ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА И МЕХАНИКА
Том 77. Вып. 4, 2013
УДК 539.3:534.1
© 2013 г. М. Ю. Ремизов, М. А. Сумбатян
ПОЛУАНАЛИТИЧЕСКИЙ МЕТОД РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ВЫСОКОЧАСТОТНОЙ ДИФРАКЦИИ УПРУГИХ ВОЛН НА ТРЕЩИНАХ
Для построения эффективного решения задачи о высокочастотной дифракции упругих волн на трещине в изотропной плоскости предлагается полуаналитический подход. Суть его состоит в выделении сильно осциллирующего решения основного интегрального уравнения задачи, которое справедливо равномерно по всей длине трещины при высоких частотах колебаний. Решение ищется в виде произведения сильно осциллирующей функции, отвечающей за качественное поведение решения, и некоторой медленно изменяющейся неизвестной модулирующей функции, которая и становится основной неизвестной в исходном уравнении. Показано, что для корректного нахождения этой новой неизвестной функции достаточно брать на порядок меньшее число узлов коллокации, чем при прямом подходе.
1. Постановка задачи. Пусть на трещину, расположенную вдоль отрезка оси х [-a, a] в упругом изотропном пространстве (двумерная задача), падает плоская волна под углом 0 к вертикальной оси y. Это классическая задача, как в антиплоском, так и в плоском случае. Решение возникающих интегральных уравнений в случае низких и средних частот может быть построено с использованием стандартных численных [1—4] или аналитических [5] методов. Однако с ростом частоты длина волны становится малой, а решение — сильно осциллирующей функцией. При этом для сохранения хотя бы десяти узлов сетки на каждую длину волны при дискретизации возникают системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) большой размерности, решение которых проблематично даже на современных суперкомпьютерах.
Ниже предлагается альтернативный подход, эффективный на высоких частотах. В результате его применения вместо нахождения сильно осциллирующей исходной функции достаточно найти функцию, которая изменяется плавно, что существенно сокращает размерность возникающих СЛАУ.
2. Антиплоская задача. Продемонстрируем предлагаемый подход в случае антиплоской задачи. В этом случае падающая волна — поперечная:
winc(x, y) = exp [-iks(x sin 9 + y cos 9)]
Опустив во всех формулах временной множитель exp(-i ш t), искомый вектор перемещений представим в виде
Здесь w — компонента перемещения в направлении оси %, которая находится из уравнения Гельмгольца
u( x, y, z) = {0,0, w( x, y)}
(2.1)
(2.2)
где к. — волновое число поперечных колебаний, р — массовая плотность, ^ — модуль сдвига.
Параметры и составляющие полей напряжений для полуплоскости у < 0 будем снабжать верхним индексом (1), а для полуплоскости у > 0 — индексом (2), и выпишем граничные условия при у = 0 для берегов трещины, свободных от напряжений, а также определяющие соотношения для компонент тензора напряжений
N < а: г™ =-тП; И > а: т% = ; *(1) = *(2) (2.3)
^^, С = ^, 1 = 1,2 (2.4)
ду ду
Вводя в рассмотрение функцию раскрытия трещины
(2) т Г0, |и| > а
(*(2) - * )(х, 0) = ]' (2.5)
(х), и < а
применением интегрального преобразования Фурье по координате х сводим задачу к решению граничного интегрального уравнения относительно функции qz, которое после замены переменных . = .к,, х = X/к., Е, = |/к. приводим к безразмерному виду (в дальнейшем знак тильды опускаем):
ак,
| д, © К, (х = / (х), |х| ^ аК (2.6)
-ак.
