ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА И МЕХАНИКА
Том 78. Вып. 3, 2014
УДК 533.951
© 2014 г. С. В. Хабиров
ПЛОСКИЕ ИЗОТЕРМИЧЕСКИЕ ДВИЖЕНИЯ ИДЕАЛЬНОГО ГАЗА
БЕЗ РАСШИРЕНИЙ
Получено общее решение уравнений плоских изотермических движений идеального газа без расширений. Предложен способ приведения в инволюцию переопределенной системы дифференциальных уравнений, заключающийся в получении интегрируемых соотношений. Получены все представления решения по времени: полиномиальное, гармоническое, бигармониче-ское, представления линейно и экспоненциально растущих гармоник. Все представления дают решения переопределенной системы, среди которых содержатся все решения с линейным полем скоростей, найденные Л.В. Овсянниковым.
1. Введение. В процессе движения идеального газа без расширения, когда величина произвольного конечного выделенного объема не изменяется, все термодинамические величины: давление р, плотность р, удельная внутренняя энергия е, температура Т и энтропия £ сохраняются в частице. Если движение изотермическое, то уравнение гладкого движения газа можно записать в виде [1]
Ви + VI = 0, В1 = 0, V- и = 0; В = дх + и - V, I = 8 + рУ - TS Здесь u — скорость частицы, В — оператор полного дифференцирования по времени г, / — полный термодинамический потенциал, V = р-1 — удельный объем. В плоском случае сохраняется завихренность в частице:
Вш = 0, ш = их - иу
В декартовой системе координат переопределенная система уравнений плоских тепловых движений газа (термин предложил Л.В. Овсянников) имеет вид
и; + иих + ииу + ¡х = 0, + иих + ииу + (у = 0, их + иу = 0 + и1х + 01у = 0, + иш х + иш у = 0
Все решения этой системы уравнений с линейным полем скоростей найдены Л.В. Овсянниковым. Им же поставлена задача найти общее решение системы тепловых движений газа. Нелинейная часть системы приводится к линейной в лагранжевых переменных [2, 3]. Были получены [4] частные решения с помощью этой линеаризации.
Лагранжевы переменные определяются путем решения задачи с начальными условиями
х; = и, у; = и, х(0) = у(0) = П х; (0) = Ц), у; (0) = Г|)
Производные замены х = х (%, п), у = у(%, п) связаны с производными обратной замены % = %(х, у), п = П( х, у)
равенствами
J £ х = У n, J £ y = -*n> J Пх = -y%, J Пу = J = xy -
Уравнения плоских тепловых движений в лагранжевых переменных принимают вид it = 0, = 0, Jt = 0 Jxu + iy - 1Ц У; = 0, Jytt - i;Xn + 1Ц X; = 0 Отсюда следуют три интеграла
i = /(£, n), ю = raft, n), J = 1
Дифференцирование последнего уравнения по t дает при t = 0 соотношения ио = -V и0 = у ю =ду
Если i = i0 — постоянная величина, то получаются уравнения изобарических движений, общее решение которых в трехмерном случае получено ранее [5]. В плоском случае решение имеет простой вид
2
X = £- ty п, У = П + ty ю =ду, Уnn = V^
Последнее равенство — это уравнение Монжа — Ампера, которое задает линейчатую поверхность
V = -X - f (X)£ - g(X)n, f '(X)!; + g'(X)n = 1
где f и g — произвольные функции, X — параметр.
Пусть ¿ft, п) ф const, тогда рассматривается замена переменных, сохраняющая площадь
i'tjn - inj\ = 1
Обратная замена удовлетворяет такому же условию. Все решения уравнения образуют псевдогруппу [6], при этом выполняются соотношения
\ = П j, in = -£ J > к = > Jn = £i
Два уравнения из трех системы плоских тепловых движений линеаризуются Xtt + Ук = 0, ytt = Xj, Xiyj - Xjyi = 1 C помощью матрицы поворота на — я/2 система записывается в векторном виде
x j = Ox tt, x i • Ox j = 1 (1.1)
Здесь
0 1 X , O x = y
, x =
-1 0 y - X
Точкой обозначено скалярное произведение, которое вычисляется по правилу записанному в последнем уравнении предыдущей системы. Матрица О имеет свойства
О2 = -Е, От = О_1 = -О, НО = 0, |О| = 1
Любой вектор можно разложить по любому ненулевому вектору и ему ортогональному, например,
х 2х г = Ох / + (х I • Ох п )х /
2
где х у — скалярный квадрат и использованы уравнения (1.1). Векторная система (1.1) допускает группу преобразований &:
1) переносы ;' = ; + а0,г' = г + Ь0, /' = / + &(0, х' = х + а;
2) галилеевы переносы х' = х + ;Ь;
3) вращения х' = Лх, ЛЛТ = Е, |Л| = 1;
4) растяжения ;' = а;, у' = а2/', г' = а ~2Ь2г, х' = Ьх.
