ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА И МЕХАНИКА
Том 77. Вып. 1, 2013
УДК 532.529.5
© 2013 г. Н. С. Хабеев, В. Ш. Шагапов, Ю. А. Юмагулова
СНИЖЕНИЕ ДАВЛЕНИЯ ПАРА В ЗАМКНУТОМ ОБЪЕМЕ ВСЛЕДСТВИЕ КОНДЕНСАЦИИ НА ГРАНИЦЕ КОНТАКТА С ХОЛОДНОЙ ЖИДКОСТЬЮ
Изучается задача о снижении давления пара в замкнутом объеме вследствие конденсации на межфазной границе с холодной жидкостью. Получены приближенные формулы, описывающие законы падения давления в случае контакта пара с холодной водой в виде слоя жидкости на горизонтальной поверхности, а также в виде капель.
Представляется, что введение холодной воды — наиболее простое и эффективное средство снижения давления в замкнутом объеме без выпуска в атмосферу пара, содержащего опасные составляющие. Однако ее дозировка, а также конфигурация контакта между паром и водой должны удовлетворять условиям, обеспечивающим снижение давления до необходимых величин за приемлемые периоды времени. Некоторые аспекты этой проблемы были рассмотрены [1] в простейшей постановке, в предположении, что в паровом слое реализуется квазистационарное распределение температуры.
1. Постановка задачи. Пусть в емкости с вертикальными стенками находится пар. Верхняя граница емкости — твердая плоскость, а на нижней границе пар контактирует со слоем воды. Тепловыми потерями через верхнюю и боковые стенки емкости будем пренебрегать (материал этих стенок — идеальный теплоизолятор). Перечисленные допущения позволяют рассмотреть задачу о поведении пара в емкости при взаимодействии со слоем жидкости в предположении, что течение плоское и одномерное. Координатную ось х направим вертикально вниз с началом на верхней границе емкости и запишем следующие уравнения неразрывности и притока тепла для пара (0 < х < Ь):
где р^, р, ии и Ти — плотность, давление, скорость, температура пара, еи — теплоемкость пара при постоянном давлении, Хи — коэффициент теплопроводности. Здесь и в дальнейшем нижние индексы и и w относятся к параметрам пара и воды. Значение координаты х = Ь соответствует границе раздела пар—вода. Отметим, что второе уравнение (1.1) записано в рамках гипотезы гомобаричности [2] (однородности давления; др/дх = 0).
Для воды (Ь < х < Ь + а), где а — толщина слоя воды, имеем уравнения, аналогичные (1.1), в которых последнее слагаемое для давления отсутствует. Воду будем считать несжимаемой, а ее скорость на нижней стенке (х = Ь + а) равной нулю (р^ = 0). Тогда из уравнения неразрывности для воды следует = 0, и уравнение теплопроводности для воды можно записать в виде
(1.1)
(1.2)
В качестве уравнения состояния для пара примем уравнение Клапейрона-Менделеева
Р = Ри КиТи (1.3)
Приведенную систему уравнений необходимо дополнить начальными и граничными условиями. Пусть в начальном состоянии (? = 0) температуры пара и воды однородны и равны соответственно Ти = Ти0 и Т* = Т*0, а давление пара р = р0. Для скорости и температуры пара на верхней границе (х = 0) примем условия
д Т
x = 0: ии = 0, ^^ = 0 (1.4)
д х
соответствующие отсутствию массовых и тепловых потоков.
