — непрерывная на квадратная матрица порядка к. Для каждого у = 1,2,..., п определим множество
ЗДу) = {{ш1,ш2,..., шу} с I: ш1 < ш2 < ••• < шу}
Управления из класса измеримых по Лебегу функций на ^со значениями из множества V будем называть допустимыми. Квазистратегией преследователя р будем называть отображение и{, ставящее в соответствие моменту t, начальным позициям
X0 70 и произвольной допустимой предыстории управления убегающего и(5), t0 < 5 < t допустимое управление ы( (0, т.е.
ы<(0 = и(^ X0 70, и(5), 1о < 5 < t) При этом предполагается, что должно быть выполнено условие "физической осуществимости": если и1 и и2 — два допустимых управления убегающего Е, причем и ^) = и 2($) для
почти всех t е [t0,œ), то соответствующие им при отображении Ui функции u1, u2 также равны для почти всех t е [t0, œ).
Определение 1. В игре Г возможна m-кратная (нестрогая одновременная m -кратная) поимка (m > 1), если существуют такие момент T0 = T0(Xf, Y0) и квазистратегии Ui преследователей р, что для любого допустимого управления u(t) убегающего E найдутся множество Л e Q(m) и моменты та e [t0, T0], а е Л (момент т e [t0, T0]), для которых выполнено условие
ха(та) = У(та) для всех а е Л (ха(т) = у(т) для всех а е Л)
Определение 2. В игре Г возможна одновременная m-кратная поимка (m > 1), если существуют такие момент T0 = T0(Xf, Y0) и квазистратегии Ui преследователей Ph что для любого допустимого управления u(t) убегающего E найдутся множество Л e Q(m) и момент т e [t0, T0], для которых выполнено условие
ха(т) = у(т), xa(s) ^ y(s) для всех 5 e [t0, т), а е Л
2. Решение задачи. Вводя замены zi = xi - y перепишем соотношения (1.1) в виде
Z, = A(t)n + ut - и, щ, и e V, zt(f0) = Z0 = X0 - Y0 * 0, i e I (2.1)
Условие 1. Для всех K e Q(n - m + 1) имеет место включение
0 e Intco{Zy, j e K}
Пусть Ф^) — фундаментальная матрица системы ф = A(t )ф, такая, что Ф(t0) совпадает с единичной матрицей. Отметим, что Ф^^0 ^ 0 для всех t e [t0,œ), так как zf ^ 0 для всех i e I. Выражение "функция (определенная на [t0,œ)) — почти периодическая в смысле Бора" далее означает, что ее можно доопределить при всех t < t0 так, чтобы полученная функция стала почти периодической по Бору.
Предположение 1. Функция Ф^) — почти периодическая в смысле Бора.
Для всех a e V и b e Rk \ {0} определим функцию
X(a,b) = sup{X > 0 : (a - Xb) e V}
При выполненных условии 1 и предположении 1 были построены [5] управления Ut(t) преследователей р, обеспечивающие m-кратную поимку убегающего E вида
щ (t) = u(t) - X(v(t), для всех t e [t0, œ), i e I (2.2)
На их основе были построены [5] управления преследователей Pi, обеспечивающие нестрогую одновременную m-кратную поимку убегающего E; однако эти управления не обеспечивают совпадение m наименьших моментов поимки, т.е. не решают задачу об одновременной m-крат-ной поимке.
Определим допустимые управления преследователей Pi по формуле
щ(t) = u(t) - hi(t)X(v(t), O(t)Z;0)O(t)Z;° для всех t e [t0, ж), i e I (2.3)
Функции hi(t) e (0,1] определим ниже. Сначала отметим, что при h - 1 управления ui(t) совпадают с управлениями щ (t). Неформально hi(t) — это "коэффициент замедления сближения" преследователя Pi с убегающим E. Преследователи р, совместно управляя
этими "коэффициентами", обеспечат совпадение, как минимум, m наименьших моментов поимки, т.е. решат задачу об одновременной m-кратной поимке.
Далее считаем, что предположение 1 и условие 1 выполнены, управления преследователей р имеют вид (2.3).
Определим функции Н¡(г). По формуле Коши решение задачи (2.1) при любых допустимых управлениях участников имеет вид
( г \
z(t) = Ф(0
Z- + J Ф-1(s)(M;(s) - u(s))ds
для всех г > г0, I е I
откуда при учете соотношения (2.3) получаем
г
ц(г) = Ф(г^Ш Ы) = 1 - |НтиЫ Ф{вр■ № (2.4)
го
Пусть
T(t) =
если ^¡(t) = 0
—-, если ^(t) > 0 и X(v{t), Ф(^0) > 0 (2.5)
если ^i(t) > 0 и X{v{t), = 0
По значениям T(t) определим величины
T(t, J) = max Tj(t) для всех непустых J с I i^J
A(t) = arg min T(t, Л)
AeQ(m)
(2.6)
Если по формуле (2.6) определяется несколько множеств Л(г), то выберем любое из них.
Полагаем
I Т(г) , если I е Л(г) и Т(г,Л(г)) > 0 Н(г) = \т(г,Л(г)) (2.7)
[1 в противном случае
Отметим, что в случае существования нескольких множеств Л(г) значения Н() не зависят от выбора конкретного множества Л(г), т.е. и управления преследователей р не зависят от выбора конкретного множества Л(г).
