ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА И МЕХАНИКА
Том 77. Вып. 2, 2013
УДК 531.36:534.1
© 2013 г. Л. Д. Акуленко, С. В. Нестеров
ПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ И УСТОЙЧИВОСТЬ МЕХАНИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ С СУЩЕСТВЕННОЙ ДИССИПАЦИЕЙ
Проведено полное исследование задачи о параметрических колебаниях при наличии линейной диссипации. С помощью конструктивных численно-аналитических методов построены границы областей устойчивости в широкой области изменения параметров — коэффициентов модуляции и трения. Посредством решения несамосопряженных задач на собственные значения и функции определены фазовые векторы основных трех мод колебаний и установлены принципиальные особенности поведения границ при изменении коэффициента линейного трения. Найдены собственные значения и функции сопряженной краевой задачи. Построена полная биортогональная система и определены ее функциональные свойства. Получены модифицированные выражения для скалярных произведений и квадратов норм собственных фазовых векторов.
Построение и исследование устойчивости параметрических колебаний представляет существенный интерес в теоретическом и прикладном аспектах (см. [1—10] и библиографию) вследствие их значительной распространенности в природе и технике. Традиционно анализ проводится для систем без диссипации; он базируется на применении без достаточного обоснования теории возмущений, предполагающей асимптотическую малость коэффициентов модуляции параметров системы. Для исследования ряда важных частных случаев уравнения типа Хилла (уравнений Матье, Мейсснера, Кочина и др.) применимы конструктивные численно-аналитические методы [9, 10], основанные на эффективном построении решений периодических краевых задач на собственные значения и функции [9]. Современное программное обеспечение позволяет проводить массовые высокоточные расчеты различных классов задач для сложных многопараметрических моделей. Это достигается с помощью вычислительных алгоритмов на основе конструктивного численно-аналитического метода ускоренной сходимости и процедур продолжения различной степени интерполяции неизвестных величин по известным параметрам системы в допустимых областях их изменения [9].
Заметим, что исследования областей параметрического резонанса, построения их границ и периодических собственных функций различных мод, как правило, проводились ранее для га-мильтоновых систем без учета диссипации, для которых периодические краевые условия оказывались самосопряженными. Неявно предполагалось, что области параметрической неустойчивости будут максимальными, а фактическое наличие малой диссипации приведет к их уменьшению или сужению. Это свойство установлено в первом приближении с помощью метода усреднения (для уравнения типа Хилла, в частности, уравнения Матье) при асимптотически малых значениях коэффициентов модуляции и вязкого трения для главных резонансных зон [8]. Для других областей параметрического резонанса влияние диссипации может обладать специфическими свойствами, см. ниже, а также [2, 4].
1. Постановка задачи и метод ускоренной сходимости. Построим и исследуем параметрические колебания безразмерной системы, описываемой уравнением типа Матье, при наличии вязкого трения
х + 2а х + (Х-ц 008 2л 1)х = 0; х(-1) = х(1), х(-1) = х( 1) (1.1)
Здесь X, ц, а — вещественные параметры, изменяющиеся в неограниченной области, причем а > 0 (2а — коэффициент диссипации). При а = 0 периодическая краевая задача (1.1) исследована весьма подробно [3], в том числе для больших значений коэф-
фициента модуляции ц ~ 102. Для асимптотически малых значений параметров методом усреднения локально изучена первая мода колебаний [8]. Отметим, что решение (х, х) зависит 1-периодически от аргумента ( и четырех параметров: X, ц, а, п, где п = 0,1,2,... — номер моды.
Ставится задача определения таких значений параметра X = Xп(ц;с), для которых система (1.1) имеет нетривиальные, т.е. 2-периодические, решения х = хп(1, ц; с) в допустимой области изменения параметров р, а. Требуется представить поверхности Xп(ц;с) сечениями по о = опосредством семейства кривых в достаточно широком интервале изменения параметра р, т.е. коэффициента модуляции, для трех низших мод колебаний п = 0,1,2. Более высокие моды п > 3 на данном этапе исследований не представляют теоретического и прикладного интереса, что следует из дальнейшего анализа.
Заметим, что подстановкой на основе формулы Остроградского—Лиувилля [2—5] уравнение (1.1) приводится к стандартному виду, которое интегрируется в спецфункциях Матье [2—4]. Однако смешанные краевые условия (условия периодичности) существенно преобразуются, что принципиально затрудняет численно-аналитическое решение исходной задачи. Предпочтительнее строить общее решение уравнения и соответствующее вековое уравнение численными методами [9, 10].
Изложим весьма кратко численно-аналитический метод, основанный на конструктивном алгоритме уточнения искомого значения X = Xп и процедуре продолжения по параметрам [9]. Заметим, что краевая задача (1.1) относится к классу несамосопряженных [11—15]. Ее решение, как известно, определяется с точностью до произвольного постоянного множителя.
Представим уравнение (1.1) в векторной форме Коши и построим два линейно независимых частных решения и®(0, и (2)(0 для заданных значений параметров Фазовый вектор и = (х, Х)Т при t = -1 удовлетворяет условиям и® = (0,1)Т, и® = (1,0)Т
соответственно. Для общего решения си(1) + с^и^ потребуем выполнения условий периодичности (1.1), что приводит к вековому уравнению относительно неизвестной X при заданных значениях ц, ст:
=1 -А(Х,ц;о) = 0
5 = х(1) + х(2) -1 - ехр[-2о^ + 1)], 5(-1,Х,ц;с) = 0 .
