ОПТИКА И СПЕКТРОСКОПИЯ, 2015, том 118, № 6, с. 977-980
^ НЕЛИНЕЙНАЯ
И КВАНТОВАЯ ОПТИКА
УДК 535.21,535.34
ПОЛЯРИЗАЦИЯ ДВУХУРОВНЕВОЙ АТОМНОЙ СРЕДЫ В ПОЛИХРОМАТИЧЕСКОМ ПОЛЕ
© 2015 г. А. Г. Антипов, С. А. Пулькин, A. С. Сумароков, С. В. Уварова, В. И. Яковлева
Санкт-Петербургский государственный университет, 199034 Санкт-Петербург, Россия
E-mail: usvik2009@yandex.ru Поступила в редакцию 28.06.2014 г.
Получено численное решение для поляризации двухуровневых атомов, взаимодействующих с полихроматическим полем. Аналитическое решение для частного симметричного случая относительно частоты однородно уширенного перехода подтверждает численное. Результаты могут быть использованы в нелинейной комб-спектроскопии.
DOI: 10.7868/S0030403415060021
ВВЕДЕНИЕ
Целью настоящей работы является исследование спектра поляризации двухуровневой однородно уширенной атомной системы в слабом полигармоническом световом поле.
В настоящее время комб-спектроскопия — бурно развивающаяся область спектроскопии, позволяющая в широком спектральном интервале с разрешением, определяемым допплеровским уширением для однофотонных переходов, с высокой чувствительностью регистрировать атомные и молекулярные спектры. Спектр излучения представляет собой набор узких эквидистантных пиков (комб-спектр). Основным преимуществом метода комб-спектроскопии является одновременная регистрация всех спектральных компонент поля. В обычной линейной комб-спектро-скопии нелинейные многофотонные процессы не учитываются. Мы покажем, что при значении частоты Раби отдельной компоненты, меньшей или соизмеримой со значением констант релаксации уровней (линии), нелинейные эффекты играют важную роль. Мы ранее показали [1], что во встречных комб-полях за счет многофотонных процессов в спектре поглощения формируются однородно уширенные компоненты на фоне допплеровского контура.
АНАЛИТИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ ДЛЯ ПОЛЯРИЗАЦИИ ДВУХУРОВНЕВОЙ
СИСТЕМЫ, ВЗАИМОДЕЙСТВУЮЩЕЙ С ПОЛИХРОМАТИЧЕСКИМ ПОЛЕМ
Пусть на среду, состоящую из двухуровневых атомов, действует квазирезонансное полигармо-
ническое поле, состоящее из (2К + 1) монохроматических компонент, записываемое в общем виде:
e »>=2
(
K
Es0 + X Esm(e m=1
imA st , -imA *t\
s + e >
e + к.с.
где = (ю2К+1 + ®1)/2 — средняя частота полихроматического поля, А ^ = ю}+1 - юу — частотное расстояние между компонентами поля, Етт — амплитуда т-компоненты поля.
Уравнения для матрицы плотности двухуровневой системы в приближении квазирезонансной и вращающейся волны имеют вид
(1)
й Р12/dt = -(Г + 16)р12 + ¡У^и,
dNl2/dt = ^12 -7^12 - 41Ш(Г21Р12),
где Х12 = X - X 2 — разность накачек на уровни, у21 = -й21Е / й — матричный элемент энергии взаимодействия в дипольном приближении, й21 — дипольный момент перехода, N12 = р11 -р22 — разность заселенностей нижнего и верхнего состояний, 5 = - ю21 — отстройка средней частоты лазерного поля от частоты перехода ю21, у = у1 = у 2 и Г — константы продольной и поперечной релаксации, соответствующие ширине уровня и ширине линии (рис. 1).
Система дифференциальных уравнений для матрицы плотности разрешима для частного случая симметрично расположенных компонент излучения относительно частоты перехода 5 = 0 и равных между собой констант релаксации у = Г [2, 3].
7
977
978
АНТИПОВ и др.
где
Bnl...nKll...lK = П Jnm ( Zsm)Jlm (Zsm),
m=1
K
f n1...nKl1...lK = Z m(nm + lm ).
m=1
Находим временнЫе зависимости разности заселенностей уровней и мнимой части недиагонального элемента матрицы плотности р12:
Рис. 1. Схема двухуровневого атома, взаимодействующего с полем Е.
