ОПТИКА И СПЕКТРОСКОПИЯ, 2007, том 103, № 6, с. 1010-1017
НЕЛИНЕЙНАЯ И КВАНТОВАЯ ^^^^^^^^^^ ОПТИКА
УДК 535.14
ПРЕДСТАВЛЕНИЕ КВАНТОВОГО ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУРЬЕ НА МНОГОУРОВНЕВЫХ БАЗОВЫХ ЭЛЕМЕНТАХ С ПОМОЩЬЮ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ ОПЕРАТОРОВ СЕЛЕКТИВНЫХ ПОВОРОТОВ
© 2007 г. А. С. Ермилов, В. Е. Зобов
Институт физики им. Л.В. Киренского Сибирского отделения РАН, 660036 Красноярск, Россия
Поступила в редакцию 12.01.2007 г.
Для получения возможности экспериментальной реализации квантовых вычислений на ё-уровне-вых базовых элементах (кудитах) при ё > 2 необходимо разработать схемы технического осуществления элементарных логических операторов. Нами найдены последовательности операторов селективных поворотов, представляющих операторы квантового преобразования Фурье (матрицы Уолша-Адамара) для ё от 3 до 10. Для простых чисел 3, 5 и 7 применен известный метод линейной алгебры, тогда как для факторизуемых чисел 6, 9 и 10 - представление виртуальных спинов, ранее примененное нами для ё = 4 и 8. Селективные повороты могут быть реализованы, например, с помощью импульсов радиочастотного магнитного поля для систем из квадрупольных ядер или с помощью лазерных импульсов для атомов и ионов в ловушках.
PACS: 42.50.-p
ВВЕДЕНИЕ
Квантовый компьютер будет способен выполнять моделирование физических систем и решение определенных задач более эффективно, чем классический компьютер [1], поэтому над его созданием работают много исследователей. К настоящему времени наибольший успех в квантовых вычислениях достигнут на двухуровневых базовых элементах (кубитах). В качестве примеров приведем реализацию методами ядерного магнитного резонанса (ЯМР) алгоритма факторизации Шора на 7 спинах с I = 1/2 [2] и управления состояниями 12 спинов [3]. Однако чаще в природе встречаются квантовые системы с большим чем 2 числом состояний: квадрупольные ядра со спином I > 1/2, атомы, ионы, радикалы или молекулярные магнетики с электронными состояниями > 1/2, спиновые кластеры с сильным спин-спиновым взаимодействием и т.д. По сравнению с двухуровневыми такие системы обладают качественно новыми физическими свойствами, которые могут оказаться решающими при построении квантового компьютера. С другой стороны, в работах по теории вычислений сделаны выводы о преимуществах компьютера на ё-уровневых базовых элементах (кудитах): например, в устойчивости к помехам [4], в скорости роста размерности гильбертова пространства при увеличении числа базовых элементов [5, 6] и т.п.
Тем не менее, поскольку теория вычислений в двоичной логике лучше разработана, многие авторы, выполняя эксперименты на многоуровне-
вой системе, представляют состояния такой системы как состояния системы нескольких виртуальных кубитов [7, 8]. Это относится к ЯМР-экспериментам на жидких кристаллах, в которых уровни ядра 23№ с I = 3/2 были представлены [9, 10] двумя виртуальными кубитами, а ядра 133Cs с I = 7/2 - тремя [11, 12]. Двухкубитный подход применен [13] и к четырем уровням ядер 75As в полупроводнике, наблюдаемым по эффекту Холла. В работе [14] к системе двух кубитов (реальных) сведена система из ядра 13С и двух электронных уровней с проекциями ±1 и 0 (с учетом вырождения) №У-центра в алмазе. Велось наблюдение флуоресценции отдельного центра.
