ОПТИКА И СПЕКТРОСКОПИЯ, 2004, том 96, № 5, с. 760-764
ТРЕТИЙ СЕМИНАР ПАМЯТИ Д.Н. клышко
УДК 535.14
СХЕМЫ ДЛЯ ПРИГОТОВЛЕНИЯ W- И О^-СОСТОЯНИЙ ИЗ АТОМОВ И АТОМНЫХ АНСАМБЛЕЙ
© 2004 г. В. Н. Горбачев, А. А. Родичкина, А. И. Трубилко
Северо-Западный институт печати Санкт-Петербургского государственного университета технологии и дизайна, 191180 Санкт-Петербург, Россия Поступила в Редакцию 17.07.2003 г.
Независимые системы, каждая из которых содержит атомный ансамбль, перепутанный за счет взаимодействия со своим фотоном, могут быть, в свою очередь, перепутаны путем измерений. Рассмотрены схемы для получения состояний "" и 0И2-классов с помощью проекционных измерений света, включающих трехфотонные параметрические взаимодействия.
ВВЕДЕНИЕ
Вопрос, как приготовить заданное состояние физической системы, является важным для задач квантовой информации, где большое количество протоколов основано на перепутанных состояниях (entangled states). В общем случае можно указать по крайней мере два способа, как это сделать: один из них - эволюция, происходящая за счет взаимодействия, другой способ - проекционное измерение. Мы рассматриваем схемы на основе проекционных измерений, которые приводят к перепутанным атомным состояниям. Экспериментально такие состояния атомных ансамблей были реализованы в [1] с помощью измерения Белла.
Основой наших схем служит обмен перепуты-ванием (entanglement swapping), который приводит к корреляции независимых частиц. Этот процесс был экспериментально продемонстрирован на примере двух независимых ЭПР (Эйнштейн-Подольский-Розен)-пар, состоящих из поляризованных фотонов [2]. Если выбрать по одной частице из каждой пары и провести над ними измерения в базисе Белла, оставшиеся частицы будут перепутанными. В общем случае сама ЭПР-пара может состоять из двух систем различной физической природы, например из атомов и фотонов, которые скоррелированы за счет взаимодействия, и проводить измерение можно над любой из них, например над фотонами.
Мы рассматриваем перепутанные состояния ансамбля из N двухуровневых атомов, которые могут возникать при многофотонном взаимодействии с узкополосным светом. В такой системе возникают атомные состояния W-класса, введенные в [3]. Они входят в семейство симметричных состояний Дике [4] и представляют интерес в связи с тем, что их квантовая корреляция или перепутанность оказывается устойчивой к потере частицы [5]. Это свойство выглядит привлекательным для квантовых каналов. Чтобы приготовить W- или GHZ (Greenberger-Home-Zeilinger)-состоя-
ния из атомных ансамлей, мы используем две схемы проекционных измерений света, основанных на трехфотонных параметрических процессах. Близкая схема для приготовления W-состояний предложена в [6], однако она содержит ряд промежуточных этапов, например приготовление ЭПР-пары, которые отсутствуют в нашей схеме благодаря выбранному проекционному измерению.
Данная работа организована следующим образом. Вначале рассматриваются основные свойства и примеры использования состояний GHZ- и W-классов для задач многочастичного плотного кодирования и телепортации. Далее обсуждаются перепутанные состояния, возникающие при многофотонном взаимодействии атомов с узкополосным полем, которые являются основой для двух схем, приготавливающих из них атомные W- и GHZ-ансамбли.
GHZ- И W-СОСТОЯНИЯ
Многочастичные состояния GHZ и W принадлежат разным классам, обладают разными физическими свойствами и не могут быть связаны между собой преобразованиями типа LOCC (Local Operation and Classical Communications).
Для трех кубитов типичное состояние GHZ имеет вид
GHZ = ( |000> + 1111»/Л. (1)
Несмотря на отсутствие строгой меры перепутанности для многочастичных состояний, GHz обладает максимальной перепутанностью с точки зрения различных критериев. Однако любые две частицы из GHZ имеют классическую корреляцию, поскольку двухчастичная матрица плотности р(2) = Sp1|GHZ XGHZ | = (|00><00| + |11><11|)/2 имеет сепарабильный вид. В общем случае N-кубитное состояние GHZ-класса можно представить в форме [7]
ф
bN
— (|0>®|b2,..., bN) +
(2)
+ (-1) 1|1>® |b2, • .., bN>)^72,
где bk = 0, 1, |b2^bN> = |b2> ® ... |bN>, bk = 1 - bk = = 1 © bk и наборы |bk> вместе с состояниями |0>, |1> образуют ортонормированный базис. Если N = 2, то возникают состояния Белла Фь b = (|0, b2> +
+ (-1) 1|1, 1 © b2>)/V2, которые генерируются двумя классическими битами bj, b2 = 0, 1. Если N = 3, то три классических бита генерируют набор состояний Фььь , содержащих триплет GHZ.
Векторы (2) образуют полный ортонормированный базис, т.е.
X ^.Ь^^Ь
= 1,
(3)
b . b
b2 b1 Ub1b2...bN = Ox Oz
который, однако, можно сгенерировать, если взять из этого набора некоторое состояние, например О = (|0, ..., 0) + |1, ..., 1))/л/2, и манипулировать N - 1 битами, ъ2, .,
ФЬ1Ь2...ъя = (1 ® ^ъл..^, (4)
где иъ ъ _ ъ - унитарный ^ - 1)-частичный оператор. Возможность сгенерировать ^частичный базис, воздействуя на N - 1 кубитов, обусловлена тем, что их состояние является перепутанным, где частицы коррелированы и их уже нельзя считать независимыми. Для независимых кубитов такого свойства не возникает. Особенностью, которая вытекает из свойств состояний вН2-класса, является локальность иъъ_ъ , допускающего представление в виде
'b1b2...bN — Ox x < , (5)
где ox, oz - операторы Паули. Однако такое представление не единственное.
