ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА И МЕХАНИКА
Том 77. Вып. 4, 2013
УДК 539.3
© 2013 г. В. И. Острик
ОСЕСИММЕТРИЧНЫЙ КОНТАКТ ШТАМПА ПОЛИНОМИАЛЬНОГО ПРОФИЛЯ С УПРУГИМ ПОЛУПРОСТРАНСТВОМ ПРИ НАЛИЧИИ ТРЕНИЯ И СЦЕПЛЕНИЯ
Рассмотрена осесимметричная задача о контактном взаимодействии штампа полиномиального профиля и упругого полупространства при наличии трения и частичного сцепления в области контакта. С использованием метода Винера—Хопфа задача сведена к бесконечной системе алгебраических уравнений типа Пуанкаре—Коха, решение которой получено в рядах. Найдены радиусы области контакта и зоны сцепления, распределение контактных напряжений, осадка штампа.
Гладкий контакт осесимметричного штампа полиномиального профиля с четным показателем и упругого полупространства рассмотрен И.Я. Штаерманом [1]. Случай параболоидного штампа вращения изучен Герцем (осесимметричный случай задачи Герца [2]), конусовидного штампа — Лявом [3] и Снеддоном [4].
При учете сил трения круговая область контакта между штампом и полупространством в случае осесимметричной деформации разделяется на внутреннюю круговую зону сцепления и внешнюю кольцевую зону проскальзывания. При монотонном во времени вдавливании штампа область контакта вместе с зоной сцепления увеличиваются, и в зоне сцепления накапливается так называемая "защемленная деформация", распределение которой зависит от истории нагру-жения. Для штампов полиномиального профиля с показателем п было показано [5], что в случае, когда с увеличением нагружения поля напряжений и перемещений остаются подобными сами себе, "защемленная деформация" пропорциональна Г -1, где г — расстояние от рассматриваемой точки зоны сцепления до центральной точки области контакта. В результате анализа системы парных интегральных уравнений задачи было также показано [5], что отношение радиусов зоны сцепления и всей области контакта не зависит от показателя п, а определяется коэффициентом трения, а также коэффициентом Пуассона материала полупространства и совпадает с соответствующим отношением в задаче о вдавливании кругового штампа с плоским основанием в упругое полупространство, когда "защемленная деформация" отсутствует.
Теория подобия Спенса переносится и на случай плоской деформации. Самим Спенсом была решена [5] задача Галина [6—8] о контакте со сцеплением и проскальзыванием штампа с прямолинейным основанием и упругой полуплоскости. С использованием закона распределения "защемленной деформации" в рамках теории подобия Спенса плоские контактные задачи с частичным сцеплением были решены методом Винера—Хопфа [9] для параболического [10], клиновидного [11] и штампа полиномиального профиля [12], а также в случае контакта двух упругих тел [13]. Осесимметричный аналог задачи Галина рассмотрен ранее [14] и, как и в настоящей работе, с использованием обобщенного метода Винера—Хопфа [15] задача сведена к бесконечной системе алгебраических уравнений.
Ниже, в отличие от случая штампа с плоским основанием [14], дано решение более общей контактной задачи для штампа полиномиального профиля.
1. Постановка задачи. Пусть абсолютно жесткий осесимметричный штамп полиномиального профиля £ < — Вгп (п = 1, 2,...), который первоначально касается упругого полупространства 0 < г < ад, 0 < О < 2п, 0 < £ < в точке г = 0, £ = 0, вдавливается в полупространство нормальной силой Р так, что ось штампа остается перпендикулярной к недеформированной границе полупространства. В результате на границе полупространства £ = 0 образуется круговая область контакта г < Я, которая разделяется на
круговую зону сцепления г < Я1 неизвестного радиуса Я1 (Я1 < К) и кольцевую зону проскальзывания К1 < г < К (0 < 9 < 2п). Считаем, что в зоне проскальзывания точки поверхности упругого полупространства движутся вдоль поверхности штампа в направлении к его вершине. При этом нормальные и касательные напряжения подчинены закону трения Амонтона. Также считаем, что в зоне сцепления согласно теории подобия Спенса [5] продольные радиальные деформации пропорциональны г"-1, а значит, тангенциальные перемещения пропорциональны г".
Смешанные граничные условия на границе полупространства имеют вид
£ = 0: ыс = 5 - Вгп, 0 < г < Я; иг = С0гп, 0 < г < Я1
тг^ = , Я1 < г< Я; ^ = 0, тгс = 0, Я < г<да
где 8 — осадка штампа, С0 — неизвестная постоянная "защемленной деформации", ц0 — коэффициент трения.
