ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА И МЕХАНИКА
Том 77. Вып. 3, 2013
УДК 532.5:534.1
© 2013 г. И. Г. Хусаинов
ОТРАЖЕНИЕ АКУСТИЧЕСКИХ ВОЛН В ЦИЛИНДРИЧЕСКОМ КАНАЛЕ ОТ ПЕРФОРИРОВАННОГО УЧАСТКА
Исследуется процесс отражения и прохождения гармонических волн и волн конечной длительности через границу перфорированного участка заполненного жидкостью и окруженного проницаемой пористой средой цилиндрического канала (обсаженной скважины). Представлена модель плоского нестационарного течения жидкости в цилиндрическом канале в квазиодномерном приближении и фильтрационного поглощения жидкости в окружающую канал пористую среду. Исследовано влияние коллекторских характеристик окружающей канал пористой среды и качества перфорации (длина перфорационных каналов) на эволюцию волн при отражении от границы перфорированного участка стенки.
Была рассмотрена [1, 2] возможность определения качества перфорации скважины локальным акустическим зондированием. Исследовано влияние коллекторских характеристик окружающей скважину пористой среды и качества перфорации на скорость и коэффициент затухания гармонических волн и на эволюцию волн конечной длительности, распространяющихся в кольцевом зазоре между зондом и стенкой скважины. Изучалось [3, 4] распространение волн в каналах, окруженных проницаемой пористой средой и имеющих проницаемые участки. Установлены закономерности распространения и затухания гармонических волн, волн конечной длительности и слабых ударных волн в цилиндрических каналах с пористыми проницаемыми стенками и в проницаемых участках, окруженных неоднородной пористой средой. Рассматривались [5] дистанционный и локальный способы акустического контроля перфорированных участков газовых скважин. Исследовано влияние на эволюцию волновых пакетов вязкости и теплопроводности газа и параметров перфорации.
Ниже рассмотрен дистанционный способ акустического зондирования перфорированного участка обсаженной нефтяной скважины с помощью длинных волн.
В отличие от предыдущих постановок задачи [1, 2] здесь импульс давления генерируется на некотором расстоянии от перфорированного участка и распространяется по жидкости внутри скважины, учитывается затухание импульса за счет вязкого трения на внутренней поверхности стенки скважины. Считалось [5], что глубина проникания волн давления меньше среднего расстояния между соседними перфорационными каналами (ПК) и фильтрационные потоки газа из двух соседних перфорационных каналов не взаимодействуют между собой, а в данной работе, кроме этого случая, исследуется влияние такого взаимодействия на эволюцию волн при отражении от границы перфорированного участка стенки.
1. Основные уравнения. Пусть продуктивный пласт сообщается со стволом обсаженной скважины через перфорации в колонне. Предполагается, что образовавшиеся после перфорации каналы на поверхности скважины расположены равномерно с плотностью п на единицу площади и имеют одинаковые длину I и радиус Ь (фиг. 1). Примем следующие допущения: скважина и окружающее ее пористое пространство с несжимаемым скелетом заполнены одной и той же линейно сжимаемой жидкостью
(1.1)
Здесь р и р — возмущения плотности и давления жидкости, с — скорость звука в жидкости. Будем полагать, что волна распространяется вдоль оси скважины, а протяжен-
ность волновых возмущений X в скважине значительно больше длины проницаемого участка Ь (X §> Ь).
В рамках модели плоского движения нестационарное течение жидкости в скважине при распространении возмущений будем описывать в квазиодномерном приближе-
нии. Тогда в системе координат, относительно которой невозмущенная жидкость покоится, полагаем, что возмущение давленияp и скорость w удовлетворяют следующим уравнениям неразрывности и импульса [4]:
г
до ды п дж , др 2т. ц гды df п
— + Р0 - = 0, р0--+ — =--, т = —7==== I--7= (1.2)
дг дг дг дг а л/пц/ро дгЧг - г'
Здесь р0 — плотность жидкости в невозмущенном состоянии, р — ее вязкость, a — радиус скважины, т — вязкое напряжение на внутренней поверхности стенки скважины.
Приведенное выше выражение для т справедливо, когда вязкость проявляется лишь в тонком пограничном слое вблизи стенки скважины при распространении волновых возмущений. Для этого в свою очередь необходимо, чтобы длительность импульса давления ^ удовлетворяла условию
ф* ц/ро < а (1.3)
В силу допущения А > Ь на проницаемом участке распределение давления будет однородным, и его можно принять за отражающую поверхность (ОП) с координатой z = 0. Условия на ОП получим из уравнений сохранения массы жидкости на проницаемом участке при учете изменения массы за счет притока (оттока) жидкости через верхнюю (нижнюю) границу перфорированного участка, а также за счет оттока жидкости в перфорационные каналы. Следовательно, в зоне ОП в линеаризованном приближении имеем
dp ы- - 2ппЬ2 р и (14)
Л1 -ро ь - а Ро" (1.4)
где и — осевая скорость среды на верхней и нижней границах перфорированного участка (скорость возмущения жидкости в скважине на ОП терпит разрыв из-за фильтрации жидкости через стенки канала), u — скорость оттока жидкости из скважины в ПК.
В случае, когда перфорированный участок снизу граничит с герметичной стенкой (например, он находится вблизи дна скважины), в уравнении (1.4) = 0.