Значительно меньше работ, авторы которых рассматривают ё-уровневые системы непосредственно как кудиты. Так, например, в работе [15] на трех уровнях дейтерия в жидком кристалле методом яМр демонстрируется работа однокутрит-ных элементарных логических операторов (вентилей). В работе [16] эксперимент выполнен на молекулах СН^С^ растворенных в жидком кристалле. Три уровня триплетного состояния группы СН2 образуют кутрит, а ядро F - кубит. Реализован алгоритм проверки четности. Наконец, в работе [17] методами двойного электронно-ядерного магнитного резонанса моделируется запутывание состояний ядра с электронными состояниями 5 = 3/2 фуллерена.
Такое соотношение работ обусловлено, в первую очередь, тем, что теория квантовых вычислений на кудитах разработана недостаточно.
В ряде работ [4, 18] доказана возможность представления произвольного унитарного оператора с помощью одно- и двухкудитных универсальных вентилей, предложены несколько вариантов таких вентилей [5, 19-21] и приемов таких представлений [22, 23]. Предложена квантовая сеть для квантового преобразования Фурье (КПФ) на ку-дитах [24]. Однако только в единичных работах произведен детальный разбор схем реализации вентилей. В частности, обсуждаются пути реализации двухкутритных вентилей на двух ионах [25, 26] или атомах [21] в ловушках с помощью лазерных импульсов, а в работах [27, 28] - вентиля контролируемого сдвига фазы также на двух атомах при больших d.
Не получены конкретные схемы для реализации основного однокудитного вентиля КПФ, являющегося обобщением однокубитного вентиля Адамара. Он играет ключевую роль во многих квантовых алгоритмах, поскольку необходим для реализации многокудитного КПФ [24], а также основного двухкудитного вентиля, получившего название "SUM gate" [19, 20] или "XOR gate" [21].
КПФ осуществляется действием на d-мерный вектор состояния матрицей Уолша-Адамара [1, 29]:
{0}rh s = exp(-i0ñs/2) = = cos (0/2)c - i sin (0/2)[ñXcX + ñYcY + ñZcZ],
QFT" = Td
1 1 1 ... 1
1 W 2 W d - ... W
1 2 W 4 W 2 (d - ... W
rJd-1)2 W y
(1)
/ \
0 1
v10;
/ Л
1 0
v0-1;
/ Л
0 - i
i0
/ Л
1 0
V 0 1 у
(2)
, d-1 2( d-1) 1 W W
í 2n i , W = exP I T •
Поскольку неясно, как получить оператор с такой матрицей непосредственно воздействием внешних полей, то необходим обходной путь для его экспериментальной реализации. Одним из таких возможных путей для систем с неэквидистантными уровнями является представление матрицы (1) с помощью последовательностей селективных импульсов радиочастотного (РЧ) магнитного поля в ЯМР или лазерных импульсов в оптике. Действие каждого из таких импульсов можно представить матрицей вращения двух состояний системы, разница энергий которых совпадает с частотой импульса [7, 8, 10, 13]:
где 0 - угол поворота, верхний индекс r - s означает селективный импульс на переходе r -—- s, нижний индекс обозначает ось вращения, которая задается направляющими косинусами ñX, ñY, ñZ; cX, cY, cZ и c¡ - матрицы Паули. Остальные состояния системы в это время не меняются. В ряде работ [1, 5, 21, 25, 27] матрицу селективного вращения записывают в виде произведения трех матриц (2), как показано далее в формуле (5). Оператору (5), записанному в виде (2), соответствует 0 = 2у, ñX = cos ф, ñY = -sin ф, ñZ = 0. К настоящему времени найдена последовательность лазерных импульсов для реализации КПФ на кутритах (d = 3) [21] и последовательности РЧ импульсов для d = 4, 6 и 8 [30].
В предлагаемой работе получаются последовательности операторов селективных поворотов для представления матрицы QFTd (1) на многоуровневых системах с ранее не рассматриваемыми значениями d = 5, 7, 9 и 10, а также со значениями d = 3 и 6. Для двух последних значений нам удалось найти более короткие последовательности, чем в предыдущих работах [21, 30].