На поверхности раздела пар-вода ^ = Ь) выполняется условие равенства температуры межфазной поверхности TЬ равновесной температуре фазовых переходов для давления р (Ть = Т5 (р)). Здесь и в дальнейшем дополнительный индекс Ь относится к значениям на этой поверхности ^ = Ь). Кроме того, выполняются условия баланса массы и тепла
/ дМ дЬ . дТ„ . дТ* ., ,,
Р иь (ииЬ) = -Р* — = 1, ^ -£ = }1 (1.5)
Здесь l — удельная теплота фазового перехода, ] — интенсивность конденсации, отнесенная на единицу площади. Из уравнений (1.5), учитывая, что для рассматриваемой системы обычно риЬ ^ р*, можем получить
^ -Ь* ^ = Риь1ииь (1.6)
ох дх
Для замыкания приведенной системы уравнений необходимо записать еще одно граничное условие для температуры воды. При записи такого условия можно принять одну из двух предельных ситуаций, соответствующих изотермическому (Т* = Т*0) или адиабатному (X* дТдх = 0) процессу на нижней границе емкости (х = Ь + а). Однако в случае, если за представляющее интерес в данной задаче время толщина зон в воде, где реализуются температурные перепады, значительно меньше толщины слоя воды (слой жидкости достаточно толстый), вместо двух предельных вариантов можно принять условие
Т* = Т*0 при х ^ ^ (1.7)
Из уравнений (1.1) при учете уравнения (1.3) нетрудно получить
Г £и -^ <к+Си ^Шзи) = к ¿Т. (1.8)
^ К ) йг дх дх2
Интегрирование уравнения (1.8) по координате от нуля до Ь при учете граничных условий (1.4) и равенства (1.6) приводит к уравнению
£и -1) ь— = ++ С^ЬК (1.9)
) йг V I ) V дх) ь I V дх) ь
Оценки показывают, что обычно сиТиь < I, а коэффициенты теплопроводности удовлетворяют соотношению Хи < XТогда из уравнения (1.9) при учете равенства Тиь = Т (р) следует приближение
ьйр = еиТ (р)Х * (дТ* йг I (си - яи ) 1дх ; ь
(1.10)
согласно которому спад давления происходит за счет конденсации пара, интенсивность которой лимитируется способностью жидкости отводить тепло, выделяемое при конденсации, от межфазной поверхности пар—вода.
Решение уравнения (1.2), удовлетворяющее условию Т* = Т(р) при х = Ь и условию (1.7), имеет вид [3]
Т* = {'
ди(х - ь, г -т) дг
(
Т (р (т)) йт; и (х, г) = ег1Ъ
Л
(1.11)
Подставляя выражение (1.11) в соотношение (1.10), получим интегро-дифференци-альное уравнение для определения давления, которое при учете зависимости [2] Т = Т*/1п(р*/р), Т* = ¡/Яи и уравнения Клапейрона—Клаузиуса йТ^йр = Т5/(¡ри) можно записать в виде
^ = -В йг
йр
4Пг -.¡¡л (г - т) йт
й т
(1.12)
АТ = Т (ро)- Т*о, А =
В =
р1п2(р*/р)' Ь^Ч* (си - Яи) 1п(р*/р)
(1.13)
Коэффициенты A и B, переменные вследствие изменения давления, будем приближенно считать постоянными. Тогда интегральное уравнение (1.12) относительно йр/йг может быть решено методом преобразования Лапласа [4, 5]. Получим следующее уравнение для изображения:
ф {я) = -в + А
IV ^
Ф ) = Г е -гй1йг йг
Отсюда будем иметь ВАТ
Ф (5) =-
41 + АВ
и согласно таблице преобразований Лапласа [6] получим обыкновенное дифференциальное уравнение для эволюции давления
^ = -ВАТ йг
- АВехр((АВ)2г)ег1С(АВл/?)
_л/лг
(1.14)
в котором уже будем учитывать зависимости коэффициентов A и B от давления согласно последним двум формулам (1.13).
На основе уравнения (1.14) выполнены численные расчеты. Для теплофизических параметров системы пар—вода, определяющих ее теплофизические свойства, приняты следующие значения [7]:
р* = 103 кг/м3, с* = 4.2 кДж/(кг • К), X* = 0.556 Вт/(м • К), (V* = 1.324 • 10-7 м2/с), си = 2.1 кДж/(кг • К), = 450 ДжДмоль • К), Т* = 5 • 103, р* = 7 • 1010.
о
1.0
р, МПа
0.5
0 8 16 Г,ч
Фиг. 1
0 1 2 Г, ч О 1 2 Г, ч
Фиг. 2
Значения параметров p0 = 0.2 МПа, Т*0 = 20°С и Ь = 10 м приняты в качестве начальных данных для давления, температуры воды и высоты емкости.