да
К,(х) = — [ Ь^^(,)е 1X9 ё,., 1^(з) = 452 - 1, / (х) =-2;со8 9 е 'Х!!Ш0 2п
—да
При высоких частотах колебаний параметр X = 1 / (ак.) мал. Построим асимптотическое решение методом "малых лямбда" [5, 6]:
(х) = ^ (1 + х) + (I - х) - и, (х) (2.7)
Функции д^1 находятся из интегральных уравнений Винера—Хопфа на полуоси [6, 7]
да
|д1 © К, (х = 2п^ (х), 0 < х <«>, 1 = 1,2 (2.8)
0
£1 (х) = / (х - ак.) /(2п), g1 (х) = / (ак. - х) /(2п) При этом функция и, (х) — "вырожденное" решение уравнения на всей оси
да
I и, ® К, (х -%Щ = / (х), |х| (2.9)
—да
и легко строится применением теоремы о свертках в виде
, , „ . Г8(-з1п . (х) = -21 С08 В I х , ■
-да V.2 - 1
§ ( 81п В) е =2 е-""шо (2.10)
.2 -1
Сильно осциллирующая структура высокочастотного решения (при к ^ да) хорошо видна из формулы (2.10), которая дает асимптотическое представление вдали от концов трещины. Это решение можно получить и на основе теории дифракции Кирхгофа.
Для построения высокочастотной асимптотики решения, равномерной на всем протяжении трещины, необходимо учесть пограничные слои вблизи концов трещины. С этой целью необходимо решить уравнения Винера—Хопфа (2.8). Введем следующие обозначения: ф+ (х) (соответственно, ф_ (х)) — функция, равная ф(х) при х > 0 (х < 0) и нулю при х < 0 (х > 0). Ф+(х) (соответственно, Ф(х)) — значение на вещественной прямой функции Ф(х), аналитической в верхней (нижней) полуплоскости комплексного переменного
Тогда уравнения (2.8) в образах Фурье перепишутся в виде
Q+ (í) L (í) = G+ (s) + Q- (s), j = 1,2, G+ (s) =-
Ae
iaks sin 9
i (± sin 9-s)'
-2i cos 9
(2.11)
Здесь б+(з) и 0+(я) — образы Фурье функций д+ (х) и g+ (х), а Q (5) — некоторая функция. Далее осуществим факторизацию:
Vs2 -1 = (47—1)_ ((+1)+
где первый (второй) сомножитель — аналитическая функция в нижней (верхней) полуплоскости. Теперь соотношение (2.11) примет вид
Qj )+=tÄ- + ^
j = 1,2
'(Л)_ ' ((-1) Осуществим разложение полученных функций
G+2 (í)
47—1 V± sin 0-1 i (± sin 0- s)
Ae
iaks sin Ö
Ae
iaks sin Ö
V± sin 0-1 i (± sin 0-1)
(.12)
(2.13)
Подставляя выражения (2.13) в равенства (2.12) и перенося все функции, аналитические в верхней (нижней) полуплоскости, в левую (правую) часть уравнения, получаем
Л Jaks sin 0
Q+2(s) ((7+1)+ -
1
A i
Ae
V± sin 0-1 i (± sin 0- 1)
1
1
Ws -1 V± sin 0- 1/ i (± sin 0- s)
Ae
iaks sin 0
+ N (s), N (s) =
Q~ (s) bfTs)_
(2.14)
Согласно принципу аналитического продолжения, функции в левой и правой части равенства (2.14) должны быть равными нулю. Это приводит к явному выражению для трансформанты Фурье
iaks sin О
Qu (s) =7
л <
Ae
B
1,2
i (± sin 0-s )s + W ± sin 0 -1 (s + sin 0) s + 1
±iaks sin 0
(2.15)
B1,2 =
2cos 0e
V± sin 0- 1 Сделаем замену переменной s = ip:
-3ni/4
Q1,2 (P) =
Bu ee
(P ±a)p + ß'
a = i sin 9, ß = —i
(2.16)
Тогда обращение соотношений (2.16) сводится к обратному преобразованию Лапласа по переменной p [8]:
/2 в -3m'/4
qf> (x) = A,2 * № 0 [ («1,2 x) + iS 2 K2 x)], A,2 = 2 /71'2 ' (2.17)
•y/1 ± sin 0
Здесь использована связь интеграла вероятности Erf (x) с интегралами Френеля C2 (x) и S2 (x), для которых были предложены [9] простые рациональные аппроксимации.
В результате получаем явное асимптотическое представление решения при больших частотах. Ниже оно будет использовано для построения специального численного метода.