Используя состояние GHZ как квантовый канал, который распределен между тремя пользователями A, B и C, можно осуществить, например, два процесса: телепортацию перепутанного состояния и плотное кодирование.
Пусть отправитель A желает отправить двум получателям B и C неизвестное двухчастичное состояние вида Z = а|10> + Р|01>, |а|2 + |Р|2 = 1. Для этого необходимо 3 бита классической информации, которые кодируют исходы трехчастичного измерения {Фк : п± ® Ф±, п± << ¥±}, где п± = (|0> ± 11>)/72. Тогда разложение исходного состояния по базису Фк имеет вид
|Z>12 < |GHZ>ABC — ( 1/V8)^|Фk> 12auBC(k)|Z>BC, (6)
k
где унитарные операторы UBC(k), которые не зависят от неизвестного состояния, решают задачу [8]. Заметим, что набор восстанавливающих операторов является локальным: UBC(k) = UB(k)UC(k).
Основой трехкубитной схемы плотного кодирования является уравнение (4), которое принимает вид
Ф, — (1 < Uk )|GHZ>, (7)
где трехбитное сообщение k = b1b2b3 кодируется двухчастичными операторами Uk, генерирующими восемь состояний, хорошо различимых при измерении в базисе Tk [7].
Типичным представителем W-класса служит состояние
W — (|100> + |010> + |001>) Л/3. (8)
В отличие от GHZ здесь любая пара частиц имеет неклассическую корреляцию, которая описывается несепарабильной матрицей плотности р(2) = = Sp1|W><W| = (|00><00| + |10><10| + |01><10| + |10><01|)/3. Наличие такой двухчастичной перепутанности или двухчастичной когерентности обычно рассматривается как устойчивость к потере частицы. Для произвольного вектора из W-класса справедливо представление [3] 9W = Ja |100> + Jb |010> +
+ Jc |001> + Jd |000>, где a, b, c > 0, d = 1 - a - b - c. При d = 0, a = 1/2, b = c возникает состояние
|W> — (1/V2 )|100> + (1/2 )|010> + (1/2 )|001>, (9) которое связано с GHZ нелокальным двухчастичным унитарным преобразованием [9]
(1 ® V)|GHZ> — |W>, (10)
где V = |Т+><00| + |11><01| + |Т-><10| + |00><11|, т± = (1/72 )(|01> ± |10>) - состояния Белла. Из
уравнения (10) следует, что состояния GHZ и W унитарно эквивалентны относительно двухчастичного преобразования V. Это дает возможность, например, преобразовать GHZ-протоколы телепортации и плотного кодирования, определенные согласно (6) и (7), для каналов W -класса
[9]. Так, замена GHZ —► W при телепортации приводит к замене восстанавливающих операторов UB(k) < UC(k) V(UB(k) < UC(k)), для плотного кодирования Uk —- V^Uk, для обоих протоколов общим свойством оказывается нелокальность новых операторов.
В общем случае векторы из W-класса могут входить в состав семейства симметричных состояний Дике, с помощью которых можно описать набор из N частиц, где любые m < N являются возбужденными,
|m; N> — XPz|11,., 1m, 0m + 1,., 0n>, (11)
z
N
где Pz - сумма по всем Cm = N!/m!(N - m)! различимым перестановкам частиц. Эти состояния не
N
нормированы, <m; N|m; N> = Cm . В частности,
|1; N> —
— (|1, 0,., 0> + |0, 1,., 0> + ... + |0, 0,., 1>)
определяет состояние из "-класса. Для определенности рассмотрим N двухуровневых атомов с нижним уровнем 0 и верхним 1, для описания которых введем коллективные операторы
^ = ^ ¿ху( т), (12)
т
где sxy(m) = \х)т{у | - оператор отдельного атома, х, у = 0, 1. Тогда можно получить следующее представление:
\т; N = []т\0) = m!\m; N), (13)
где \0) - основное состояние всех атомов. Из (13), в частности, следует, что состояния "-класса могут возникать при взаимодействии света с атомами, и они являются естественными для ансамбля одинаковых частиц. Например, пусть все атомы находятся на нижнем или основном уровне и пусть в такой системе поглощается фотон. Поскольку фотон может поглотиться только одним, но любым из N атомом, то именно он перейдет в возбужденное состояние, и в итоге будет возникать суперпозиция 510\0) типа "" описывающая все N возможностей.
ПЕРЕПУТАННЫЕ СОСТОЯНИЯ АТОМОВ, ВЗАИМОДЕЙСТВУЮЩИХ СО СВЕТОМ
Рассмотрим резонансное взаимодействие N одинаковых двухуровневых атомов с электромагнитным полем, которое опишем эффективным гамильтонианом
H = Iй А,
(14)
А = B - 501 Bt, где атомные операторы определены соотношением (12), а поле представлено операторами В, В1'. В качестве примера можно указать эффективное резонансное и комбинационное взаимодействие трех мод с частотами ю, юА, ю5, которые связаны с частотой атомного перехода ю0 соотношением
ю = Ю0, юА - ю3 = Ю0. Тогда В = ga + ¡аАа1, где g,/-константы связи. В общем случае поле может быть представлено многими модами, частоты которых юк отличаются от частоты атомного перехода на величину 5юк и занимают полосу частот Лю. Если Дю, 5юк < у±, где у± - поперечная константа релаксации, то поле можно считать узкополосным и использовать резонансное приближение. В противном случае это не так,
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.