ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА И МЕХАНИКА
Том 77. Вып. 3, 2013
УДК 531.36:534.1+533.6.013.42
© 2013 г. В. В. Веденеев
ПРЕДЕЛЬНЫЕ ЦИКЛЫ КОЛЕБАНИЙ ПРИ ОДНОМОДОВОМ ФЛАТТЕРЕ ПЛАСТИНЫ
В нелинейной постановке исследуется развитие одномодового флаттера упругой пластины в сверхзвуковом потоке газа. При небольшом углублении в область неустойчивости имеется единственный предельный цикл, соответствующий единственной растущей моде. При появлении второй растущей моды возникает несколько новых нерезонансных предельных циклов, найдены области их существования и устойчивости. При тех же параметрах могут существовать предельные циклы с внутренним резонансом, в которых имеется энергообмен между модами. Получены зависимости амплитуд предельных циклов от параметров задачи, что позволяет оценить опасность возникновения флаттера.
Задача исследования устойчивости упругих пластин в сверхзвуковом потоке газа возникает в связи с явлением панельного флаттера — интенсивных вибраций отдельных панелей обшивки летательных аппаратов, движущихся с большой скоростью. Этот тип флаттера непосредственно не связан с флаттером крыльев и оперения, но также может приводить к накоплению усталостного повреждения и разрушению панелей обшивки [1].
Как правило, при исследовании флаттера пластины для вычисления возмущения давления, действующего на нее, используется поршневая теория — дифференциальная связь между возмущением давления и прогибом пластины [2—4]. Эта теория является пределом точной линеаризованной теории потенциального течения при М ^ да или ю ^ 0 (М — число Маха потока газа, ю — частота колебаний). Считается, что поршневая теория работает на практике, начиная примерно с М > 1.7 [3].
Основной недостаток поршневой теории заключается в том, что она может описать возникновение лишь одного из двух видов панельного флаттера — флаттера связанного типа. При малых сверхзвуковых скоростях (1 < М < 2) возникает другой, одномодовый тип флаттера, который может быть получен лишь при использовании теории потенциального течения или более сложных моделей. В линейной постановке этот тип флаттера исследовался аналитически (при больших размерах пластины) [5] и численно (при произвольных размерах) [6], проведены эксперименты [7], подтвердившие существование одномодового флаттера. Исследовалась нелинейная задача и найдена амплитуда предельного цикла в случае, когда растущей является одна мода [8]; показано, что рост амплитуды при углублении в область неустойчивости происходит намного быстрее, чем при флаттере связанного типа. Однако область флаттера по одной моде мала, и при небольшом увеличении скорости потока растущими становятся сразу несколько мод. Ниже изучаются предельные циклы, возникающие при флаттере по нескольким модам одновременно.
1. Постановка задачи. Исследуются нелинейные колебания упругой растянутой пластины, обтекаемой с одной стороны плоскопараллельным сверхзвуковым потоком невязкого совершенного газа (фиг. 1), в случае ее одномодового флаттера. С другой стороны к пластине приложено постоянное давление, равное невозмущенному давлению потока. Нелинейность задачи вызвана геометрической нелинейностью поведения пластины — мембранными напряжениями, возникающими при изгибе (модель больших прогибов Кармана). Возмущение давления газа, действующее на пластину, считается линейно зависящим от прогиба, так как аэродинамическая нелинейность существенно влияет на колебания пластины лишь при очень больших (порядка 10) числах Маха М ([3], §4.18) и в трансзвуковой области [9].
М
ЧЧЧЧЧЧЧЧЧЧЧЧЧЧЧ
Фиг. 1
Задача рассматривается в двумерной постановке. После выражения возмущения давления через прогиб пластины задача становится одномерной с одной неизвестной функцией — прогибом. В безразмерных переменных уравнение движения пластины имеет вид ([10], §24)
в ^.
