ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА И МЕХАНИКА
Том 77. Вып. 2, 2013
УДК 531.36 : 62-50
© 2013 г. Л. ^ Сиротин
СЕМЕЙСТВО ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ЭКСТРЕМАЛЕЙ В ЗАДАЧЕ ПЕРЕОРИЕНТАЦИИ СФЕРИЧЕСКИ СИММЕТРИЧНОГО ТЕЛА С МИНИМАЛЬНЫМИ ЭНЕРГОЗАТРАТАМИ
Исследуется задача оптимального управления переориентацией абсолютно твердого сферически симметричного тела. В качестве критерия эффективности маневра выбран интегрально-квадратичный функционал, характеризующий суммарные энергозатраты. Управлением служит главный момент приложенных внешних сил. Применение формализма принципа максимума Понтрягина приводит к анализу векторного нелинейного дифференциального уравнения третьего порядка, общее решение которого в настоящее время еще не известно. Показано, что это уравнение имеет частное решение, описываемое тригонометрическими функциями времени, по которому можно полностью восстановить явное решение для соответствующего экстремального вращения. Предложена аналогия со свободным вращением некоторого осесимметричного тела.
1. Формулировка задачи. Рассматриваемая задача изучается в предложенной ранее постановке [1]. Рассматривается вращение абсолютно жесткого сферически симметричного тела относительно неподвижного центра масс. Главный момент внешних сил, приложенных к телу, считается управлением. Предполагается, что все используемые векторы определяются своими координатами в связанной системе отсчета, оси которой совпадают с главными центральными осями инерции тела. Без потери общности тензор инерции считается единичным. Допустим также, что в инерциальном пространстве выбрано т осей чувствительности (т > 1), определяемых соответствующими векторами гг- единичной длины. Интерпретации задачи для разных значений т были даны ранее [1].
Как известно, уравнения углового движения (кинематические для т ортов и динамические уравнения Эйлера для вектора угловой скорости) в рассматриваемом случае имеют вид
где ш — вектор угловой скорости, и — вектор управления. Считается, что заданы значения на концах отрезка [0, Т]
определяющие требуемый маневр. Будем считать, что краевые условия на левом и правом концах различны и соответствующее вращение не может быть абсолютным покоем. Время Т окончания процесса фиксировано, а в качестве критерия эффективности маневра выбран согласованный с симметрией тела интегрально-квадратичный функционал, который характеризует суммарные энергозатраты.
г, = г( х ш, I = 1, т, ш = и, I е (0, Т)
(1.1)
г,(0), г,(Т), I = 1,..., т, ш(0), ш(Т)
(1.2)
Таким образом, рассматривается задача оптимального управления
. 1
| и(^ • и(ОЛ
Ш1П -
[0, Л
где минимум ищется по всем допустимым управлениям и траекториям, удовлетворяющим дифференциальным уравнениям (1.1) и краевым условиям, соответствующим значениям (1.2).
Основное предположение состоит в допущении существования решения (управления) сформулированной задачи в классе кусочно-непрерывных функций времени. Такое допущение, кроме доводов "здравого смысла", отчасти обосновывается полученным ранее результатом [2].
Используя необходимые условия принципа максимума Понтрягина, получаем следующую гамильтонову каноническую систему (прямая и сопряженная системы дифференциальных уравнений соответственно), описывающую экстремаль в рассматриваемой задаче:
г,- = г,- х ю, у,- = х ю, / = 1, ..., т; ю = у, у = -я
Исследуемая вариационная задача невырожденная, и поэтому сопряженная переменная, соответствующая целевому функционалу, в силу однородности уравнений полагается равной —1. Соответствующая функция Гамильтона имеет вид
Н = ю • я + у • у / 2
а уравнения (1.3) имеют вид
гI = дН/ду,, уI = -дН/дг,, / = 1, ..., т; ю = дН/ду, у = -дН/дю
В силу уравнений (1.3) из предположения о существовании решения в классе кусочно-непрерывных функций времени аналогично рассмотренному ранее случаю [2] по индукции следует вывод о том, что решение можно выбирать из существенно более узкого класса бесконечно дифференцируемых функций времени.
Из уравнений (1.3) и тождества Якоби для векторного произведения вытекает, что вектор-функция 5 удовлетворяет дифференциальному уравнению
Структура системы дифференциальных уравнений (1.3) указывает на возможность исследования негамильтоновой системы меньшей размерности
которая, в частности, уже не зависит от числа т. Последовательно дифференцируя уравнения (1.4), приходим к одному векторному дифференциальному уравнению для функции ю:
т
(1.3)
I = 1
я = я х ю
я = я х ю, ю = у, у = -я
(1.4)
ю = ю х ю
(1.5)
Цель статьи — описание одного частного решения уравнения (1.5) и последующее восстановление соответствующих кинематических параметров экстремального разворота.
2. Частное тригонометрическое решение уравнения (1.5). Запишем уравнение (1.5) в координатной форме
Ю\ = Ю2Ю3 - Ю3Ю2, Ю2 = Юз®! - Ю1ю3, ю3 = ю1ю2 - Ю2Ю1 (2.1)
и будем искать решение в виде
ю0 (t) = a cos (bt + c), ю0 (t) = a sin (bt + c), ®3 (t) = d (2.2)
где а, b, с, d — некоторые постоянные. Приходим к равенствам
ab3sin ( bt + c) = -ab2 d sin (bt + c), -abacos (bt + c) = ab2 d cos (bt + c)
22 0 = - ab cos(bt + c) sin(bt + c) + ab sin(bt + c) cos(bt + c)
Последнее из них выполняется тождественно, а из первых двух следует равенство
d = -b (2.3)
если ab Ф 0. Если аb = 0, то частное решение (2.2) таково, что a(t) = ю(0) для всех t и соответствует вращению с постоянной скоростью относительно неподвижной оси. Такой маневр представляет собой плоский разворот и возможен, в частности, если ю(0) = ю(7). Далее будет рассматриваться более содержательный случай аb Ф 0.