3. Плоская задача. Описанный выше подход может быть применен и в плоской задаче. В случае падающей продольной волны с волновым числом kp упругие потенциалы Ламе в падающем поле запишутся в виде
фшс (x, y) = exp [-ikp (x sin 9 + y cos 9)], ylnc (x, y) = 0 (3.1)
В предположении отсутствия нормального и касательного напряжения вдоль берегов трещины применим стандартную технику, основанную на преобразовании Фурье, что приводит к следующей паре независимых интегральных уравнений:
a
J qz ©Kc (x -%)d% = fc(x), |x| < a (3.2)
где
Kq (x) = — J Lq (s) e lsxds, Z = x, y
2n
—да
Lx (s) = ^, Y(s) = s¡sT-k¡, Ly (s) = ^, q(s) = Js2-^ (3.3)
y (s) q (s)
fx(x) = -k2pk'2 sin 29e 'kpxsln0, fy(x) = 2ks4(2c2 sin2- 1)e 'kpxsln0, c = kp/ks < 1
Здесь A(s) — функция Релея, функции qx(£) и qy(Q определяют относительное раскрытие трещины вдоль оси x и y соответственно.
Дальнейшее изложение метода проводится для случая Z = x. Как и в антиплоской задаче, главный член асимптотики при X = 1/(akp) ^ 1 будем искать в виде
qx (x) = qx1 (akp + xkp) + q^ (akp - xkp) - Ux (xkp) (3.4)
Функции (x) (j = 1,2) — решения уравнения Винера—Хопфа на полуоси
да
J^ © Kx (x -l-)d!■= fx (±xkp + akp), 0 < x <«, j = 1,2 (3.5)
0
а функция ux (x) — решение интегрального уравнения на всей оси
да
J Ux (¡j) Kx (x -%щ= fx (x), |x| <Ю
-a
Оно строится применением преобразования Фурье и имеет вид
9 9 г 8 (s - kp sin 9) -sxds f (x)
vx (x) = -k]kl sin 29 -i-P——L-= /x(x) (3.6)
^ S P l Lx (s) Lx {kp sin 9) V '
Далее, применяя такую же замену переменных, как и в антиплоской задаче, переходим к безразмерному виду.
Для решения уравнения (3.5) на полуоси факторизуем символ ядра. Поскольку решения устойчивы к малым возмущениям символа на вещественной оси [5], применим его приближенную факторизацию [10]
L (s) = Mf) k3 4sVs2 -pVT^l - (2s2 -1)2 „
xU y(s) s VT^1 ~
/ 2 2\ / 2 2\ / 2 2\
(s - s1)(s -z )(s -z ) J i \ T ^ n -,4 -i 1 ■---- = Lx (s), Imz > 0 (3.7)
A^js2 -P2M+ (s)M_(s) A = s2 z2 z 2/ks3 > 0; M± (s) = Bs4s±e(s±i + (2s ± l)2, B > 0
Здесь si и -¿i — два корня уравнения Релея, в точках z и z обращается в нуль функция M+ (s). Тогда факторизация функции Lx (s) осуществляется в виде
L(+) (s) = (s + si)(s + z)(s + z) x y' -JA Vs+p M+ (s)
Реализация метода Винера—Хопфа для уравнения (3.5) приводит к выражениям для
образов Фурье функций qxj (x) (j = 1,2). Представляя результат в виде сумм соответствующих элементарных дробей, приходим к выражению, содержащему лишь два следующих отношения:
V s + 1 Vs + Р. - О • А - и ---; n = z, z, Р sin 9, s1
s + n s + n
Использование формул обращения ([8], формулы 5.3.22) позволяет выписать функции qV1 (x) в явном виде.
4. Численный метод в случае высоких частот колебаний. Согласно предлагаемому подходу произведение высокочастотной асимптотики, построенной для обеих задач в виде (2.7), (3.4), и некоторой медленно меняющейся неизвестной модулирующей функции О^ (x) образуют решения основных интегральных уравнений (2.6) и (3.2), которые следует искать в виде
q¡Z (x) = [q® (ak + xk) + q® (ak - xk) - иz (xk)] G^ (x), Z = z, x, y (4.1)
с k = ks в антиплоской и k = kp в плоской задаче. После подстановки выражений (4.1) в уравнения (2.6) и (3.2) при замене = k, x = x/k, s = sk, ak = 1Д, получим интегральные уравнения относительно функции Оz (x) (тильда опущена)
ы
-1
-0.5
0.5
х/а 1.0
ак
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.