ОПТИКА И СПЕКТРОСКОПИЯ, 2015, том 118, № 1, с. 3-7
СТЕКТРОСКОПИЯ АТОМОВ И МОЛЕКУЛ
УДК 539.142
РАДИАЛЬНЫЕ МАТРИЧНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ И АППАРАТ УГЛОВОГО МОМЕНТА
© 2015 г. Д. А. Варшалович, А. В. Карпова
Физико-технический институт им. А.Ф. Иоффе РАН, 194021 Санкт-Петербург, Россия Санкт-Петербургский государственный политехнический университет, 195251 Санкт-Петербург, Россия
E-mail: annakarpova1989@gmail.com Поступила в редакцию 27.01.2014 г.
Для водородных волновых функций показано, что радиальные матричные элементы типа ^n\\rk\n\ ') можно выразить через коэффициенты Клебша—Гордана, характеризующие связь угловых моментов l и \', но в нефизической области их аргументов.
DOI: 10.7868/S0030403415010249
Рассмотрим матричный элемент, представляющий собой интеграл
ад
(п1\гк\пГ) = \гкЯп1Яп1г 2йг, (1)
где ЯпГ и Яп1 — радиальные функции атома водорода, выражающиеся через обобщенные полиномы Лагерра ^ Щ [1]:
Rni - 2.
n
F-Щ-r/n (2r) Jfä (2r \[{n+1)!]3 ы n+i[~n
(2)
где
fk _ Jll' -
п, к +10) в нуль не обращается. (Доказательство соотношения (3) приведено в Приложении.)
Аналогичное соотношение выполняется и для матричных элементов отрицательных степеней г:
(nl|r k\nl') =
2n
n\~k f-k(injl'n,k - 2 0)
2) 11 72Г+1 '
(4)
где
f -k -Jir —
1/2
Матричные элементы (1) вещественны и не зависят от перемены местами начального и конечного состояний.
Общее выражение для матричных элементов дано в Приложении, где показано, что эти матричные элементы можно выразить через коэффициенты Клебша—Гордана, характеризующие связь угловых моментов I и I', но в нефизической области их аргументов.
Зависимость матричных элементов (1) от п, I, I' и к может быть представлена в следующем виде:
км(3)
"(к +1 -А)! (к +1 + А)! (/ + /'+ к + 2)!п1/2
(к +1)! (к +1)! (( + /'- к -1)!
А = /-/'> 0, {1Н\Гп,к + 10) = С /п,к+10 — выражение для коэффициентов Клебша—Гордана, но в нефизической области своих аргументов, когда не выполняется так называемое "условие треугольника" и "проекции" моментов I и I' больше самих моментов. Сам коэффициент Клебша—Гордана при этом обращается в нуль, но произведение
(к - 2)! (к - 2)! (/ + /'- к + 2)! (к - 2 -А)! (к - 2 + А)! (( + /'+ к -1)!
А = /-/'> 0.
Такого рода связь между диагональными элементами (п/\ гк\ п/^1 и коэффициентами Клебша—
Гордана была отмечена ранее в работе [2]. В настоящей работе получено более общее соотношение для матричных элементов, недиагональных по I.
Заметим, что коэффициент (¡п\Гп,(к + 1) 0) при
(к + 1) < 0 переходит в (-1)(,п\/'п,(-к - 2) 0 [3, 4],
а факторы /кг в /ак, если учесть, что (—а)!/(—Ь)! = = (-1)Ь - а(Ь + 1)!/(а + 1)!.
Матричный элемент (п/\гк\п/'^ при четном значении А положителен, а при нечетном значении А его знак зависит от того, положительна или отрицательна степень г. Коэффициенты Клебша— Гордана вещественны при четных значениях А и мнимы при нечетных.
В таблице приведены выражения матричных элементов (п/\гк\п/и их связь с коэффициентами Клебша—Гордана для ряда значений А и к.
