ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА И МЕХАНИКА
Том 78. Вып. 3, 2014
УДК 532.5
© 2014 г. М. А. Ильгамов
СИЛЬНОЕ РАСШИРЕНИЕ-СЖАТИЕ ПОЛОСТИ В ЖИДКОСТИ ПРИ АКУСТИЧЕСКОМ ВОЗДЕЙСТВИИ
Построена простейшая модель сильного растяжения-сжатия сферической вакуумированной полости в неограниченной идеальной несжимаемой жидкости при акустическом воздействии. Принимается, что полость образуется в момент максимального разрежения жидкости в результате нарушения ее сплошности элементарными частицами, амплитуда наведенных акустических колебаний на порядок и более превышает среднее давление в жидкости. Траектория движения межфазной границы разбивается на три стадии, на каждой из которых принимается некоторое постоянное значение давления. Это позволяет получить приближенное аналитическое решение задачи. Показывается его согласие с численным решением исходной задачи, достаточное для качественных оценок. Полученное решение позволяет проводить параметрический анализ процессов при растяжении-сжатии полости, сократить объем вычислений при численном моделировании с учетом дополнительных факторов.
Динамике газовых и паровых пузырьков при постоянном перепаде давления и акустическом воздействии на жидкость посвящена большая литература (см., например, [1—3]). Исследования сферического расширения—сжатия, колебаний формы, ее устойчивости выполнены с применением численных методов. Отдельные параметры процесса определялись и аналитически (см., например, [4]). В последние годы особое внимание уделялось сильному расширению и сжатию пузырьков микронных размеров в специально подготовленных жидкостях.
В [5—8] и в других работах приводятся результаты экспериментальных и теоретических исследований явления. При этом численный анализ сферических колебаний и устойчивости формы проводился с учетом уравнения состояния для жидкости и пара в виде Ми-Грюнайзена, поверхностного натяжения, теплопроводности, испарения на стадии расширения и конденсации на стадии сжатия, ударных волн в пузырьке применительно к условиям эксперимента [5]. В данной работе строится приближенная теория расширения—сжатия полости в идеальной несжимаемой жидкости при условии возникновения ее в момент максимального разрежения и малости по сравнению с единицей квадрата отношения среднего давления в жидкости к амплитуде акустических колебаний.
1. Исходные допущения. Можно выделить два режима сильного расширения полости, определяемые начальным ее состоянием и действием давления
Рю = Ро - Pa sin(©t + (1.1)
заданного в жидкости на значительно большем удалении, чем начальный и текущий радиусы R0 и R полости. Здесьp0 — среднее давление, pa, ю и ф — амплитуда, частота и фаза колебаний давления, t — время.
Под первым режимом будем подразумевать расширение имеющейся полости при ф = 0 (фиг. 1, а), когда отрицательное напряжение в жидкости возникает при pa sin wt > ро. В зависимости от R0 и давления pю в начале движения может происходить плавное увеличение радиуса с положительным ускорением, либо уменьшение радиуса с последующим расширением. Последний случай изображен на фиг. 1, а при
р = 858 кг/м3, р0 = 1 бар, pa = 2 бара, ю/ (2п) = 19.3 кГц, R0 = 70 мкм
Фиг. 1
Давление показано штриховой линией. После этапа положительного ускорения расширение происходит почти с постоянной скоростью. С наступлением стадии положительного значения расширение замедляется, достигается максимальное значение радиуса Ят и далее происходит
ускоренное сжатие. При относительно малых ра, ю под действием положительного давления
полость схлопывается без расширения (на фиг. 1, а: = 60 мкм, остальные параметры те же).
Второй режим расширения имеет место, когда в момент наибольшего растяжения (ф = к/ 2) специально очищенной от примесей жидкости (в частности, для исключения преждевременного ее разрыва) на нее воздействуют, например, элементарные частицы. При этом образуются мельчайшие пузырьки. В экспериментах [5] дейтерированный ацетон подвергался нейтронной бомбардировке, синхронизированной с акустическими колебаниями, а в [6] используются альфа-частицы. В этих экспериментах реализуется большое отношение амплитуды колебаний давления (ра = 15 бар) к его среднему значению (р0 = 1 бар). Для второго режима характерен короткий начальный период расширения с положительным ускорением и быстрый выход на движение с почти постоянной скоростью (фиг. 1, б). Дальнейшее торможение движения и сжатие полости при акустическом воздействии в обоих режимах происходит одинаково. Наиболее четко первый режим проявляется при малом значении отношения ра/р0, а второй режим — при большом значении этого отношения. При высоких частотах и амплитудах давления может быть более сложная динамика (например, несколько максимумов радиуса [1]). Такие случаи здесь не рассматриваются.
В данной работе дается качественный анализ второго режима расширения—сжатия за один цикл колебания давления в простейшей постановке. Применяются допущения: давление в по-
лости равно нулю, жидкость невесомая, идеальная и несжимаемая, протяженность ее много больше наибольшего размера полости, поверхностное натяжение отсутствует. Не учитывается продолжительность начальной стадии расширения с положительным ускорением ввиду ее малости по сравнению с общим временем расширения при ф = %/2 и больших значениях pa по сравнению с p0.