Таким образом, приходим к выводу, что система уравнений (1.5) имеет семейство частных решений (2.2), (2.3), выражающихся через тригонометрические функции и полностью определяемых параметрами а, b и с.
Можно показать, что уравнения (1.5) имеют несколько более общее семейство тригонометрических решений. Действительно, выберем произвольно не зависящую от времени матрицу Fe SO (3). Тогда, поскольку по построению
...о ..о о W = w х w
верно также равенство
(Fw0)*" = (Fw0)" х (Fw0) Следовательно, класс тригонометрических решений уравнения (1.5) может быть расширен до семейства функций Fa0, ю° = (Ю°, ®2, Ю0 )T, где F — произвольная собственная ортогональная матрица.
Для более конструктивного описания полученного семейства решений воспользуемся следующим векторным представлением формул (2.2), (2.3):
w0(t) = - be3 + aB(t)e1; e1 = (1, 0, 0)T где B (t) e SO (3) — решение задачи Коши
e2 = (0, 1, 0)T, ез = (0, 0, 1 )T
(2.4)
0 -Ю з Ю2 Ю1
B = S( be3B), B (0) = I3; S( w) = Ю3 0 -Ю1 , w = ®2
-®2 Ю1 0 Юз
(2.5)
I3 e [R3 x 3 — единичная матрица.
Действительно, поскольку матричное дифференциальное уравнение в задаче (2.5) — линейное с постоянными коэффициентами, соответствующее решение задачи Коши может быть записано в явном виде
В ( 0 = ехр (ЫБ{ е3)) =
= (13 + бш(Ы)Б{е3) + (1 - СОБЫ)Б (е3)) =
СОБbt -БШbt 0 бШbt еоБbt 0 0 0 1
(2.6)
Подстановка этого выражения в равенство (2.4) приводит к формулам (2.2), (2.3). Здесь использован известный результат ([3], §1.2). Введем обозначения
ш = Гш0, и = Ге3, w = Ге1, В = ¥В¥Т Тогда, в силу представления (2.4), уравнение (1.5) имеет решение вида
ш( 0 = - Ь и + аВ( 0 w где и, е Б1 — не зависящие от времени ортонормированные векторы
|и| = Н = 1, и • w = 0 а матрица В(?) определяется как решение задачи Коши
В = Б(Ьь)В, В(0) = 13; В е 80(3)
(2.7)
(2.8) (2.9)
(2.10)
Семейство тригонометрических решений (2.8) полностью определяется двумя скалярными параметрами а, Ь, а также выбором двух ортонормированных векторов и, В силу линейности преобразований (2.7) из соотношения (2.6) следует, что функции (2.8) принадлежат классу тригонометрических функций времени.
Решение уравнения (1.5) имеет смысл вектор-функции угловой скорости некоторого экстремального разворота сферически симметричного тела. В силу специальной структуры представления (2.8) описанного семейства тригонометрических решений уравнения (1.5) имеется возможность получить полное явное описание соответствующего разворота.
В качестве кинематических параметров будем использовать матрицу вращения А(?) е 80 (3), соответствующую угловой скорости (2.8). По определению, А — решение задачи Коши
А = -Б( ш )А, А( 0) = 13 (2.11)
Подстановка выражения (2.8) в правую часть уравнения (2.11) приводит к равенствам
А = -Б(- Ьи + aBw)А = Б(Ьи )А - Б(aBw)А = Б(Ьи )А - ВБ(аw)ВТА
Поскольку по построению матрица В(?) представляет собой поворот относительно неподвижной оси, определяемой вектором и, и — собственный вектор В((), соответствующий единичному собственному значению:
В (0 и = ВТ( ^ и = и
поэтому имеем
(2.12)
ВТА = ВТБ(Ьи)А - Б(аw)ВТА = Б(ЬВт^ )ВТА - Б(аw)ВТА = Б(Ьи - аw) ВТА Поскольку из уравнения (2.10) следует
В ТА = -ВТБ( Ь и) А = -Б( Ь и) ВТА
окончательно приходим к уравнению
( ВТА)' = -Б( а w) ВТА
что позволяет сформулировать следующий вывод: каждое решение А задачи Коши (2.11), соответствующее угловой скорости (2.8), (2.10), представимо в виде
А ( *) = В( Г) С( 0 (2.13)
где В — решение задачи Коши (2.10), а С — решение задачи
С = -Б(аw)С, С(0) = 13; С е 80(3) (2.14)
Таким образом, класс тригонометрических решений уравнения (1.5) соответствует вращениям, которые эквивалентны двум последовательным поворотам относительно неподвижных осей, задаваемых векторами и и соответственно, с угловыми скоростями a и Ь.
Отметим, что формулы (2.8), (2.10), (2.11) и (2.13) справедливы и для вырожденного случая aЬ = 0, указанного ранее. Здесь экстремальное вращение вырождается в плоский разворот.
3. Особенности тригонометрических экстремалей и примеры. Полученные в предыдущем разделе формулы позволяют выписать явные соотношения для экстремальной траектории, соответствующей частному решению уравнения (1.5).
Для кинематических уравнений системы, по определению матрицы А как фундаментальной матрицы для уравнений (1.1), имеем
г,(Г) = А(0г,(0), I = 1, ..., т ^ г,(0 = В(0С(^г,(0), I = 1, ..., т (3.1)
Матрицы B и C определяются соотношениями (2.10) и (2.14).
Кроме того, в силу свойства (2.12) из равенства (2.8) получаем другое представление для вектор-функци
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.