Приведем также выражения, связывающие матричные элементы с положительными и отри-
о
к
1
<-ч + 1
1 +
к к
4—( 4—(
+ 1 +
<"Ч 5; к
,—^ ,—^
1 + 1 <-ч +
<-ч <-ч <-ч <-ч
оо к чо сл к
к
+
К оо
К
I
"к
к
X
1
т 1 сч 1
— — —
<-ч '—1
+ 1 +
<-ч <-ч <-ч
4—( 4—( 4—(
<-ч к
I
—V ,-—)
<-ч 1 + т 1 <-ч +
____ ----
сч <-ч <-ч сч
4—(
<-ч
к £
->
сч 1 + 1 сч + 1 +
____
сч сч сч сч сч <-ч
4—(
К |ТП [ТО
? оо
к
у—^ —V
1 т +
<-ч <-ч
4—( ^_(
оо
К
о к
"к
к
о
к т
чо
; I
о
^ <2 ? к
о
с ^
К сч
к
; I
1 +
1 <"Ч т +
__!
+ +
чо К О т
,—^ ,—^ ^—^
1 <-ч + СЧ 1 + т 1 +
---- ---- ----
<"Ч сч <"Ч сч <-ч сч
4—( ч^ 4—( ч^ 4—(
оо т чо 1П
чо
г к
К X
4
сч
о
цательными степенями. Для диагональных эле- аналогичен тому, что используется в [1] для расче-ментов с А = 0:
(5)
{п/\АпI) _ М2к+3 (2/ + к + 2)!
(п/\г-к+3)\п1) " \2) (2/ - к -1)!' В частности,
(п/\г"Ч = п 1/ +1)
(п/\ г -2\п/) I 2/'
^ ■ "С + ) +1),
¡0) - п1'«'+')(/ - 2)(/+2)(/+2), Щ - п <' -+ "<'+2)(/ - 2)(/+2)(/+3)
Для недиагональных элементов с А = 1:
(п/\гк\п/ -1 _ -(п)2к+3 (2/ + к +1)! (п/\г-(к+3)\п/ -1 _ (2) (( - к - 2)!. В частности,
К°\п/ -1 =-2п31 (/ _ 1)(/ (п/\г~3\п/ - 1) I 2/1
та (п/ - 1\гк\п!). В интеграле
да
I Кп/'Кп/г аг ж Iе х ьп+/ (х)ьп+/' (х)йх,
(х = 2г / п),
заменяем один из полиномов Лагерра его выражением через производящую функцию
т2/+1, ч (п + /) ! Х -21 -1/ й
1п+/ (х) = , е Х I —
\ах,
п-/-1
-х п+1
е х .
(п - / -1)!
После (п - / - 1)-кратного интегрирования по частям получим интеграл вида
Г -х п+/( й У к+1-(-/ ')т 2/ +1, ч ,
I е х (() х 'Ьп+Г(х)йх,
0
в котором заменяем полином Лагерра его явным 3\ выражением согласно формуле
1(х)=(-1)2/,+1 [(п+/') !]2 х
«-/'-1
х
(-х)
(6)
=0 г!(21'+1 + г)!(п - / -1 - г))
г=0
после чего приходим к сумме интегралов вида
ах. (7)
-ххп+/ (()-1 хг+к+Н'-/Х
0
йх
= - 3 п5 ( -1)/(/ +1)(/ -1)(/ +1),
(п/\г \п/ -1 2 v ' v 2)\ 2.'
{п/\г2\п/ -11 = {п/\г~5\л/ -11 =
4п'« - "С+')(/ - §(' -2)(/+2)(/+2).
ПРИЛОЖЕНИЕ
Докажем формулу (3). Используемый нами метод вычисления матричного элемента (п^г1"\п/
Эти интегралы будут отличны от нуля при г + к +1 - (/ - /') > п - / -1 или г > п - / -1 - (к +1). Дифференцирование по х дает следующий результат:
й У--1 г+к+1-(-Г) _ (г + к + 1 - (/ - Г)) ! г+к+1-п+Г+1
(а)
\йх!
