Программный реализм в физике и основания математики*
Часть 1: Классическая наука
А.В. РОДИН
Почему с помощью математических теорий удается адекватно описывать физическую реальность? Как рационально объяснить "непостижимую эффективность" математики в физике и других естественных науках? В первой части данной работы предлагается ответ на этот вопрос в контексте классической физики и математики. Вслед за Гильбертом мы различаем реальную и идеальную семантику синтаксических операций в математике и показываем, каким образом избыточность математического синтаксиса позволяет дополнить реальную семантику идеальной. Далее на основании анализа астрономии Кеплера мы вводим понятие реалистической физической теории и показываем, что "непостижимая эффективность математики" в такого рода теориях состоит в возможности (не гарантированной априори, но часто реализуемой в эксперименте) частичной замены стандартной идеальной семантики математического синтаксиса подходящей реальной семантикой.
Why mathematics can adequately describe the physical reality? How one can rationally explain the "unreasonable effectiveness" of mathematics in physics and other natural sciences? In the first part of this work we propose an answer to this question within the context of Classical physics and mathematics. Following Hilbert we distinguish between the real and the ideal semantics of syntactic operations in mathematics and show how the excessiveness of mathematical syntax allows one to complement the real semantics with the ideal one. Then on the basis of our analysis of Kepler's astronomy we introduce the notion of realistic physical theory and show that the "unreasonable effectiveness of mathematics" in such theories amounts to the possibility (not granted a priori but often realized in experiments) to replace a part of the standard ideal semantics of mathematical syntax with an appropriate real semantics.
КЛЮЧЕВЫЕ СЛОВА: непостижимая эффективность математики, реалистическая теория, спасение явлений, реальная и идеальная семантика.
KEY WORDS: unreasonable effectiveness of mathematics, realistic theory, saving phenomena, real and ideal semantics.
* Работа поддержана исследовательским грантом Российского фонда фундаментальных исследований (проект № 13-06-00515). The article is written with the support from RFBR, project No. 13-06-00515.
© Родин А.В., 2015 г.
Проблема Вигнера в исторической перспективе
До середины XIX в. все основные математические понятия - прежде всего, понятие числа и понятие геометрической величины - имели очевидные и однозначные физические интерпретации и всегда мыслились вместе с этими интерпретациями. Это позволяло, в частности, считать геометрию наукой о физическом пространстве. Именно такая "естественная" физическая интерпретация основных математических понятий стала основой математической физики Галилея и Ньютона. Ситуация существенно изменилась, когда в математическом сообществе получила признание неевклидова геометрия и идея о том, что наряду с евклидовым пространством существует (в абстрактном математическом смысле слова) целый класс неевклидовых пространств1.
В 1899 г. Гильберт опубликовал "Основания геометрии" [Гильберт 1899] (рус. пер. [Гильберт 1923]). В этой фундаментальной работе он продемонстрировал новый аксиоматический метод, который с одинаковым успехом может быть применен как для евклидовой, так и для неевклидовой геометрии, а также для любых других математических теорий. С точки зрения Гильберта, аксиомы данной теории это не фундаментальные истины, принимаемые без доказательства, а логические схемы высказываний, которые при одних семантических интерпретациях могут порождать истинные высказывания, а при других семантических интерпретациях - ложные. Хотя в математике ХХ столетия можно найти примеры теорий, которые плохо укладываются в рамки такого подхода или для которых этот подход является малорелевантным [Родин 2014], Гильбертово понятие аксиоматической теории можно тем не менее рассматривать в качестве стандартного понятия теории для математики ХХ в. [Хинтикка 2011].
Пытаясь критически переосмыслить взгляд Канта на математику в контексте последних достижений и новейших тенденций развития этой науки, Кассирер в 1907 г. следующим образом формулирует свою позицию (которую он продолжает считать кантианской): "Математические и логические понятия не должны... служить для построения метафизических "мысленных миров"; их функция и их применение должны быть ограничены пределами эмпирических наук" [Кассирер 1907, 43-44].
Аксиоматическая математика Гильберта очевидным образом не может удовлетворять этому эпистемологическому требованию. Эту математику можно описать скорее известными словами Кантора о том, что "сущность математики - в ее свободе" [Кантор 1985, 80], имея при этом в виду свободу аксиоматического конструирования математических теорий, т.е. свободу построения математических мысленных миров без оглядки на эмпирический опыт. Проблема оснований математики в этом случае оказывается никак не связанной с проблемой оснований физики, а эффективность математики в физике и других естественных науках становится, по знаменитому выражению Вигнера [Вигнер 1960], "непостижимой".