При отражении и прохождении акустической волны через перфорированный участок изменяется однородное давление в зоне ОП, что приводит к фильтрации жидкости через боковую поверхность ПК в окружающую пористую среду. Уравнение сохранения массы внутри ПК при учете притока жидкости из скважины запишем в виде [1, 2]:
ЁР = £0и - 2 £0 0 (1.5)
дг I Ь
На основе решения внешней фильтрационной задачи определим скорость фильтрации жидкости и через стенки ПК. Для определения поля давления вне ПК используем уравнение пьезопроводности [6]
др' 1 д I ,др'\ , ке2р0 .Л ,ч
Т7 = Х-—(гт;)' г > Ь; Х=—— (1-6)
дг г дг \ дг! цда
Здесь p' — распределение давления вне ПК, х — коэффициент пьезопроводности, г' — радиальная координата, m и k — коэффициенты пористости и проницаемости окружающей скважину пористой среды.
Из условия непрерывности давления на границе ПК для уравнения (1.6) следует граничное условие
г' = Ь: р' = р (1.7)
Для записи второго граничного условия рассмотрим два предельных случая: а) глубина проникания волн давления г^ меньше среднего расстояния г* между соседними ПК, и следовательно, фильтрационные потоки жидкости из двух соседних ПК слабо взаимодействуют между собой, б) величина г^ сравнима с величиной г* или превышает ее. Будем полагать, что вокруг соседних ПК поля давления одинаковые и образуется между соседними ПК граница, переток жидкости через которую отсутствует. Для этих случаев граничные условия можно записать в виде
г' = ж: р' = 0 для случая а (1.8)
г' = г*: др '/дг' = 0 для случая б (1.9)
В качестве величины г* примем половину среднего расстояния между двумя соседними ПК.
Скорость фильтрации И в пористом пространстве вне ПК описывается законом Дарси [7]
и =-кц-1 др/дг', г' > Ь (1.10)
причем и' = и при Г = Ь.
2. Отражение и прохождение гармонических волн через перфорированный участок.
Введем обозначения Е(г,0 = ехр(;'Кг - ;юг), К — комплексное волновое число для зон г < 0 и 0 < г, ® — круговая частота возмущений.
Пусть плоская гармоническая волна падает нормально на ОП сверху (направление падающей волны совпадает с положительным направлением оси z)■ Тогда в процессе взаимодействия этой волны с ОП движение в зоне z < 0 (выше ОП) определяется наложением двух волн: падающей
р{0) = А°0Е (I, г), = А^Е (г, г) (2.1)
и отраженной
р{г) = 4]В (-г, г), = А^Е (-г, г) (.2)
В зоне г > 0 (ниже ОП) имеется одна волна: прошедшая
ри) = А^Е (г, г), ^ = А^Е (г, г) (2.3)
Здесь Ар} и А^ — амплитуды давления и скорости падающей (/' = о), отраженной (/' = г) и прошедшей (/' = g) волн.
В зоне поглощения (г = 0) возмущение давления и скорость перетока жидкости из скважины в ПК определяются по законам
р = Ар ехр(-;юг), и = Аи ехр(-г'юг) (2.4)
В соответствии с этим поле давления вне ПК и скорость фильтрации жидкости ищем в виде
р' = Ар'(г ')ехр(-;юг), и' = Аи■ (г') ехр(-;юг), Ь < г' (2.5)
Здесь Ар — амплитуда возмущения давления жидкости в проницаемой зоне, Аи — амплитуда скорости перетока жидкости из скважины в ПК, Ар • (г') и Аи • (г') — амплитуды давления и скорости фильтрации жидкости вне ПК.
Связь между падающей, отраженной и прошедшей волнами определим граничными условиями на ОП, где справедливы соотношения, вытекающие из условия непрерывности давления и неразрывности скорости жидкости на границе:
р(о) + р(г) = p(g) = p (26)
z = 0: w(о) + w(r) = w_, w+ = w(g) (2.7)
Для случая непроницаемой правой стенки (w+ = 0) p(g) — возмущение давления на этой стенке.
Используя соотношения (2.1)—(2.3), из уравнений (1.2) и (1.3) получаем
K =
W1 + 2V/с, Уц i(aa 2Р о/ ^ (2.8)
Из уравнения (1.2) следуют соотношения, связывающие амплитуды скоростей и давлений падающей, отраженной и прошедшей волн:
ю (2.9)
A(o) Aw A(r) Aw Aw
A(o) Ap A(r) Ap Ap
2г Рос K
Подставляя выражение (2.4) в уравнение (1.4) и проводя преобразования, получаем
-ША^ = = АО + 4\ Ж+ = А« (2.10)
Рос 1 а
Для перфорированного участка связь между амплитудами р и р' имеет вид
А = Сро (а + 2к Г А
р ю ^ I Ьц ^ йг'
(2.11)
r =ь J
Для амплитуды распределения давления жидкости вокруг ПК получаем уравнение Бесселя
2
й А„' 1 йА„' 2 2 ,т
-ТТ + - Ч Ар.= 0, д2 =-^ (2.12)
йг'2 г' йг' х
Из граничных условий (1.7)—(1.9) для амплитуд давлений следует
г' = Ь: Ар.= Ар (2.13)
г' = да*: Ар• = 0 для случая а; г' = г*: йА^/йг' = 0 для случая б (2.14)
Решая уравнение Бесселя (2.12) с граничными условиями (2.13) и (2.14) и используя связи между амплитудами (2.9)—(2.11), из граничных условий (2.6) и (2.7) для коэффициентов отражения N и прохождения М получаем
А1 _(Ы1К V1 „ _Ар)
N = -f- = 1 ^ -11 , M = -f- = N +1 (2.15)
^ IivL - D ) ApO
D = _ia)2nnb2Ll _ 4nnc2Ll Poky ^ (y) y = I iab2 a a ц ' V X
^00 =
К^у)
--^^ для случая а
^(у)
К1(у*)11(у) -11(^*^1^) ;юг*2 -, у* = Л--для случая б
К^(у*)10(у) + !1(У*)*0(У) ' X
Здесь X (у) — функция Макдональда, /у(у) — функция Бесселя перв
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.