Здесь а0, Ь0, а, Ь, а, Ь и Л — постоянные, g(i) — произвольная функция. Кроме того, допускаются отражения х' = -х и ;' = .
Решения системы (1.1) разыскиваются с точностью до преобразований группы &.
Переопределенную векторную систему (1.1) нужно привести в инволюцию, т.е. найти конечное число независимых дифференциальных следствий, в силу которых все остальные будут тождествами. Общее правило [7] применить затруднительно ввиду необозримого множества машинных вычислений.
Предлагается другой способ приведения в инволюцию, специально приспособленный для векторной системы (1.1). Он заключается в исключении производных по переменной у во всех дифференциальных следствиях системы. При этом получается частично интегрируемая цепочка уравнений. Далее исключаются производные по переменной I, что приводит к цепочке обыкновенных дифференциальных уравнений. Из этой последней цепочки находятся интегрируемые соотношения и определяются все возможные представления решений по переменной г. Исследование каждого представления приводит к общему решению векторной системы.
2. Цепочка обыкновенных дифференциальных уравнений. Исключение производных по у приводит к уравнению
хг • х2 = -1 = Р0
где введено обозначение: xk — производная порядка к по г.
Дифференцирование по у последнего равенства, исключение производных по у в силу системы (1.1) и интегрирование по г дает равенство
хг • Охз - хц ■ Ох2 = (г, /')
Дифференцирование по у последнего равенства, исключение производных по у в силу системы (1.1) и интегрирование по г дает равенство
хц • х3 = Р1, 4р1 = д0/
Штрихом обозначена производная по г.
По индукции доказывается следующее утверждение.
Теорема 1. Справедлива цепочка следствий векторной системы (1.1)
(хк+1)г • хк+з = Рк+1, 4рк+1 = рк + дк/ (2.1)
(хк)г ■ Охк+3 - (хк+1)г • Охк+2 = Чк, Чк = Рк// (2.2)
где рк — полином по г степени не выше 2к - 1, — полином по г степени не выше 2к.
Дифференцирование равенств (2.1) по ? совместно с равенствами (2.2) дает систему линейных уравнений для определения координат вектора (х к+1)(-
(Х£+1)Л+2 + (Ук+1)(ук+2 = Рк - (хк)1 ' хк+3 -(хк+1)гук+2 + (ук+1)гхк+2 = Чк - (хк)1 ' Охк+3
Отсюда определяется (хк+1)(-, если хк+2 ^ 0:
х к+2(х к+1)г = ркх к+2
- ЧкОхк+2 - ркх к+3 + ((х к )г • Ох к+2)Ох к+3 (2.3)
Скалярное умножение уравнения (2.3) на х к+3 дает соотношение, содержащее производные только по ^
рк+1х к+2 = ркх к+2 ' х к+3 - Чкх к+3 ' Ох к+2 - ркх к+3
(2.4)
Уравнение (2.3), где число к заменено на к - 1, дифференцируется по В силу соотношений (2.2) и (2.4) производные по I сокращаются:
хк+3(ркхк+1х-+2 - рк-1) + Охк+3(чк-1хк+1 ' хк+2х¿+2 - рк-1хк+1 ' Охк+2х-+2) + + хк+2(-ркхк+1х-+2 + 2ркхк+1 ' хк+2х-+1) +
+ Ох к+2(чкх к+1х -+2 - 2рк-1х к+2 ' Ох к+1х ¿+1 - 2?к-1) +
—2 — 2 + хк+1(рк—1 - 2рк—1хк+1 ' хк+2хк+1) + Охк+1(-?к—1 + ^Чк—1хк+1 ' хк+2хк+1) = 0 (2.5)
В силу тождеств
2
хк+2хк+1 = (хк+1 ' хк+2)хк+2 + (хк+1 ' Охк+2)Охк+2 (хк+1 ' хк+2) + (хк+2 ' Охк+1) = хк+1хк+2
(2.6)