Таким образом, управления преследователей р, заданные по формуле (2.3), с коэффициентами, вычисленными согласно соотношениям (2.7), определены однозначно.
Обозначим через Д.(с) шар радиуса г с центром в точке с.
Условие 2. Любой фиксированный набор Н е ^2е(^(0), I е I обладает тем свойством, что для всех К е 0.(н - т + 1) имеет место включение
0 е 1п1со{Ну, у е К}
Лемма 1. Пусть выполнено условие 1. Тогда существует е > 0, при котором выполнено условие 2.
Доказательство. Выберем произвольное К е - т -1). Множество со{Х° к е К} — выпуклый многогранник с вершинами в точках где р е Р с К. Условие 1 означает, что О е 1Шсо{Х0, р е Р}. Так как множество 1п1:со{Х0, р е Р} является открытым, найдется число в(К) > О, такое, что О е 1п1;со{кр,р е Р} для каждого набора кр е Бщщ(Х0). Так как 1п1;со{Лр, р е Р} с 1п11со{кк, к е К}
то О е 1п1;со{кк, к е К}. Пусть
е = шт{е(К), К еО.(п - т -1)} > О Введем обозначение т = шт(г > гО : штЦг,- (г) = О}
¡е1
Лемма 2. Пусть выполнены предположение 1, условие 1 и преследователи Р1 используют допустимые управления щ (г), определенные по (2.2). Тогда существует момент То = Г°(Х,°) < ж, такой, что для любого допустимого управления и(0 убегающего E момент т существует и т е (г0,70].
Доказательство. Выполнены все условия леммы 1. Зафиксируем произвольное е > 0, при котором выполнено условие 2. Введем обозначения
А = {г > г° : Ф(г)Х° е ^2е(Х0)}, ц(б) - мера Лебега множества О с
В силу предположения 1 функции Ф(г)Хг° — почти периодические в смысле Бора, откуда при учете равенства фг°)Х0 = следует существование числа С > 0, такого, что для каждого / = 1,2,... найдется момент г/ е [г° + С(/ -1),г° + С), обладающий свойством
Ф(гу-)Хг0 е 1п1БЕ(Хг0) для всех г е I Пусть
А/ = {г : г е [г/,г/+1),Ф(г)Х° е БеХ0) для всех г е I}, / = 1,2, ... ^1(ВЬ В2) = ш ¡¿1 - ¿2||
Так как почти периодические функции в смысле Бора являются и равномерно непрерывными, имеет место следующее утверждение: если
02 >01 > г° и ||ф(02)Х0 - Ф(е1)Х°| > 8 то 02 ^01 + Ь для всех г е I, где Ь = Ь(г) > 0. Из данного утверждения и того, что
(^^дДХ0), дП2Е(Х0)) = е, Ф(гу)Х0 е 1п1БЕ(Хг0) для всех г е I следует включение
[г/, г/ + Ь] с А/ для всех / = 1,2, ... а это означает, что
да да
ц(А) >К У А /) > X Ь = <« /=1 /=1 Теперь докажем, что для всех
й = (к1,к2, к„) е Б = ^2£(Х0) х ^Х0) х... х Б^Х0)
имеет место неравенство
p(d) = min max min X(v, ha) > 0
ueV AeQ(m) aeA
Предположим противное: найдется вектор d* = (h*, h*,..., h*) e D, такой, что
p(d*) = min max min X(u, h*) = 0 ueV ЛеП(м) aeA
Значит, найдется вектор и* е V, такой, что в любом множестве Л е H(m) существует элемент а е Л, для которого Х(и*, hi*) = 0. Построим множество К0 = {а1,^ а„-т+1}
по следующему правилу. Элемент a1 е Л1 = {1,2, ..., m} е Q(m) выберем из условия Х(и*,h* ) = 0. Пусть Л2 = (Л1 U {m + 1}) \ {а1}. Отметим, что Л2 е fi(m). Выбираем а2 еЛ2 из условия Х(и*, h* ) = 0. Теперь определим множество Л3 = (Л2 U {m + 2}) \ {а2} и элемент а3 е Л3. Далее действуем аналогично. На последнем шаге построим множество Лn-m+1 = (Лn-m U {n}) \ {an-m} и выберем элемент an-m+1 sA„_m+1 из условия Х(и*, h* _ ) = 0. По построению множества К0 е Q(n - m +1)
min max X(u, h*) = 0
oeV aeK0
Из последнего равенства следует, что 0 е Intco{h*,k е К0} и условие 2 не выполнено. Полученное противоречие доказывает, что p(d) > 0.
Функция X непрерывна ([3], лемма 1.3.13), поэтому
lim p(d*) = lim min max min X(u, h*) = min max min X(u, ha) = p(d)
dd*^d ueV Aeü(m) aeA ueV Aeü(m) aeA
Следовательно, функция p непрерывная; учитывая еще, что множество D — компакт, и неравенство p(d) > 0, получим
r = min min max min X(v, ha) = min p(d) > 0
deD ueV AeQ(m) aeA deD
Таким о
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.