ОПТИКА И СПЕКТРОСКОПИЯ, 2004, том 97, № 5, с. 855-862
ФИЗИЧЕСКАЯ И КВАНТОВАЯ ОПТИКА
УДК 535.42;535.13
СООТНОШЕНИЕ СТРОГИХ И ПРИБЛИЖЕННЫХ МОДЕЛЕЙ В ЗАДАЧЕ ТРАНСФОРМАЦИИ НЕИЗЛУЧАЮЩИХ ВОЛН
© 2004 г. Н. В. Гришина, Ю. А. Еремин
Московский государственный университет им. М.В. Ломоносова, 119992 Москва, Россия
Поступила в редакцию 11.02.2004 г.
Рассмотрена проблема трансформации неизлучающих волн вблизи слоистой подложки. Проведен сравнительный анализ результатов, полученных на основании строгого и приближенного подходов. Показано, что использование приближенных моделей может приводить к неверным результатам.
ВВЕДЕНИЕ
Впечатляющие успехи био- и нанотехнологий, таких как расшифровка генома человека, бактерий и вирусов, были бы невозможны без развития сверхразрешающих оптических средств, дифракционных микроскопов ближнего поля [1, 2]. Эти успехи существенно обострили интерес исследователей к проблеме трансформации неизлучающих волн, создаваемых посредством эффекта полного внутреннего отражения лазерного излучения от поверхности призмы. Вместе с тем в большинстве исследований компьютерное моделирование процессов трансформации неизлучающих волн даже для частиц сферической формы, расположенных на или вблизи поверхности призмы, проводится в рамках приближенных моделей, которые не учитывают процессов взаимодействия поля, рассеянного частицей, с поверхностью призмы [3, 4]. Одной из наиболее распространенных моделей является теория Ми, где в качестве внешнего возбуждения выбрано поле неизлучаю-щей волны. Подобный подход совершенно не учитывает взаимодействия поля рассеивателя с призмой и, как было показано в [5], приводит к неверным результатам. В самое последнее время повышенный интерес был отмечен к проблеме конструирования эффективных средств экспресс-анализа растворов, возможно, содержащих бактерии или вирусы, на основе трансформации неизлучающих волн в жидкости, а также к связанной с этим задаче повышения разрешающей способности средств диагностики за счет металлического покрытия, способствующего более интенсивной трансформации неизлучающих волн [6, 7]. Появились как экспериментальные результаты, так и компьютерные модели, позволяющие анализировать рассеянную интенсивность [8]. Однако эти модели лишь частично учитывают взаимодействие со слоистой подложкой, что может приводить к неверным результатам.
В данной работе метод дискретных источников (МДИ) [9] обобщается на случай анализа процессов рассеяния неизлучающих волн вблизи слоистой подложки. Проведено сравнение результатов, полученных с использованием строгой модели МДИ и приближенной, отвечающей френелевско-му приближению [8]. Показано, что различие результатов для строгой и приближенной моделей может достигать нескольких порядков величины интенсивности рассеянного поля.
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ
Будем рассматривать конфигурацию, состоящую из призмы (полупространство D1, z < 0), нанесенной на нее металлической пленки с толщиной d (область Dp d > z > 0) и оставшейся области пространства D0, z > d. Будем полагать, что в D0 располагается проницаемая осесимметричная частица, внутреннюю область которой будем обозначать как Di. Пусть поверхность частицы обозначена как dDi. Выберем декартову систему координат с началом на поверхности призмы, а ось OZ направим вдоль оси симметрии частицы. В качестве внешнего возбуждения рассмотрим линейно поляризованную плоскую волну {E0, H0}, которая распространяется из призмы под углом 61 к оси OZ. Тогда математическая постановка задачи рассеяния принимает вид
rot Н^ = jkZzEz'' rot E = - jk^z в Dz, Z = 0, f, 1, i; x(Ei(p) - Eo(p)) = 0,
np X(Hi(p) - Ho(p)) = 0, ez x(E„(p) - Ep(p)) = 0, ez x(H„(p) - Hp(p)) = 0,
p e д Di;
p e ^«p
(1)
с условиями излучения (затухания) для рассеянного поля на бесконечности.
Здесь (Е^, - полное поле в соответствующей области Dz, k = ю/с, п - внешняя единичная нормаль к поверхности дDi, ez - единичный вектор декартовой системы координат, направленный вдоль оси Z, а Еар - плоскость раздела областей Da и Dp. Подчеркнем, что в области D1 полное поле включает в себя падающую и зеркально отраженную от поверхности призмы плоские волны, а в области D0 - преломленную по закону Снеллиуса волну, которая при определенных условиях превращается в неизлучающую. Полагаем, что поверхность частицы является гладкой, т.е. дDi с C2, а параметры сред удовлетворяют условиям 1те^, | < 0 (что соответствует зависимости полей от времени (0 вида ехр{ jюt}). Тогда граничная задача (1) имеет единственное решение.