ах (г + к +1 - п + /' +1)!
Таким образом, приходим к простому интегра-
лу вида
Г-х п+/ г+к+1-п+/ +1
е х х
йх = ( + /'+ к + 2 + г)!.
В результате искомый матричный элемент имеет вид:
0
ад
0
мАпъ = (-l)«+/+2/'+1 -1, ( - /'-1)! +/,)!
А'(и - / -1)! (п + /)! ( л\г ( , 1 , 1 п 1
х
х n-l'-1 (-1)г (г + к +1 - (/ - /'))!(( + Г + к + 2 + г)!
=п_г_Нк1)г!(2/' +1 + г)!(п - Г -1 - г)!(г + к +1 - п + Г +1)!
Переобозначив переменную суммирования г ^ г - (п -Г'-1 - (к + 1)) получим
к+1 I
г=0
(При вычислении интеграла (7) полагалось, что г + к + 1 - (Г -Г') >-1, иначе возникает вторая сумма. При к < -1 и I -1' > к + 2 только вторая сумма и дает вклад в интеграл. В таком случае выполняется формула (4)).
Матричные элементы и коэффициенты Клеб-ша—Гордана можно выразить через обобщенные
гипергеометрические функции. Для (п1\гк\п1 имеем
МЛ,,.).нУ-м (п)к+'(-'-0'( + '■)',
V ' п2\2! )(п -Г -1)! (п + /¡!
_(-1)г+к+1 (п +1 + г¡!(п -Г -1 + г¡!_
=0г!(к +1 - г¡!(п + Г + г - (к +1))!(п - Г -1 + г - (к +1))!'
1п1\Ап1) = (-1)^+1J2(п)к+1 ( -Г1)!(п +1')!:
\ / 1 ; пЛ2) Ч(п -Г -1)! (п +Г)!
( +Г'- к -1)!(п -Г '- к - 2)!(к +1)) ' (п +Г)!(п -Г -1)! п -Г, п +Г +1, -к -1
3-*2
п -Г'- к, п -Г'- к -1
Для коэффициентов Клебша—Гордана получим выражение, используя формулу Вигнера (например, [3]):
(!п\Г п, к +10 = V 21 +1
[(( + п)!(( -п)!
■к+1+Г-Г
I
(к +1 - (( - Г'))!(к +1 + (( - Г'))! (( + Г' - к -1)! (к +1)! (к +1)! (( + Г' + к + 2)!
(-1)г+к+1 (Г + п - г + к +1)!(,' - п + г)!
1/2
((' + п)! (('-п)! ^ г! (к +1 + Г - Г - г)! (( + п - г)! ((' - п + г - к -1)!
Данное выражение содержит факториалы от целых отрицательных чисел, так как Г, Г' < п. Однако такие факториалы входят в числитель и знаменатель парами, и можно использовать следующее [4]:
В = Ь-а ЁЗ ^ (=2)1 = М^« (Ы!)
\Н)! № = 1)! (=Ь)! ( 1 (а = 1)!.
С помощью этого соотношения мы избавляемся от "плохих" факториалов:
(Гп\Г'п, к +10 = >/27+1 (-1)Т X '(к +1 - (( - Г'))!(к +1 + (( - Г')) ! (( + Г'- к -1)!'
(к +1)!
(к +1)! (( + Г'+ к + 2)!_
1/2
(п -Г~1)!(п +1)! .
1(п - Г -1)!(п + Г')!
