ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА И МЕХАНИКА
Том 77. Вып. 1, 2013
УДК 539.3
© 2013 г. М. А. Греков, С. А. Костырко
ПЛЕНОЧНОЕ ПОКРЫТИЕ НА ШЕРОХОВАТОЙ ПОВЕРХНОСТИ УПРУГОГО ТЕЛА
Методом возмущений построено решение плоской задачи теории упругости для композита пленка—основание в случае шероховатой поверхности основания. Дан алгоритм вычисления любого приближения, который приводит в конечном счете к решению одного и того же интегрального уравнения Фредгольма второго рода. Выведены формулы для вычисления правой части этого уравнения, зависящей от всех предыдущих приближений. В случае периодически искривленной поверхности основания дается точное решение интегрального уравнения в виде рядов Фурье, коэффициенты которых выражены в квадратурах. В первом приближении найдены напряжения на плоской поверхности пленки и на межфазной поверхности в зависимости от формы искривления поверхности, средней толщины пленки и отношения модулей Юнга пленки и основания. Показано, в частности, что наибольшая концентрация напряжений на поверхности пленки возникает над выступом более мягкого основания.
Был исследован [1] эффект влияния криволинейной формы поверхности пленочного покрытия на основные характеристики напряженного состояния этой поверхности и плоской поверхности между пленкой и основанием. Искривление поверхности пленки в электронных и опто-электронных устройствах может происходить на этапе выращивания и термической обработки пленочного покрытия, которые сопровождаются процессами конденсации и испарения [2]. Интенсивный нагрев и большие напряжения [3] превращают первоначально гладкую поверхность пленки в шероховатую. Вместе с тем, неустойчивое состояние плоской формы поверхности пленки и ее морфологические изменения могут быть связаны не только в проблемами технологического характера, но и с неровностью поверхности основания. В данной работе малые отклонения межфазной поверхности от плоской формы рассматриваются как дефект этой поверхности, который способен ухудшить функциональные свойства приборов, порождая локальный рост напряжений не только на самой поверхности соединения, но и на плоской поверхности пленки. При достаточно больших напряжениях, связанных с рассогласованием параметров кристаллических решеток пленки и основания, а также при действии внешней нагрузки это может привести к еще большему скоплению дислокаций у межфазной границы [4], зарождению и росту трещин и, в конечном счете, к полному прекращению работы прибора.
Для анализа неоднородного напряженного состояния пленки, создаваемого искривленной межфазной поверхностью, ниже используется метод возмущений в сочетании с методом суперпозиции подобно тому, как была решена задача о криволинейной трещине, расположенной около плоской межфазной поверхности [5, 6], и задача о пленочном покрытии с криволинейной поверхностью при плоской поверхности основания [1]. В отличие от случая слабо искривленной межфазной поверхности в бесконечном теле [7—9] здесь важную роль играют средняя толщина пленки и различие упругих свойств пленки и основания. В предположении периодичности характера искривления решение задачи в каждом приближении находится в виде рядов Фурье, коэффициенты которых выражены в квадратурах.
1. Постановка задачи. Рассмотрим упругое тело, занимающее полупространство х2 < < с/(х1), с пленочным покрытием толщины Н0 в условиях плоской деформации или плоского напряженного состояния при действии усилий на плоской поверхности пленки и напряжений на бесконечности. Это позволяет перейти к формулировке соответствующей двумерной задачи теории упругости для полубесконечной области О
x2 ^2
q //// r4
Q2 h0
-ek / k/2 rc x1
Qj
Фиг. 1
комплексного переменного г = x1 + ix2, состоящей из полуограниченной области Q1; соединенной вдоль криволинейной межфазной границы Гс с половой Q2 (фиг. 1). Считаем, что форма межфазной поверхности мало отличается от плоской и в плоскости x3 = const определяется уравнением
z = zc = Xj + ief(xi), Zc e Г
(1.1)
где /(х:) — непрерывно дифференцируемая периодическая функция с периодом X, удовлетворяющая условиям
тах|/(х1)| = X, |Г)| < 1/6, 0 <6 < 1
Таким образом, амплитуда отклонения точек межфазной поверхности от плоскости х2 = 0 равна А = еХ.
