ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА И МЕХАНИКА
Том 77. Вып. 2, 2013
УДК 539.3
© 2013 г. И. Л. Антонов
ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРИИ МАРКОВСКИХ ЦЕПЕЙ В ЗАДАЧЕ О ДИНАМИЧЕСКОЙ УСТОЙЧИВОСТИ УПРУГОГО СТЕРЖНЯ
Рассматривается задача об устойчивости вертикального положения шар-нирно опертого на концах упругого стержня, нагруженного в верхнем конце зависящей от времени продольной силой, содержащей случайную составляющую. При моделировании случайной составляющей используется однородная марковская цепь. Получено неравенство, зависящее от характеристик случайной силы и коэффициента демпфирования стержня, в зависимости от выполнении которого, указанное положение равновесия будет с вероятностью единица, либо притягивающим, либо неустойчивым.
Постановка задачи восходит к статье Н.М. Беляева [1]: стержень моделируется упругим отрезком, оба конца стержня лежат на одной вертикали, нижний конец остается неподвижным, а верхний может смещаться; к верхнему концу приложена вертикальная сила Р(0. Положение каждой точки на стержне задается параметром я (0 < я < I) — длиной дуги стержня от нижней точки до указанной, х(я, 0 — горизонтальное отклонение этой точки.
Предполагается, что в процессе малых колебаний в окрестности вертикального положения равновесия длина стержня не меняется, влиянием силы тяжести и вертикальной составляющей скоростей точек стержня можно пренебречь. В этом случае уравнение возмущенного движения и граничные условия для него имеют вид [3, 4] (частные производные по я и по t обозначены соответствующими нижними индексами)
| хи + 2 + Е1Х8888 + Р (г) = 0 (1)
х(0, г) = х(I,, г) = 0, х88(0, г) = х88(I, г) = 0 (2)
ц — масса, отнесенная к единице длины, 8 — коэффициент демпфирования, Е1 — из-гибная жесткость стержня.
Соотношения (2) позволяют искать решение уравнения (1) в форме
*т\
т = 1
х(8, г) = ^ йт(г) 8Ш т8) (3)
Будем считать, что
Р( г) = Р0 + 8 0 £( г, ю) (4)
Р0 — постоянная составляющая продольной силы, ш) — случайный процесс, т.е. £(-, ш) — фиксированная функция времени, •) — случайная величина, г0 — масштабный коэффициент.
5 Прикладная математика и механика, № 2
XI
В этом случае из тождества
^ Цaт + 2jaSaáт + EJ^mi) am - P(t, ®)(y) am Sin(^y s) = 0
m = 1
получим систему уравнений для определения коэффициентов am aт + 2Saт + (У2т - ¿mUt, ®))im = 0, т = 1, 2, ...
(5)
2 1
Vm = -Ц
W mп - P
mn l
= Цо (mn^2
Поскольку рассматривается движение стержня в малой окрестности вертикального поло-
2
жения, естественно считать, что vm > 0, при всех значениях т. Как видно, уравнения (5) для всех т имеют одинаковую структуру, в связи с чем этот индекс в рассуждениях, проводимых ниже, опускается. Проведя стандартную замену q = ае8', введя величины
X = Vv2 - S2, t1 = X t, sq = sX
и обозначая производные по безразмерному времени штрихами, заменим получившееся уравнение
q" + (1 - 8?£,(^X-1, ®))q = 0
системой
q' = u, U = -(1 - sq£,(t1X-1, ®))q Определим переменные p и ф соотношениями 1 2 2 q
р = -(q + u ), tgф = -
2u Новые переменные удовлетворяют уравнениям р' = sqр£,(t1X-1, ®)8т2ф, ф' = 1 - sq£,(t1X-1, ®)sin2ф
(6)
Будем считать, что ю) — кусочно-постоянные на интервалах кт < ? < (к + 1)т функции времени, непрерывные справа (здесь и всюду далее, если не оговорено иное, к = 0, 1, 2, ...), т — параметр, выбираемый из соображений соответствия используемой модели случайного процесса реальному воздействию, ^(кт, ■) — последовательность случайных величин, представляющая собой однородную марковскую цепь (|^(кт, ю)| < 1 при всех к и ю), плотность вероятности перехода которой за один шаг из состояния в состояние ^ — р(^0, всюду непрерывна и положительна. Из последнего свойства следует, что для этой цепи существует стационарное распределение с плотностью р(^) [5], являющейся решением уравнения
p(S) = JP(^0)p(^0, S)d^0
со
Не уменьшая общности рассуждений, можно положить
(£) ^ = 0 (8)
Сравнивая предлагаемую модель с традиционно используемыми винеровским "белым" шумом или "окрашенным" шумом [4, 6], можно отметить следующее: плотность распределения вероятности в традиционных моделях является нормальной (гауссов-ской), т.е. вероятность сколь угодно больших значений возмущения отлична от нуля, а корреляционная функция имеет вполне определенную структуру, в то время как любое реальное воздействие всегда ограничено по величине и его одномерная плотность, совсем не обязательно, должна быть похожа на нормальную; при задании марковской цепи можно заранее ограничить множество возможных значений возмущения величиной е0, а одномерной плотности р(^) и корреляционной функции, по крайней мере на некотором интервале, можно придать практически любой вид за счет выбора р(^0, и т [7].