Цель настоящей статьи состоит в том, чтобы показать, каким образом проблема "непостижимой эффективности" математики (которую я в дальнейшем для краткости буду называть проблемой Вигнера) может быть решена по отношению к современной физике и математике. На мой взгляд, решение этой проблемы необходимо не только для того, чтобы понять, что происходит в науке, но и для того, чтобы помочь использовать математику в естественных науках более эффективно. В первой части статьи я буду говорить только о классической физике и математике, а во второй части буду обсуждать физику и математику ХХ в. и укажу также на некоторые перспективные направления развития этих наук в XXI в. Мой основной тезис состоит в том, что классический способ построения математизированных научных теорий успешно использованный, в частности, в классической механике Ньютона, может быть успешно использован и в современных физических теориях, а популяризированное Гильбертом, Бором и другими классиками мнение о том, что в начале ХХ в. и физика, и математика совершенно изменили свою природу, является по большей части необоснованным. Я постараюсь показать, в каком именно отношении классическое решение проблемы Вигнера остается релевантным современной науке. Но прежде всего нам нужно разобраться, в чем именно состоит это классическое решение.
Почему эффективна классическая математика?
Говоря о классической математике, я буду в дальнейшем иметь в виду весь объем математических знаний, полученных до открытия неевклидовых геометрий, а говоря о классической физике, я буду иметь в виду весь объем физических знаний полученных до создания фундаментальных физических теорий ХХ в. - теории относительности и квантовой теории. Мое объяснение эффективности классической математики состоит из двух частей. Сначала я рассмотрю вопрос об эффективности классической математики в материальной практике (в самом широком смысле слова), а уже затем буду говорить о роли математики в физических теориях. Рассмотрим утверждение "Всякая элементарная арифметическая операция и всякая евклидова геометрическая конструкция является осуществимой", которое я буду называть принципом конструктивной идеализации (КИ). Чтобы прояснить смысл этого утверждения, рассмотрим какую-нибудь элементарную арифметическую операцию вроде 5+7=12. Арифметической операцией данного типа я буду считать любую материальную операцию, которая состоит в том, что из группы (множества) 5 предметов и группы 7 предметов собирается новая группа из 12 предметов, а формулу 5+7=12 буду рассматривать как символическое обозначение этого типа операций. Таким образом, в понятии арифметической операции можно выделить два аспекта: с одной стороны, можно говорить о сложении 5+7=12 как об операции с символами (5, +, 7, =, 1, 2) и, с другой стороны, можно иметь в виду материальные операции (манипуляции с физическими объектами), которые эти символы обозначают в конкретных приложениях и которые все подпадают под одну и ту же схему 5+7=12. Эти два аспекта арифметической операции можно назвать ее семантикой и ее синтаксисом. Еще раз подчеркну, что под семантикой операции я в данном случае имею в виду не воображаемые манипуляции с числами, а физические операции с материальными предметами. Говоря о физических операциях, я предполагаю, что всякая такая операция требует (а) участия человеческого агента (субъекта) и (б) наличия физического объекта (или нескольких таких объектов), с которыми данный агент производит некоторые действия. Вслед за Гильбертом [Гильберт 1927] я буду называть такую семантику арифметических операций реальной.
Различение синтаксиса и семантики арифметической операции позволяет уточнить понятие осуществимости, использованное в (КИ), а именно различить синтаксическую и семантическую осуществимость данной операции. Под синтаксической осуществимостью арифметической операции я буду иметь в виду осуществимость соответствующей символической операции (т.е. операции с символами); понятие семантической осуществимости будет уточнено ниже.
Простейший вариант арифметического синтаксиса (если оставить в стороне счетные камешки) использует единственный символ вроде | и допускает многократное повторение этого символа, а также возможность отделять одну группу таких символов от другой. Таким образом легко представить числа 5 (|||||) и 7 (|||||||) из нашего примера. Синтаксис операции сложения состоит в этом случае в том, что две эти записи объединяются в новую запись ||||||||||||, которая обозначает число 12. Очевидно, что этот примитивный синтаксис, который по своему устройству почти не отличается от аналогичной самой примитивной системы счета на камешках, может иметь только очень ограниченную область применения. Это связано как с особенностями человеческого когнитивного аппарата, который не позволяет при такой системе нумерации легко различить числа врод
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.