На межфазной границе Гс отсутствуют разрывы вектора перемещений и и вектора напряжений (усилия) а„, т.е.
Au(Zc) = u - u = 0, Aa„(Zc) = ст„ - ff„ = 0, Zc e Гс
Здесь
(1.2)
^ = lim v„(z), u~ = lim u(z), u = uj + iu2, an = o„„ + iant
z ^ zc ± i0 z ^ zc ± i0
a
X 12
a
a
22
u1 и и2 — компоненты вектора перемещений вдоль осей х1 и х2; <пп и <зш — нормальное и касательное усилия на площадке с нормалью п (орт п в равенствах (1.2) перпендикулярен линии Гс). Орты п и 1 образуют правую систему координат п, ?. В общем случае на границе полосы Гь действует усилие q:
а„ (гь) = Я (х 1), гь = х1 + ¡Н0 (1.3)
причем
х1 + Х/2
Я(х1) = я(х1 + А,), | я(т)йт = -¡Р; Р = Р1 + 1Р2 (1.4)
х1 - Х/2
где P¡ и P2 — компоненты главного вектора сил, действующих на участке границы Гь в пределах одного периода. Считаем, что функция q(x1) удовлетворяет условию Гёльдера всюду на Гь.
Условия на бесконечности определяются соотношениями
Иш(022 - IСт!2) = а22 - Iа^ = -Р, Ишстп = а,, Ишю = юГ (1.5)
при х2 —»- — да, где ю — угол поворота материальной частицы.
2. Метод суперпозиции. Как и ранее [1], в соответствии с принципом суперпозиции [10], решение задачи о„(£), u(z) представим в виде суммы решений двух задач, используя унифицированное соотношение (8И — символ Кронекера)
0( г, %) = &ь (г, П2 )5,2 + & (г, п), г е Пк (2.1)
в котором функции G(z, Пк), Gb(z, П2), Gc(z, Пк) равны соответственно:
а„(г), аП(г), аП(г) пРи цк = 1
-2цкйи/йг, -2^кйи /йг, -2йи /йг при пк = -кк
кk = (3 — 4vk) при плоской деформации, к,;. = (3 — vk)/(1 + vk) при плоском напряженном состоянии; vk — коэффициент Пуассона, — модуль сдвига среды О.к. Производная d/dz берется в направлении вектора 1.
Величины аЬ„ (¿) и иь— усилие и перемещение в однородной полуплоскости Б = = {£ 1ш z < й0| с упругими свойствами полосы О2. На прямолинейной границе этой области Гь действуют некоторые неизвестные самоуравновешенные усилия р(х)
аЬ„(гь) = Р(X1), гь е Гь (2.2)
удовлетворяющие условию периодичности
X! + X/2
р(х 1) = Р(х 1 + А), | Р(т)йт = 0 (2.3)
X! - Х/2
а на бесконечности напряжения и угол поворота равны нулю (задача 1).
Величины ап (г) и ис(г) — усилие и перемещение, возникшие в двухкомпонентной плоскости с межфазной криволинейной границей Гс, на которой имеют место скачки
усилий АаП = аП+ — и перемещений Аис = ис+ — испри условиях (1.5) на бесконечности (задача 2). Учитывая соотношения (2.1), выражения для этих скачков находим из условий контакта пленки с основанием (1.2)
ДстП = -<зЬ„(¿е), Д" = -и (гс), гс еГс (2.4)
Предельный переход в соотношении (2.1) при г —гь е Гь при учете граничных условий (1.3) и (2.2) приводит к следующему уравнению, которому должна удовлетворять неизвестная функция р:
Р (х 1) + ^Сп(1ь) = ?(*1), ¿ь = XI + ¡Н0 (2.5)
Исходная задача, таким образом, сводится к решению уравнения (3.5), в котором (гь) — функционал, зависящий от функциир и точки гь.