Если максимальное значение приложенной к стержню силы меньше критического по Эйлеру, то можно указать область значений б0, для которых выполняется неравенство еч < 1. В этом случае (1 — е^(^Ат1, ю)8т2ф) > 0, и в первом уравнении системы (6) можно использовать в качестве независимой переменной угол ф:
й- = е,ю)^п2ф(1 - е,£(ю)^ф) 1
Получившееся уравнение преобразуется к виду
да
й 1пр = ^(еД 1, ю))й81п2у'ф (9)
1 = 1
На каждом из интервалов кт < t < (k + 1)т функция ю) постоянна и принимает значения ..., поэтому на каждом из них уравнение (9) можно проинтегриро-
вать. В результате имеем равенства
1пРк + 1 - 1пРк = ^ь Фк); Рк = Р(кт) (10)
да
я&ь Фк) = ^Фк +1- ^Фк); = кт), Фк = ф(кт) (11)
1=1
Проинтегрировав методом Пикара [8] на тех же интервалах второе уравнение системы (6), получим
/е ч л &а %к Л §1п2(фк + Хт) - фк^ г, ....
Фк +1 (^к,Фк) = Фк + Хт - ^Хт---2Г- ^ + °^г) (12)
Поскольку Е^к < е9 < 1, то
да
е,
^,Фк)< £ (е,) = ц
1= 1 - е,
Значит, ряд S(l¡k, фк) абсолютно сходится, поэтому, при учете соотношения (12), равенство (11) задает функцию, определенную на множестве состояний последовательности фк).
При суммировании выражений (10) по к от 0 до п получим
РоеХРI X БФк)
(13)
чк = 0
Последовательность (^к, фк) по построению является марковской цепью. Из компактности фазового пространства этой цепи и свойств решений второго уравнения системы (6) и последовательности вытекает существование такого п, что плотность вероятности перехода за п шагов для любых двух состояний (^0, ф0) и ф) — p"(^0, ф0, ф) положительна. Отсюда следует [5], что для этой марковской цепи существует стационарное распределение.
Таким образом, показатель экспоненты в правой части равенства (13) представляет собой сумму значений функции, определенной на состояниях стационарной марковской цепи. В этой ситуации выполняется усиленный закон больших чисел [5], т.е. с вероятностью единица справедливо соотношение (Е[у(ю)] — математическое ожидание случайной величины у(ю))
п
п X Б(^Фк) ^ Е[Б(ш)]
к = 0
Следовательно,
Рп = РоеХР
п
V
Е[ Б(ш) ] -
I п V
■ Е[Б(ш) ] - 1 X Б(^к,Фк)
п
к = 0
= Роехр (п [ Е [ Б(ш) - /(п, ш) ])
I 1 п
/(п, ш) = Е[Б(ш)] - 1 X Б(^к,Фк)
п
0
к = 0
По определению
Е [ Б (ш)] = ЦБ & ф)р ф) ^ йф
где р(^, ф) — плотность стационарного распределения случайной последовательности (^(кт, ю), ф(кт, ю)), которая является [5] решением уравнения
РФ) = JJp(^0, Ф0)РФ0, ^ Ф)^0йФ0
(14)
p(^0, ф0, ф) — плотность вероятности перехода за один шаг из состояния (^0, ф0) в состояние ф).