дх
Ь / 2 2
+ к ± «
2Ь 3 У д1 )
-Ь / 2 У ъ у
^ + ^ + РМ = 0 (1.1)
дх ^
В =-Ц——, Ы^ , к =-Е _ = Ь = ^ м = и, ц = -Р-
12(1 -V 2)а 2р т а (1 -V 2)а 2р т И а р т
Здесь Цх, ^ — прогиб пластины, отнесенный к ее толщине, Е, V и рт — модуль Юнга, коэффициент Пуассона и плотность ее материала, Ьм; и И — ширина и толщина пластины, а — растягивающее напряжение, и и р — скорость и плотность газа, а — ско-
2 2
рость звука в газе. Натяжение пластины (коэффициент при д дх ) складывается из двух частей: первое слагаемое — постоянное приложенное к пластине натяжения, второе слагаемое — нелинейное натяжение, возникающее при изгибе. Конструкционным демпфированием пластины пренебрегается (его можно учесть, уменьшив аэродинамическое усиление, введенное ниже, на величину коэффициента демпфирования). Параметры В и Ь — безразмерная жесткость и ширина пластины, Мм; и К характеризуют ее натяжение и нелинейность, М и ц — число Маха и безразмерная плотность газа. Выражение для К написано в предположении, что кромки пластины не смещаются при изгибе, в противном случае К < 12В. Оператор Р{Цх, ^)} — возмущение давления газа. Пластина занимает область -Ь/2 < х < Ь/2, на кромках заданы условия защемления или шарнирного опирания.
2. Уравнения для амплитуд. Задача решается методом Бубнова. Разложим решение (1.1) по ортонормированным собственным функциям пластины в пустоте:
ад
Цх, 0 = (х)Л] (0 (2.1)
3=1
с неизвестными амплитудами Л3 ^). После применения процедуры Бубнова получаем систему уравнений относительно Лп (п = 1,2,...)
й 2 Л ^ ^
—ЛП + + К £ атказпЛтЛкЛз + = 0 (2.2)
й т,к, 3=1 3=1
Фиг. 2
где
L / 2
ajn V2L
dWjdWn dx dx
L / 2
dx,, Pjn(i) = J P{ j}Wndx
-L / 2 -L/2
При этом a-n = anj, a/7 > 0, а в частном случае шарнирного опирания по обеим кром-
*nj, XAjj
кам ауп = 0 при у ^ п.
Было показано [8], что при одномодовом флаттере, когда влияние потока на собственные моды пластины мало:
^ « 1, j * n,
I Pnn\
Pnn(t) « -2pn2(a>)
dAn(t) dt
(2.3)
Смысл последнего соотношения в том, что при одномодовом флаттере действие потока сводится к аэродинамическому усилению (или демпфированию) колебаний. Коэффициент аэродинамического усиления pn2(œ) зависит от характерной частоты колебаний, причем имеется диапазон частот Ю'п < ю < ю'п , где его знак положителен (на фиг. 2 показан качественный вид функции pn2(œ)), что соответствует одномодовой неустойчивости в линейном приближении. Значения ^¡n и ' различны для разных мод. Для дальнейшего понадобится явная формула
«n = (M - 1)X n /L (2.4)
где x n — зависящие от граничных условий постоянные, входящие в формулу для n-й собственной частоты пластины
= D(X n /L)4 + MW (X „ /L)2 Группируя в уравнениях (2.2) слагаемые с разными степенями An и учитывая приближенные равенства (2.3), получаем
( \
d2 A,
dt
dA
n - 2pn2(œ) ^ 2 dt
^n + K ^ (amkann + 2amnakn )AmAk
m, k=1 m,k Ф n
+ 3K
amnannAm
m=1 m Ф n
A2„ + Ka2mA3n + K £ amkajnAmAkAj = 0
m,k, j=1 m, k, j Ф n
(2.5)
3. Одна линейно растущая мода. Считая, что \Л„\ ^ \Л1\, п > 1, в уравнении (2.5) для А1 можно отбросить все члены, содержащие амплитуды с индексом выше 1. Тогда оно запишется в виде
¿Ц1 - 2Р12(Ю)^ + Ю014 + Ха2пл1 = 0 (3.1)
£ £
Методом гармонического баланса были найдены [8] предельные циклы этого уравнения во втором приближении:
Л1(0 = С^сзюГ + С?сс83юГ; С1 = Г^ -,ю01), С3 =-К1-^- С?