Заметим, что в случае прямолинейной межфазной границы Гс, параллельной оси хь а°п (гь) — интегральный оператор Фредгольма, действующий на функцию р и ей сопряженную р, а уравнение (2.5) является уравнением Фредгольма второго рода с непрерывными ядрами [10, 11]. При произвольной форме границы Гс решение задачи 2 сводится к сингулярному или гиперсингулярному интегральному уравнению [10, 12], и
выразить функции аП (г), ис(г) в явном виде через функцию р не представляется возможным. В случае же малого отклонения межфазной поверхности от плоской формы можно воспользоваться методом возмущений и получить для всех приближений одно
и то же явное выражение для соответствующих функций а' (г) и ис(г) [8, 9]. Тогда, по аналогии с описанным ранее подходом [5, 6], найдем явное выражение и для оператора а' (гь) в каждом приближении.
3. Решение задачи 1. Усилие аЬ (г) и перемещение иь(г) в задаче 1 можно выразить [10] по единой формуле через комплексную функцию Ф(0, голоморфную в комплексной плоскости ^ = + вне прямой = 0:
оь(I, П2) = П2Ф(0 + ф(0 - (ф(0 + ф(0 - (С - ОФ'(О)е (31)
1ш^< 0, £ = г - ¡Н0
где а — угол между направлением площадки (вектором ^ и вещественной осью комплексного переменного т.е. осью Здесь и далее черта сверху означает комплексное сопряжение, штрих — производную по аргументу.
Функция Ф в соотношении (3.1) определяется равенством [10, 13]
Ф(° = -¿Ъ 1Р^Аг (32)
4. Решение задачи 2 методом возмущений. Усилие аП (г) и перемещение ис(г) в задаче 2 о совместной деформации двух однородных полуограниченных областей Бк (к = 1, 2,
да
Б1 = с криволинейной межфазной границей Гс, обладающих упругими свойствами соответствующих сред О.к, определяются соотношением [8, 9]
G(z, цк) = цкЛк(z) + Лк(z) - (Ек(z) + Лк(z) - (z - z)л;(г))m, 1)
z g D,
к
Функции Лк^) голоморфны в области Бк, а Ек^) — в Бк = {z: г е Бк} (к = 1, 2).
Полагая в равенстве (4.1) Imz —»- при а = 0 и а = я/2, при учете соотношений (1.5) приходим к следующим зависимостям, определяющим значения функций Лк и Ек на бесконечности:
О, \ 2со /. \ 1со 4 4» » » Ц2 Ц1 »
- А)стп = (1 + А)стц + 2(2B - А)ст2?, ю2 - ю» = сти
2 Ц1Ц2
1 2 2 1 iP к 1, к со 20, 2/Цк » 1»
a1 - a1 = a2 - a2 = --Т , ак = ¡¡(ст11 + ^22) + -7®к ; CT11 =
Л 4 кк + 1
(4.2)
где
aj, = lim Лк(z) при z g Dk, aj = lim S, (z) при z g Dj
|Im4 ^ » |Imz| ^ с
j, к = 1, 2, j Ф к
A = Ц2 (к1 + 1 ) - Ц1 ( K2 + 1 ) g = Ц2(к1 - 1 ) - Ц1 ( к 2 - 1 -Ц2 (к1 + 1) + Ц1 (к2 + 1)' Ц2 (к1 + 1) + Ц1 (к2 + 1)
(A и B — параметры Дундурса [14]).
Перейдем в соотношении (4.1) к пределу при z —»- Zc е Гс и а —»- а0, где а0 — угол между положительным направлением касательной к кривой Гс в точке zc и осью x1, тогда получим
Gc+ (za 1) - Gc-(za 1) = Aa:(zc)
Ц1GC+ (.z„ -к2) - Ц2GC-(zc -к1) = -2 Ц1Ц2АUC(zc) , zc g rc (4.3)
Gc±(z„ Пк) = lim Gc(z, Пк)
z ^ zc ± i0
Соотношения (4.3) при учете условий (2.4), выражения (4.1) и равенства -На, = 1 - 2 is/( Х
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.