В рассматриваемой задаче
РФ0. Ф) =
= Р($0, ^(ф - Vф0 + Хт - (хт - ™ 2( ф0 + "2Т ) - ™ 2 Ф 0) + О(в2)
(15)
p(^0, — плотность вероятности перехода последовательности ^(кт, ю) за один шаг из состояния в состояние а 8(ф — f(^0, ф0)) — 8 — функция Дирака.
Р
п
Поскольку при еч = 0 случайные величины ^(ю) и ф(ю) являются независимыми отношение 2п/Ат, вообще говоря, иррационально, и, кроме того, из второго уравнения системы (6) следует, что функция р(^, ф) должна быть п — периодической по ф, решение уравнения (13) следует искать в виде
p (£'ф) = —p(&) + &qP2 (£) COs2 Ф + ••• (16)
где р(^) — решение уравнения (8), а функция р2(^) подлежит определению. Подставив выражения (15) и (16) в уравнение (14), интегрируя правую часть с учетом свойств 8-функции и приравнивая затем коэффициенты при одинаковых степенях е9 справа и слева, получим
P2(£) = j^P^)P(£,'£)
4 я
т.е.
P (^'Ф) = + S? 4^COs2 Ф fcoP (£0 )P(^0'^) d£ 0
+ ...
Чтобы вычислить j"j*£ ф)р(^, ф)^^ф, используем представление sin2-tyk в виде линейной комбинации косинусов углов кратных фк [9] и учтем, принимая во внимание равенство (12), что
cos2ф^- cos2ф^ + 1 = (1 - cos2Хт)cos2ф^ + sin2Хтsin2фk-
- б?^^Хт(cos2Хтsin2ф^ + sin2Хтcos2фk) +
s £ 2
+ -у-(1 - cos2Хт - cos4^k + Хт) + cos(4ф^ + 2Хт)) + O(sq)
Так
как по предположению ^[^(ю)] = j*£, = 0, в результате вычислений получим
2
Е[£(ю)] = (1 - cos2Хт)а2 + O(s3) 8
где
2
а
= jVP(£)d£ - jj£0£P(£0)P(£0'£)d£0d£ = 1-Е[(£(т,ш) - £(0'Ш))2]> 0
(следствие стационарности марковской цепи ^(кт, ю)). Таким образом, р„ = роехр(п(Е[Б(ю)] -/(л, ю))) ^ да при п ^да Вернемся к исходным переменным
2 р = , + (, )2 = —1— еш(\2 а2 + 2 Ъаа + а2) V - 5
у2а2 + 25аа + а2 = 2^2 - 52)р( 1)е~281 В моменты t = пт (п = 0, 1, 2, ...) имеем
V2а2 + 25 ааа + а2 = 2^2 - 52 )р0ехр (п( Е [ Б(ю)] - 2 5т - /(л, ю)))
Так как f (n, ю)-> 0 с вероятностью единица, то, если
n ^ да
а) (^[¿(ю)] — 28т) > 0, то значение положительно определенной квадратичной фор-
. 2
мы (v2a2 + 28aa + a ) для почти всех ю при n > п(ю) будет монотонно расти, т.е. фазовая точка (а, a) с вероятностью единица будет уходить в бесконечность;
б) (^[¿(ю)] — 28т) < 0, то при n > п(ю), для почти всех ю значение формы (v2a2 +
. . 2 .
+ 28aa + a ) будет монотонно стремиться к нулю, т.е. фазовая точка (а, а ) с вероятностью единица будет неограниченно приближаться к началу координат.
Пусть am и bm — коэффициенты в формуле (3), определяющие два разных решения уравнения (1). Определим метрику в соответствующем фазовом пространстве формулой
{да Л 1/2
X [vm(am - bm)2 + 2S(am - bm)(¿Im - Ьm) + (¿Im + Ьm)2] I
m = 1 J
В рамках этой метрики можно говорить об устойчивости по Ляпунову вертикального положения стержня, нагруженного продольной силой, зависящей от времени (динамической устойчивости). Если хотя бы для одного m выполняется условие а,
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.