Согласно принятому выше предположению тангенциальные перемещения поверхности полупространства удовлетворяют условию
<; = 0: иг < 0, 0 < г < да (1.2)
В соответствии с этим выбран знак при ц0 в третьем граничном условии (1.1) в зоне проскальзывания К1 < г < К. В зоне сцепления 0 < г < К1 из условия (1.2) и второго условия (1.1) вытекает, что С0 < 0. С увеличением нагружения и расширением области контакта граничные точки полупространства из зоны проскальзывания переходят в зону сцепления, где тангенциальные перемещения выражаются вторым условием (1.1). Поэтому абсолютная величина тангенциального перемещения в каждой граничной точке (кроме точки г = 0) в момент, когда точка находится в зоне проскальзывания, должна быть меньше, чем в момент, когда эта точка попадает в зону сцепления.
Тем самым, в зоне проскальзывания приходим к условию
с = 0: иг > С0гп, Я1 < г < Я (1.3)
В зоне сцепления должно быть наложено условие
С = 0: М , 0 < г < Ях (1.4)
Таким образом, решение задачи предусматривает выполнение граничных неравенств (1.3), (1.4).
Кроме сформулированных граничных условий (1.1), (1.3), (1.4) нужно выполнить также условие равновесия штампа
Я
2 = 0г^г = -Р (1.5)
0
2. Система интегральных уравнений и ее сведение к системе функциональных уравнений Винера—Хопфа. Введем неизвестные функции контактных напряжений в зонах сцепления и проскальзывания (О — модуль сдвига)
С = 0: р(г) = ±Я(г) = ¿Тгс, 0 < г< Яь ст(г) = ±^, Я1 < г< Я (2.1)
и рассмотрим первую граничную задачу для упругого полупространства с условиями
С = 0: ^ -с = г), ^ = &( г) (2.2)
При этом
Й (Г), §2(.г) =
р (г), q (г), 0 < г < Я1
ст(г), -(г), Я1 < г< Я (2.3)
0, 0, г > Я
Решение граничной задачи с условиями (2.2) найдем с помощью интегрального преобразования Меллина. В частности, перемещения на границе полупространства имеют вид (ш — число Пауссона)
с + I да
£ = 0: ИС = —21- | - а1(5) - ™2«2(«)) г^
с + /да
иг = -—. [ -Ц (т2а1(5) - т177^а2(5))
Я/ Л 5 - 1 V -5) у
Я ( 5 )
, (2.4)
.-2-1ч~/ )) г
2 я/ Л 5- 1 V )
с - /да
т1 = 2-2/т, т2 = 1-2/т, 0 < с < 1 Функция a](s) — трансформанты Меллина функций gj(r) из условий (2.2):
да
ау(^) = ]Ь(У)У^у, у = 1, 2
0
и введено обозначение
5) = Г( 1/2 + 5/2 )Г( 1 -в/2)
Решение (2.4) задачи с условиями (2.2) используем в качестве представления решения рассматриваемой задачи с условиями (1.1), (1.3)—(1.5). При этом третье, четвертое и пятое граничные условия (1.1) будут выполнены.