В следующем разделе рассматривается представление матриц QFTd в тех случаях, когда число уровней d является простым: d = 3, 5 и 7. При этом применяется предложенная в работе [27] общая процедура для разложения произвольной унитарной матрицы размером d х d. Далее для матриц QFTd с факторизуемыми числами d = 6, 9 и 10, допускающими запись в виде d = (211 + 1)(2/2 + 1), будет применена другая методика [30], основанная на представлении виртуальных спинов Д, /2 [7, 8].
ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ ДЛЯ РЕАЛИЗАЦИИ КПФ НА СИСТЕМАХ С 3, 5 И 7 УРОВНЯМИ
Итак, чтобы представить матрицу (1) в виде последовательности операторов селективных поворотов, применим к ней общую процедуру разложения, описанную в работе [27]. Суть процеду-
Сх =
cz =
Таблица 1. Значения параметров в последовательно- вая Vd d- 1 (Vd 1...V2 Vd 2...V3 2.Vd d-2, Vd- 1 d-2,
сти операторов вращения П;- {9j }n * для реализации КПФ на 3-уровневой квантовой системе
j n 9j, рад r-s
1 Y 7п/2 2-3
2 Z п 1-2
3 Y 2arctg(V2) 1-2
4 Y п/2 2-3
V* ё - 1),
5 = ё, (ё- 1)...(к + 1), к = 1, 2...(ё- 1).
Тем самым, применив ё(ё - 1)/2 раз оператор (5), мы приводим матрицу к треугольному виду, который оказывается диагональным, вследствие свойства унитарности исходной матрицы (3). Если теперь мы умножим обе части уравнения (4) на обратную последовательность операторов, то получим следующее представление исходной матрицы:
ры в следующем. Допустим, нам надо диагонали-зировать унитарную матрицу V размером ё х ё:
V =
П и
D.
V =
v1 1 v1 2 v2, 1 v2 2
Vd -1, 1 Vd -1, 2 •
Vd, 1 V
d, 2
v1, V
d-1
2, d - 1
v1, V
2, d
Vd -1, d -1 Vd -1, d
V
d, d -1
V
(3)
d, d /
D = П UV.
(4)
U = Ur - *^,фг) =
/ л
cos(Yi) -ie 'sin(Yi)
-i e гф sin (Yi) cos (Yi)
= {-фг} Г * { 2 Y' }X- * {ф,. }Г- *,
(5)
где значения углов уг и фг определяются исходя из полученной на предыдущем этапе матрицы V - 1 (V = игУг - 1, У0 = V) и подбираются таким образом, чтобы в результирующей матрице Vi выбранный матричный элемент (У5, к)г обращался в нуль:
tg (Y,) =
(V*, k),.
Диагональную матрицу В можно представить в виде последовательности селективных 2-им-пульсов:
D = П{0 j} -.
(6)
Для этого будем последовательно действовать на матрицу (3) операторами селективных поворотов
и:
После чего мы получим с учетом (5) представление матрицы (3) через операторы селективных поворотов
V =
fd(d -1)/2
П {-ф'Ы2Yi}x{ф,}z П{°;Ь. (7)
v i = 1
Каждый оператор иг может быть представлен в виде произведения трех селективных импульсов на переходе г -—- 5 между соседними уровнями (5 - г = 1) (действие операторов осуществляется справа налево):
Обратимся теперь к матрице QFTё (1). В силу ее особенностей последовательность (7) удалось усовершенствовать. Во-первых, все элементы
первого ст ол бца равн ы 1 /л/ё, поэтому для их последовательного устранения оператор (5) преоб-ретает более простую форму
U-*(Yi, п/2) = {-п/2}Z-*{2Yi}X-*{п/2}Z-*
= {-2y, };
(8)
Во-вторых, после устранения первого столбца (и одновременно первой строки) по схеме (4) вторая строка оказалась
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.