Принимаются постоянные значения давления px по характерным временам, что позволяет сильно упростить задачу. Расширение полости с постоянной скоростью на участке от точки 0 до 1 (фиг. 1, б) и дальнейшее торможение движения расширения, переход к медленному сжатию на участке от точки 1 до точки 2, быстрое сжатие на заключительной стадии происходит при средних значениях давления соответственно
1'' 1 '2 1 'с
Р01 = - \p^dt, P12 =-{p^dt, P2c =-{Pcadt, (1.2)
hn t2 - t1 . tc -12,
0 t1 t2
где Г1, t2 и tc значения времени от начала движения до точек 1, 2 и момента коллапса (R = 0), определяемого из решения задачи.
Время t1 определяется из условия po - pa cos ®t1 = 0. Принимая ®t1 = к/2 - x и учитывая малость p0/pa и х по сравнению с единицей (sin x « x, cos x ж 1), находим x я po/pa или
®t1 =п/2 - po/pa (1.3)
В дальнейшем всюду пренебрегаются величины порядка (p0/pa)2 по сравнению с единицей.
Время ®t2 может быть взято произвольно между значением, соответствующим максимальному давлению, которое достигается при п, и значением, когда можно считать (R/Rm)3 < 1 (это условие будет понятно из дальнейшего). Можно исходить, например, из требования R2 = R1 или равенства скоростей двух участков в точке 2. Здесь принято фиксированное значение на ниспадающем участке давления
®t2 =л + л/8 (1.4)
Тогда из (1.1)—(1.4) имеем
2ap2 (0 < t < t1
po1 « p0--a— I R < R < R I (1.5)
npa - 2p0 V R0 < R < R1J
^ + api (8 + n) (t1 < t < t2, R1 < R < RmЛ (16)
P12~ p0 5npa + 8p0 VRm * R * R2 )
p2c я p2 - 0.19paffl(tc - t2), p2 = p0 + 0.92pa 0) (1.7)
В (1.5) и (1.6) включен коэффициент a, который имеет значение а > 1. В случае p¡)/pa ^ 1 и
a = 1 имеем p01 я -2 pa/п, p12 ~ 2pa/п. Между тем при больших значениях напряжения растяжения жидкости полость из начального состояния быстро приобретает скорость, которая при дальнейшем расширении остается почти постоянной до точки 1 (фиг. 1, б). Установление этой скорости происходит приблизительно при —pa, а не при —2pa/n. Для торможения движения с такой скоростью на участке после точки 1 и обращения его в сжатие также требуется большее давление, чем 2pa/n. Таким образом, по физическим соображениям коэффициент a должен быть
больше единицы. Наибольшее его значение равно a = п/ 2 = 1.57. При учете среднего давления с отношением pa/p0 = 15 имеем a = 1.51. В расчетах можно принять среднее значение между 1 и 1.57 (а = 1.28). В отличие от (1.5) и (1.6) выражение (1.7) для среднего давленияp2c (p2 — давление в точке 2) записано без коэффициента a, так как заключительная стадия схлопывания приходится на относительно малый интервал времени, где переменная часть давления близка к максимальному значению. При получении (1.7) принято sin тих, cos т ® 1 - т2/2, где т = ®(tc -12).
2. Зависимость радиуса от времени. Уравнение радиального движения несжимаемой идеальной жидкости [1—3]
яя + 3 я2 -
■ = 0 2 Р
плотность жидкости, р
(2.1)
где р — плотность жидкости, р — давление внутри полости, при постоянном перепаде давления Л - Ра имеет первый интеграл (Яо и Яо — начальные радиус и скорость)
яя2 = Я2 [Я
2 (Р1 - Р*)
3р
яо
я3
(2.2)
Предполагается, что движение в самом начале расширения может быть определено сугубо приближенно, тем более, что, как выше было сказано, не учитывается короткая стадия ускоренного движения. Поэтому опуская в (2.2) члены с множителем (Я0/Я)3 (который на порядок меньше единицы уже при яо/ я = 1/2, а рассматривается расширение порядка 102—103 раз), учитывая Р1 = 0 и подставляя вместо рш выражение из (1.5), получаем
я = я0 + я^, я1
2 РдРр
3р
в
2ара - про ПРа - 2 Ро
о < t < ^
яо < я < я1
Для участка между точками 1 и 2 вместо (2.2) имеем (р, = о)
я2 = я1
2 Г я
я
2 Р12 3р
1 -
(2.3)
(2.4)
где я1 известные из (2.3) значения скорости и радиуса
1
1Г2РаР^2 Гп_ ро )
3р ) 12 Ра ^
Уравнение (2.4) не интегрируется в элементарных функциях. Представим его в следующем легко интегрируемом виде
я1 = яо + ял = яо +-
(2.5)
Я-
я2
2! я1
я
2 Р12 3р
1 -
1
1
I2 (я1 12
я) ,
(2.6)
приближенно описывающем движение на участке между точками 1 и 2 (например, подстановкой х = я У2 оно сводится к табличному интегралу). Вносимое последним сомножителем изменение скорости будет оценено далее.
Интегрируя уравнение (2.6) с учетом выражения (1.6) для р12 и (2.3), получаем зависимость радиуса от времени на участке между точками 1 и 2 1
(I1+
^ ( -t■) ,
„ряГ) 2ря{
Щ ((- * )2,
1 =
(8 + п)аРа + 5пРо
(2.7)
5пРа +
Входящий сюда радиус Я1 дается формулой (2.5).
Из (1.6), (2.4), (2.7) при я = ят, t = tm, Ят = о определяются значения максимального радиуса Ят и соответствующего времени т по формулам
1
1оя1 ( пр ^2
ч3
(ят.\ ~ 1+ Р 1т ,
I я1) ~ , '
(2.8)
ц tl (8 + п) tl \3аРа Последнее выражение для простоты записано при пренебрежении
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.