Перемещения из представления (2.4) подставим в продифференцированные первое и домноженное на г второе граничное условие (1.1). Выполнив замены
5 = -/т, г = Яе ^, у = Яе п (2.5)
относительно новых неизвестных функций
фСл) = -(Яе ц)еЛ 0 <п< а
у1 (п) = р (Яец) е~\ у2(п) = q (Яец) е-1, а < п < <»; а = 1п (Я/Я1)
получим систему интегральных уравнений
[Мю Ф(^), £< a ] ml п -в-Оп -1 -п% п й
< >--1L1 (£,) = — BЯ e , 0 <£,<да
^ a ) m2 m2
(£) - = Пп+- С)Яп - У^, a < ^ < да (2.7)
т9 т9
а
Ч® = Мо-1- П)Ф(П)йп + - П)Уу(П)йп, 1 = 1 2
0
с разностными ядрами
да да
- п) = ^ |К(х)-п)йт, к2($ - п) = ^ |-п)йт
К(т) =
^ 7 Б(-1т )
(2.8)
Распространим интегральные уравнения (2.7) на всю числовую ось, приняв
ф(п) = 0 при п< 0 и п^ а; у1>2(п) = 0 при п< а
и применим к ним интегральное преобразование Фурье. Введем неизвестные функции комплексной переменной
а 0
Ф+(г) = -к |ф(^)Ф (г) = -к |+ а)
Ц 2 П 2 П
0 -а
да
) = -р= + а), ] = 1, 2 (2.9)
/у2п
0
0а
(г) = -Л |Ll($)й^, (г) = е-га |L2(^)й;
2П 2П
—да —да
Функции, отмеченные верхним индексом "плюс", — аналитические в полуплоскости 1шг > с+ (с+ < 0), индексом "минус" — в полуплоскости Imz < с— (с- > 0). В частности, Ф+(г) и Ф(г) — целые функции. Применяя теорему о свертке для интегрального преобразования Фурье, получим систему функциональных уравнений Винера—Хопфа
[К(г)- Мот2]Ф+(г) + [тхК(г)Ч+(г)--2^+ (г)] -¥—(г) = -+(г)
- т-М Ф+(г) е'га + т2Ч+(г) - Кт-Ч+2 (г) + (г) = (г) (2.10)
К(г) Щ)
Ф+( г) = е'гаФ—(г) (с+ < 1шг < с") правые части которой имеют вид
зо
а
зо
со
-па
^(1) = -—ВЯп1——, (г) = п-+-1 ССЯп -1---(2.11)
Т2Л п-¡г Т2Л п - ¡г
3. Решение системы функциональных уравнений. Вводя в рассмотрение функции
Ф+(г) = Ф+(г) + ега% (г)
(г) = и (г), (г) = (г)- т2е-гаФ+(г) (31)
К (г) = ш1К(г)-Ист2 = ^(г) S(¡г), К2(г) = т2- ит /К(г) (г) = ml/S (-гг)-Ист2 / S (¡г)
систему функциональных уравнений (2.10) преобразуем к виду
К (г)Ф+(г) + т2е1гаЦ>+(г)-¥—(г) = К (г)
К (г (г) + е-1гаК2(1)№-(г) + )] + (т1 + т2 (г) = К (г) (г) (3.2) (с+ < 1тг < с—)
Коэффициент К^г) представим произведением, а вторые слагаемые и правые части уравнений (3.2), отнесенные к одной из вводимых ниже функций К- (г) или К+(г), — разностью аналитических в верхней (1тг > с+) и нижней (1тг < с-) полуплоскостях функций:
К (г) = К1( С )К+(г)К— (г)
т2 е'гаУ+( г) /К— (г) = х+(г )-х—(г)
е-,гаК2 (г )[¥—(г) + ^(г)] /К+ (г) = х+(г )-х—(г)
Р+(г) /К— (г) = /+ (г) -/ (г), К (С) К—(г) (г) = /+(г) -/"(г)
«)(1 --
2к- 1/2 ± 1/
К (г) = П11 + гЛ1 - 5"
к = 1
+
X—(г) = X -а- ^) ^
к = 1 + ¡г
Х+(г) = п кВЯп- 1( Ус
+
к = 1
а
к
г + т (г + ш-)2
( пВЯп 12 пс- п^
+ ¡А л/2П п +
5 Прикладная математика и механика, № 4
С—а , е +
СО
со
со
+ Г (-'( 2 к - 1)) + пМ^ е-2ка
2к - 1 - ¿г1 Л/2П 2к - п - У
/+(г) = — пВЯп - 1 1 , ^ (г) = ( п + 1 )к С) Яп - 1 1 72^(-ш)п - п - ¿г
-па
к = е=К1 ( 0) К— (-п) л/2 п
да
Г-2 тД 1 , ^Г 1 1
Уо = 1---)-+ пз- а + V 1 —--гт—т-
Vт1 т2 п2Мо ^ + п 2к - 1 + п
(3.3)
по - 1
п = (2по -п)тпп2, п2 = п !!(п 2)!!, пз = 1 - 21п2 + V - 1 - -т2 [(п - 1)!!]2 п ^ к(2к- 1)
а+ = -т2 К1( 0 ¿С+) К+( ¿С), а— = -Г 1 + К1( 0 () К—()
1 т/
= тК1(0)еа[ ( 2 к - 1 ) !!] К (( 2 к- 1 ) ); к = 1, 2, ... т2 (2к - 1)[(2к - 2)!! ]2
X (г) = ¿/ [Х1(г) £( ¿г)]
гд
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.