Здесь А — определитель системы уравнений, следующих из условий периодичности (1.1). Его выражение упрощено согласно уравнению (1.2) с помощью формулы Остроградского—Лиувилля для определителя Вронского линейно независимых решений
и(1), м(2) уравнения (1.1). Зависимость х(1'2'1, х(1'2) от А.,ц,ст не указана для краткости.
Сагиттарная функция связывает для заданных величин р, а значения переменных X и t посредством соотношения 5 = 0 [9, 10]. Например, при t = 1 корень функции определяет собственное значение Xп(ц;с), (п = 0,1,2,...). Выражение для этой функции строится конструктивно на основе интегрирования двух задач Коши, т.е. функций и(1), и(2) при заданных из дополнительных соображений значениях искомого параметра X. Поскольку заведомо X Ф Xп(ц;с), то £(1, X, ц;ст) = 8 ф 0; по мере приближения X ^ X п невязка 5 ^ 0 и наоборот. Этот подход позволяет эффективно строить двусторонние высокоточные оценки Хп с требуемой погрешностью.
Исследования периодической краевой задачи (1.1) на основе свойств сагиттарной функции £ (1.2) аналогичны проводимым в теории Штурма при анализе решений задачи Штурма—Лиувилля [9]. Посредством вычисления функции £ строится конструк-
10 Ц
5
п = 1
п = 2
п = 0
\0.5
\\\0 у\0.2 а = 0—\ Ъ///
0.03
V ^0.02
0.01 у^
— а = 0
^N2 а = 0- \ 5
10 Х1 15 39.5
-0.5 0
Фиг. 1
0
40.0 Х2 40.5 -1.0
тивный алгоритм определения собственных значений Xп и функций ип,п = 0,1,2,..., для заданных допустимых величин ц, а на основе связи между узлами функции £ и значениями X п(ц; а).
2. Высокоточное численно-аналитическое решение краевой задачи и анализ основных свойств собственных значений. Приведем результаты расчетов первых трех мод колебаний (п = 0,1,2) и определения границ устойчивости и неустойчивости (резонансных
зон или областей параметрического резонанса) с двусторонней погрешностью 0(10-6).
В левой части фиг. 1 приведены границы семейства областей неустойчивости для первой (основной) резонансной зоны: X = X 1(ц;а) (а = ау,у = 1,..., 4) при 0 < ц < 10, а у = 0,0. 2,0.3,0.5. Обычно ее анализ представляет существенный интерес при исследовании параметрических колебаний. Из графиков следует, что вблизи минимумов (впадин) кривые ц(Х; а), а > 0, имеют параболический характер. При а = 0 она содер-
2
жит стандартную угловую точку вида Х1 = п ± ц/2 при ц ^ 1. Взятым значениям Оу соответствуют минимально возможные значения параметра возбуждения: ц = ц = 0, 2.5, 3.7, 6.3. Таким образом, наличие диссипации ограничивает снизу возможные значения коэффициента модуляции ц для возбуждения параметрических колебаний первой моды.
Аналогично вышеизложенному в средней части фиг. 1 представлены границы семейства резонансных зон второй моды X = X 2(ц; а) при а = а у = 0,0.01,0.02,0.03. Качественное поведение кривых ц(Х;а), а > 0, имеет тот же характер. При а = 0 кривая имеет параболическое заострение:
* 2=4П2+(4П)2 (3 ± 1)
Соответствующие минимальные значения параметра возбуждения ц возрастают существенно "быстрее": ц = ц у = 0,4. 4,6. 3,7.7. Заметим, что принятые значения ф 234 на порядок меньше, чем взятые выше для первой моды. Можно также отметить наличие двух точек перегиба на каждой ветви кривой.
Таким образом, при увеличении коэффициента диссипации а область параметрического резонанса второй моды резко уменьшается, что качественно отличает эти колебания (и более высоких мод, п > 3) от рассмотренных выше (для первой моды). Вследствие наличия диссипации в реальных механических системах это свойство сви-
детельствует о проблематичности их возбуждения для высших мод (п > 2): требуется существенно большая величина коэффициента возбуждения (модуляции).
Построение и исследование нулевой резонансной зоны (п = 0) существенно отличается от изложенных выше, см. правую часть фиг. 1. Построены границы семейства областей неустойчивости X 0(ц;с) для значений параметра а = а ^ = 0,0.5,2,5; при малых значениях а = 0.1,0.2 кривые практически сливаются с кривой для случая а = 0. Из графиков следует аномальный эффект: при увеличении коэффициента диссипации область неустойчивости (параметрического резонанса) монотонно возрастает. При 0 < а й 0.5 изменения границы весьма слабые, особенно для малых значений коэффициента ц е (0,2); справедлива асимптотика X0 = -ц2/(8п2). Заметим, что при а > 0 параметрический резонанс нулевой моды существует для произвольных величин ц < 0, причем X0 > 0, см. окрестность нуля в правой части фиг. 1. Увеличение
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.