Подстановкой новой переменной у = N12 + + /21ш р12 система уравнений (1) сводится к одному уравнению
х
N12(t) = X 12 X ... Z Z ... х
n1 nKl1
Bm...nKL..lK У COS fnv..nKL.JK A sS
Ik =-
>n1...nKh...lKl^*Jn1...nKl1...lK
Y2 + f2
í 1 J n1...nK
B»1...»Kl,...lKfn,...nK sin fnx...nKh-lKAsS
Y2 + f2
i * J щ...\
dy/dt = -(Y- i2V2l) y +
(2)
где
ImMS) = ^ Z ... Z Z ...:
n1...nK
V21 = 1 ^s0 + Z Qsm COs mAsS? ^sm = -d21E smA
х
m=1
Ik =-
n1nK l1
В»1...»к1....1КYSin fn1...»Kl1...lKAsS
Y2 + f2
Í 1 J n1...nK
+
Решение уравнения (2) известно:
J (Y-i2V21)dS
- J (Y-i2V21)dS
y(t) = e J
J X 12e
dt + const
+
Bn^jJn.^ COS fnx...nKh...lK A sS
Y2 + f2
Í 1 J n1..J
n1...nK
где
П Jnm ( Zsm )
const = 1 -X12 Z ... Z ~
n1=-~ nK =-~ in1...nK
Z sm = sm / mA s, K
fn1...nK = Qs0 - Z mnmAs.
m =1
Слагаемое const можно не учитывать, так как оно умножается на exp(-yt) и при временах у S порядка 10 становится малой.
Используя равенство
exp(±izsin xt) = Z Jn(±z)exp(inxt), получим решение
Поляризация определяется недиагональными элементами матрицы плотности:
Р ^) = й 21Р12(Г) + К.С. Компоненты поляризации, осциллирующие на частотах шу = ш50 ± у А 5, равны
Ру =-й 21/^ 11т р12^'А,
где означает усреднение по времени.
После усреднения по времени мнимая и реальная части поляризации будут иметь вид
Re(P¡) =
_ YX|2d
21
Z... Z Z...
X
X
Z
1к =-
n1 пк =-- l1 =-
B 6
K J,fn1...nKl1..lK
yV/2
n1...nK
Bnx...nKlx...lK 6 J,-fr
n1...nKl1...lK
Y2 + /'
Í * J Щ...\
y(t)=X12 Z... Z Z... Z ^^
ifn\...nKl\..lK A Ss
Пк l1 IK =-
(Y- i/n1...nK)
Im(P.) = -tó1
n1...nK У
Z... Z Z...
n1 nK l1
ПОЛЯРИЗАЦИЯ ДВУХУРОВНЕВОЙ АТОМНОЙ СРЕДЫ 979
Яе(Р) 0.01
0
-0.01
- (а) 0.01 -
— .1.. ., ■. || 1. „ . . 1 1 0
-20 -10 VIII I1 10.......20" -20
У ' -0.01 _
0.02 0
-0.02
-0.02
1ш(Р) 0.04г
0.02 0
-0.02
Рис. 2. Графики зависимостей вещественной Яе(Р) и мнимой 1ш(Р) частей поляризации от номера компоненты у. Значения параметров: К = 4, Q 50 = Q 8т = 0.2Г, ^12 = 1, 8 = 0, А 5 = 0.01 (а), А 5 = 0.2 (б). Ромбами обозначены результаты численного решения системы уравнений (1), точками — аналитическое решение (3) уравнения (2).
X
х
1К
ВЫ1,..1к/п1-пк 8 ¿Л
п1...пк11...1к
72 + А2
п1.. пк
вп
\...1кЛп1...пк 8 Л-.
п1" пК11.. .1К п1...пк Л-/п1...пК11...1К
Т'+Т2
I 1 ^ щ...пк
где 8,' ± г — символ Кронекера.