\ ЗКаА 4(9ю2 -ю01) (3.2)
р12(ю) = 0 ^ ю = ю1, ю = ю1'
Так как в случае, когда первая мода является растущей в линейном приближении, ю" < ю01 < ю1, то из соотношений (3.2) получаем, что колебания с частотой невозможны, и есть только один предельный цикл, имеющий частоту ®1.
Рассмотрим процесс усиления колебаний. Представим, что в пластине возбуждается малое начальное возмущение по первой моде, растущее со временем, р12(ю01) > 0. Благодаря нелинейному члену в уравнении (3.1) амплитуда и частота связаны между собой, и частота вслед за амплитудой также начинает расти. Увеличение частоты означает движение вправо по кривой Л2(ш) (фиг. 2). Так как без учета действия газа решения уравнения (3.1) имеют вид нейтральных колебаний с произвольной амплитудой, нелинейность сама по себе не может привести к прекращению роста амплитуды. В результате, пока />12(0) > 0, увеличение амплитуды, а следовательно, и частоты, будет продолжаться. Когда частота ю достигнет значения ®1, величина /^(ш) станет равной нулю, и усиление сменится нейтральным колебанием. Основного внутреннего резонанса не будет, так как ю1 < ю'п < ®оп, п > 1. Дробные резонансы при этом не исключены, они изучаются ниже.
Приведенные рассуждения наглядно иллюстрируются уравнением энергии. Умножим уравнение (3.1) на йАх/& и преобразуем к виду
£ Л
1 (А
2( £
) + 2 «0А + Ка2п Л41 = 2 р12(ю)(£Л1) (3-3)
Левая часть полученного равенства представляет собой изменение полной энергии колебания. При /12(0) > 0 она увеличивается, при /12(0) < 0 — уменьшается, и только в случае /12(0) = 0 колебания нейтральны.
Из уравнения (3.3) сразу следует, что полученный предельный цикл с частотой устойчив, так как увеличение (уменьшение) амплитуды приводит к увеличению (уменьшению) частоты и обратному эффекту со стороны давления — уменьшению (увеличению) энергии и амплитуды.
Отметим, что зависимость амплитуд (3.2) от частоты — такая же, как и при нелинейных колебаниях пластины в вакууме. Отличие состоит в том, что частота колебаний в вакууме может быть произвольной, а в потоке она определена условием ю = ю'.
4. Нерезонансные многочастотные колебания. Конкретные расчеты показывают, что область чисел Маха, где растущей является только одна мода, весьма узка. Рассмотрим случай, когда вторая мода также становится растущей. Оставляя в равенствах (2.5) две амплитуды Л1 и Л2, получим систему уравнений
+ К (апа22 + 2а22)Л2 Л1 + ЗХа^Л Л2 + Ка^Л? + Ка22аи Л? = 0
2 2 2 2 3 3
$2 Л2 + К(апа22 + 2а12)Л1 Л2 + 3Ка22а12Л1Л2 + Ка22Л2 + Капа12 Л1 = 0 (4.1)
= - 2р/2(ю)£ + ю0;, / = 12 £ £
Как и ранее [8], предположим, что установившиеся колебания по каждой моде близки к гармоническим. Обозначим частоты основных гармоник первой и второй мод как е>1 и Ш2. Поскольку система (4.1) не разделяется, решение для каждой амплитуды содержит не только субгармоники основной частоты, но также и всевозможные гармоники с ч
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.