х к+1-Г' (-1)г+к+1 (Г + п - г + к +1)!(п - Г'- г + к)! Х 1 г!(к +1 + Г - Г'- г)!(( + п - г)!(п - Г - г -1))
Переобозначим переменную суммирования г ^ к + 1 + Г - Г'- г, а затем выразим коэффициенты Клебша—Гордана через обобщенную гипергеометрическую функцию
Г-Г'
(Гп\Г'п, к + 1 0 = >/2Г+1 (-1) +1 X
(к +1 - (/ - Г'))!(к +1 + ((- Г'))! (( + Г' - к -1)! (к +1)! (к +1)! (( + Г' + к + 2)!
к+1+Г -Г'
X I
1/2
1(п - Г' -1)!(п + Г)!
г=0
\1(п - Г -1)!(п + Г')!
_(-1)г (Г + п + г)!(п - Г -1 + г)!_=
г!(к +1 + Г - Г - г)!((' + п + г - к -1)!(п - Г -1 + г - к -1)! =
х
i -i'
^л/2/Tl(-1)Т (-1)1 -l'
-l +k+1
(k +1 -((-1'))!(k +1 + ((-1'))! ((+1' -k -1)!"
(k +1)!
(k +1)! ((+1' + k + 2)!_
1/2
l(n -1'-1)!(n +1)!
'((- Г + k +1)!(n +1' - k -1)!(n -1 - k - 2)!'
J(n -1 -1)!(n +1')!
X 3F2
(n -1 -1)!(n +1')! fn -1, n +1' +1, -l +1' - k -1 n +1' - k, n -1 - k -1
11.
Преобразуем обобщенные гипергеометрические функции с помощью следующего соотношения, приведенного в [5]:
a, b, c
e, f
_ Г(е)Щ)Г^)
e — a, f — a, s Г(а)Г(5 + b)r(s + c)3 2 ^s + b, s + c s _ e + f — а — b — c, s Ф 0.
Используя это выражение, найдем, что
{nl\rk\nl') X Г+l' - k)Г(n -1'- k -1) Г(-k -1) X
X 3 F2
11 =
Г(n - 1)Г(n +1 - k)Г(-2k - 2) (n -1, n +1 +1, -k -1 чn -1' - k, n -1' - k -1 = Г(n +1' - k)Г(n -1' - k - 1)Г(2k + 3) = Г(n - 1)Г(n +1 - k)Г(k + 2) ' (l +1' - k, l - Г - k -1, -k -1
x 3F2
n + l - k, -2k - 2
11,
<ln\l'n, k +10 « Г(n + Г - k)Г(n -1 - k - 1)Г((-1' - k -1)
X 3F2
11 =
Г(n -1)Г(n +1 - k)r(-2k - 2) fn -1, n + Г +1, -l + Г - k -1 n +1' - k, n -1 - k -1 Г(n +1' - k)Г(n -1 - k - 1)Г(2k + 3) Г(n -1)Г(n +1 - k)Г(k + 2 -1 +1') f l +1' - k, l -1' - k -1, -k -1 n +1 - k, -2k - 2
x 3F2
Отсюда видно, что матричные элементы и коэффициенты Клебша—Гордана выражаются через одну и ту же обобщенную гипергеометрическую функцию. Разделив одно выражение на другое, можно найти искомое соотношение.
Работа выполнена за счет гранта Российского научного фонда № 14-12-00955.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Берестецкий В.Б., Лифшиц Е.М., Питаевский Л.П. Квантовая электродинамика, М.: Физматлит, 2002. С. 225.
2. Варшалович Д.А., Херсонский В.К. // Изв. АН СССР. Сер. физ. 1979. Т. 22. № 10. С. 2099.
3. Варшалович Д.А., Москалев А.Н., Херсонский В.К. Квантовая теория углового момента. Л.: Наука, 1975.
4. Бандзайтис А.А., Каросене А.В., Савукинас А.Ю. и др. // Докл. АН СССР. 1964. Т. 154. № 4. С. 812.
5. Люк Ю. Специальные математические функции и их аппроксимации. М.: Мир, 1980. С. 174.
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.