из равенства (2.5) следует линейное векторное уравнение для х к+3
(ркхк+1 - рк-1хк+2)хк+3 + (чк-1хк+1 ' хк+2 - рк-1хк+1 ' Охк+2)Охк+3 =
= (ркхк+1 + (2рк - рк-1)хк+1 ' хк+2 - Чк-1хк+1 ' Охк+2)хк+2 +
+ ((рк'-1 - 2рк)хк+2 • Охк+1 + Чк-1хк+1 • хк+2 - Чкхк+1))Охк+2 (2.7)
3. Уравнения относительно полиномов. Цепочку уравнений (2.1), (2.2) относительно полиномов рк и чк можно дополнить новыми уравнениями. Из уравнения (2.7) находим х к+3 и подставляем в уравнение (2.4), при этом сокращаются производные по ? и остается цепочка уравнений, связывающих рк и Чк:
рк+1(4ркрк-1 - рк-1 - Чк-1) - рк-1(р'к + Чк) + (ркрк-1 - ЧкЧк-1)(рк-1 - 2рк) -
- рк (рк-1 - 2 рк )2 + рк-1(ркЧк-1 + Чкр'к-1 - ркЧк-1) = 0 (3.1)
Если все коэффициенты в линейном уравнении (2.7) равны нулю, то следуют две цепочки равенств
4рк-1 рк = рк-1 + Чк-1, 2(Чкрк-1 - ркЧк-1) = Чк-1 рк-1 - рк-1Чк-1 (3.2)
Теорема 2. Цепочка уравнений (2.1), (2.2), (3.1) для величин рк и имеет решение, зависящее только от г:
4Рк+1РкРк-1 - Рк+1Чк-1 = -2РкЧкЧк-1 + 4рк + ЧкРк-1 (3.3)
Цепочка уравнений (2.1), (2.2), (3.2) имеет решение
л-к 2к л-к 2к+1 л /о л\
Рк = -4 Ч , Чк = 4 Ч , Р0 = -1, Ч0 = Ч(г) (3.4)
которое является частным решением уравнений цепочки (3.3).
Доказательство. Используется метод индукции. Сначала доказывается база индукции: Чо('). Из уравнений (2.1) и (2.2) следует
Р1 = 1 ;Ч 0,/ + Рю, Ч1 = 1; 2Ч0,2у + ;Рю,/ + Ч10 4 о
1 1 2 1
Р2 = — Ч0,3/' + - ; Р10,2/' + " ?Ч10,/' + Р20 96 8 4
Уравнение (3.1) при к = 1 принимает вид
Р2(4Р1 + Чо) - Р12 - Ч12 - 2Ч0Р1Ч1 + 4Р13 = 0 (3.5)
Его левая часть — полином четвертой степени по г. Требование обращения в нуль коэффициента при г4 дает дифференциальное уравнение
_3 2
Ч0,3]Ч0,] - 2 Ч0,2]
решение которого с точностью до переноса из группы & таково: либо ч0 = -Щ)'— + к0(г'), либо ч0 = к(гу + к0(г). Если к = 0, то база индукции доказана. Если к ф 0, получается противоречие при расщеплении по г и у.
Действительно, в линейном случае замена из группы & дает ч0 = к]. Требование обращения в нуль коэффициентов при г3, г2, г дает дифференциальные уравнения, из которых определяются функции
Р10 = -1 к1'2 + РшО' + Р1000(г) 4
Ч10 = 1 кЪ'3 - ^крюо'2 + (4к-р^о - 2kpmо)] + Ч100 4
1 , 4 .4 , 17 , 2 .3 .2 I 0 2 , 13 , 2 \ , . Л, -2 3 3 , \ , Р20 =- 8 к' + — к Р100' + ] I-8Р100 + — к Р1000) + ' 14к рт - ^ кЧ1оо) +
2 -2 2 + 2р1000 - 4к р100р1000 + 2р100Ч100
Уравнение (3.5) становится тождеством по у:
4Р2о(Рlоо/' + Р1000) = 77 к2 + Ч12о + 2^10410 - 4Р10 16
Требование обращения в нуль коэффициентов при у5 и у4 дает р100 = р1000 = 0. Остается
12 2
равенство —к + ч100 = 0, из которого следует, что ч100 = к = 0. Противоречие. 16
В случае с отрицательной степенью расщепление по t приводит к определению функций
Р10 = -1 ко2 + С®] ^ + С2®] ~2 4
дю = -4с1к- + Сз]-2 + 2ко]-1 (8 кко - С1) + 4 к0 Р20 = 4с2к-2]- - 2С2к-1] 3(С3 + 2к-'СС) +
+]- (-1 коСз -1 С2ко2 - С2 +1 ккоС -
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.