При слабых полях и малых межмодовых расстояниях, когда А 5 меньше или порядка Q т, мнимая часть поляризации имеет для гармоник с номерами -4 < у < 4, где существует лазерное по-
ле, положительные значения, следовательно, эти компоненты поглощаются. При |у| > 4 мнимая часть поляризации имеет отрицательные значения, которые для у = 5 составляют 3/4 значения мнимой части поляризации для у = 4 и порядка одного значения для -2 < у < 2 (рис. 2а), т.е. возникают новые компоненты на частотах, где не было гармоник. Несмотря на то что действуют слабые поля, происходят нелинейные процессы с возникновением новых гармоник (рис. 2).
При больших межмодовых расстояниях А5 > Q т зависимость мнимой части поляриза-
\
Рис. 3. График зависимостей вещественной Яе(Р) и мнимой 1ш(Р) частей поляризации от номера компоненты у и межмодового расстояния А5. Значения параметров: К = 4, □ 50 = ^Бт = 0.2Г, А42 = 1, 8 = 0.
980
АНТИПОВ и др.
Рис. 4. Графики зависимостей вещественной Яе(Р) и мнимой 1ш(Р) частей поляризации от номера компоненты у. Значения параметров: К = 4, ^50 = ^Бт = 0.2Г, А42 = 1, 8 = 0, А5 = 0.3 (а), 1 (б). Ромбами обозначены результаты численного решения системы уравнений (1), точками — аналитическое решение (3) уравнения (2).
Re(P) 0.02
0
-0.02
Im(P) 0.04
0.02 0
♦uttt«
-10
10
Re(P) 0.04
lit, (а)
.......-TqHJ W j * 10
-0.04
Im(P) 0.08
0.04
10
10
0
0
ции от номера гармоники у имеет форму "колокола" (рис. 3 и 4б) как в случае однородно уширенного лоренцева контура и одного слабого поля вблизи линии поглощения, и дисперсионная зависимость (показатель преломления, определяемый реальной частью поляризации и связанный с мнимой соотношением Крамерса—Кронига) имеет аномальный вид вблизи линии перехода и нормальный — вдали.
Теоретические результаты хорошо согласуются с расчетами, выполненными численными методами Рунге—Кутта решения дифференциальных уравнений [1] и последующего интегрирования временной зависимости поляризации Р(¿) [3,4] (рис. 4).
ВЫВОД
Вероятность нелинейных когерентных процессов определяется величиной действующего лазерного поля. Если на среду действует одно сильное поле, то критерий сильного поля хорошо известен и представляет собой случай, когда отношение квадрата частоты Раби Q 5 0 к произведению ширины уровней у и ширины линии Г больше единицы:
«2 0/ тГ>1-
Если отношение меньше единицы, то нелинейными процессами можно пренебречь.
В полихроматическом поле критерий сильного поля связан с отношением квадрата частоты
Раби не только к ширинам уровней (линии), как в случае одного сильного поля, но и к частотному (межмодовому) расстоянию между компонентами полихроматического поля. И даже при слабых компонентах поля, но маленьком межмодовом расстоянии появляются нелинейные эффекты взаимодействия. Явление связано с взаимным влиянием компонент слабого поля, расположенных близко друг к другу.
Таким образом, при определенных параметрах слабое полихроматическое поле оказывает такое же нелинейное влияние, как и сильное поле, и можно ожидать расщепление каждого уровня двухуровневой системы на бесконечную систему квазиэнергетических подуровней [5] и появление многофотонных переходов между ними.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Pulkin S.A., Kim G.H., Kang U., Arnautov V., Uvaro-va S. V. // Am. J. Mod. Phys. 2013. V. 2. P. 223-226.
2. Апанасевич П.А. Основы теории взаимодействия света с веществом. Минск: Наука и техника, 1977.
3. Витушкин Л.Ф, Гайда Л.С., Зейликович И.С., Короткое В.И., Лазарюк С.В., Пулькин С.А., Топтыгина Г.И. // Изв. АН. Сер. физ. 1992. Т. 56. № 8. С. 58-65.
4. Пулькин С.А., Юн Т.Х., Кузьмин А.И., Уварова С.В. // Опт. и спектр. 2008. Т. 105. № 2. С. 314-317.
5. Топтыгина Г.И, Фрадкин Э.Е. // ЖЭТФ. 1990. Т. 97. В. 3. С. 766-781.
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.