На фиг. 1 изображены графики изменения давления, выполненные по формуле (1.14) (сплошная кривая) и численным методом [8] по уравнению (1.12) (штриховая кривая) при разных значениях давления p0. Видно, что на начальном этапе снижения давления приближенное и численное решения практически совпадают, а для больших времен различаются незначительно. Поэтому дальнейшие расчеты выполнены по формуле (1.14).
Влияние начальной температуры воды Тм на скорость снижения давления иллюстрируется в левой части фиг. 2. Видно, что с увеличением температуры воды от нуля
до сорока градусов характерное время снижения давления от двух до одной атмосферы может увеличиться в три раза.
В правой части фиг. 2 показано влияние высоты помещения Ь на скорость снижения давления. Видно, что когда высота помещения равна нескольким метрам, характерное время снижения давления на одну атмосферу составляет доли часа, что может быть недопустимым с точки зрения ущерба из-за аварийной ситуации. Поэтому для оперативного снижения давления наиболее целесообразным является введение жидкости в пар в виде капель.
2. Случай инжекции капель. Рассмотрим ситуацию, когда в пар, находящийся в замкнутом объеме, впрыскиваются водяные капли. Будем полагать, что после этого образуется однородная парокапельная смесь с объемным содержанием воды а = а„ в виде капель радиуса a. Для учета межфазного тепломассообмена примем ячеистую
схему [2]. Радиусы ячеек и капель связаны соотношением а = (а/Ь)3.
Уравнение, аналогичное (1.10), в данном случае запишется в виде
dp dt
За 2r СД wTs
, 3
(Р) (dTw
- a )l (Си - Ru )Kdr J a
(2.1)
Здесь г — радиальная координата, отсчитываемая от центра капли.
Для задания теплового потока на поверхности капли в уравнении (2.1) воспользуемся решением следующей нестационарной задачи теплопроводности внутри сферы (0 < г < a):
dJwL д t
Vw Jf r 2 д Tw r2 dr
dr
при следующих начальных и граничных условиях:
t = 0, 0 < r < a:Tw = Two; r = 0: dTw/dr = 0; r = a:TW = Ta (t). Решение этой задачи известно [9], из него следует, что
dTw
dr
( (0) - Tw0 )е(^ е^^
d т
(2.2)
Здесь (см. также [10])
0 (%) = exp(-«V^
0 < % < 1.52б/п2
2 exp(-n2%), 1.52б/п2 < %
Подставляя выражение (2.2) в уравнение (2.1) и проведя некоторые выкладки, аналогичные проведенным в разд. 1, получаем следующее интегро-дифференциальное уравнение:
dp = - 3aRucuk WTS (p) dt (b3 - a3)l (cи - Ru)
(Ta (0) - Tw0 )еЫ 1 + )dT eNi—) dт
(2.3)
Используя формулу (2.3) при I < а2/vw, получим уравнение, совпадающее по виду с уравнением (1.14). Выражение для коэффициента A совпадает со вторым выражением из (1.13), а коэффициент B имеет вид
УЗ
n=1
р, МПа
0.15
0.10
0.05
л аw х 10-3 = 1
\\л \ \ \ \ \ ^ \ \ N \ 4 "-ч —. •—. \ 2
\ \ 3
\ \ 40
20
Two, °С = 0
t, с 6 0 Фиг. 3
t, с
В =
3а2еик „
(Ь3 - (с и - Ки )1п (р*/р)
При г > а2/vw имеем уравнение
dp Шг
= -2В
АТ ехр
( 2 П V „
ехр
2
П V „
(г -т)
Ш т
(2.4)
В =
в
и методом преобразования Лапласа получаем Шр
Шг
= -2ВАТ ехр
( 2 П V „
+ 2 АВ
(2.5)
На основе полученных уравнений проведены численные расчеты. Для начальной
2 / 2
стадии (0 < г < г*,г* = 1.526а /(л V№)) использовалось уравнение (1.14) с соответствующей поправкой для коэффициента в (2.4), а для завершающей стадии (г > г*)
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.