Будем следовать основным этапам схемы построения приближенного решения, изложенной в [10]. Сначала решим задачу дифракции поля плоской волны (Е0, Н0} на плоскослоистом интерфейсе (в отсутствие частицы). Это возможно сделать аналитически и получить в результате поле
внешнего возбуждения (Е°°, Н0} в каждой из областей Dz, которое в точности удовлетворяет условиям сопряжения на плоскостях раздела сред (г = 0, й) и условиям на бесконечности. После этого перейдем к построению приближенного решения граничной задачи (1) для рассеянного поля
(Е(, Н }, в областях Dz, £ = 0,/, 1, и полного поля внутри частицы Di на основе базовой концепции МДИ. В силу предыдущего ось симметрии частицы перпендикулярна к границам раздела слоистой среды. Суть МДИ состоит в представлении поля в виде конечной линейной комбинации полей мультиполей, которые удовлетворяют системе уравнений Максвелла в областях Dz, £ = 0, /, 1, г, условиям на бесконечности для рассеянного поля в D0t / 1, а также условиям сопряжения для тангенциальных компонентов полей всюду на границах слоистого интерфейса Н1/ и Е/0. Тогда решение граничной задачи рассеяния (1) сводится к решению задачи аппроксимации поля внешнего возбуждения на поверхности частицы полями заданных мультиполей. Таким образом, определение неизвестных амплитуд дискретных источников (ДИ) производится из условий сопряжения только на поверхности частицы дDi, которые принимают вид
пр х(Е; - Е0) = пр х Е0, пр х(Н; - Н0) = пр х Н0 на дDi.
(2)
Здесь (Е0, Н0 } представляет собой поле преломленной волны в D0. Следовательно, задача дифракции (1) сведена к решению задачи аппроксимации поля преломленной в D0 волны на поверхности частицы (2) полями заданных мультиполей.
В основу построения рассеянного поля вне частицы положим тензор Грина слоистой среды, который имеет вид [11]
аек (м, м о) =
в
е, к
о
ве'
о
дge' к/дХм дge'к/дум в
При этом компоненты тензора могут быть записаны в виде интегральных представлений Зом-мерфельда
в
е'к(М, Мо) = | Jо (Xг) ^е1к(X, г, го Я,
г (м, мо) = | J0(X г) v3¡к (X, г, го )Х йХ,
где k - волновое число в области принадлежности
2 2 точки м, Ямм0 = г2 + (г - г0)2, г2 = р2 + ро - 2рр0ео8(ф -
- ф0), J0(.) - цилиндрическая функция Бесселя, (р0, ф0, г0) - цилиндрические координаты точки м0. Спектральные функции электрического и
е, к е, к ^
магнитного типов Vп , у31 обеспечивают выполнение условий сопряжения на границах соответствующей слоистой среды. В данном конкретном случае они имеют следующие представления:
V е1к (X, г, го) =
Г ехр {-По г - го } .е, к,- ч Г , ,,, -п-+ Ап (X, го) ехр{-ПоIг - й|},
"По
г > й, го > о,
Беи к (X, го) ехр { -п/|г - й|} + + С^, го) ехр { -п /г },
й > г > о,
De1к(X, го)ехр{пг}, г < о,
V 31к (X, г, го) = ' А31к(X, го)ехр{-ПоIг - й|}, г > й, го > о, В31к(X, го) ехр{-п/|г - й\} + + С31 к(X, го)ехр { -п/г },
й > г > о,
, е, к ,
ID3iк(X, го)ехр{п 1 г}, г < о,
о
о
о
где п2 = X2 - к2. Спектральные коэффициенты А, В, С и Б определяются из следующих соотношений [11]:
юшую ветвь косинуса 90. Сказанное выше приво-
[ V п ] =
i dV-i ■
| dz .
= 0, [ V п ] =
1 dvu ■
£ d z
= 0,
Г1 e 1 = o, " 1 dv3f ■ 1 " e
-V 31 L| 31J _£| дz _ £| V11
1h = o, h " 1 д V з f ■ 1 ■ h
-V 31 £ 31 _£| dz — £| V11
Eo = Tp{ - ex cos 9o + ez sin 9o}% o,
H° = -TPnoey ^ Xo = exp { -jko (x sin 9o + z cos 9o)}.
(3)
rp, s _ T f Tp0s exp ( -jkfcos 9 f rf)
1 + Rip'fsRp/0s exp (-2 jkf cos 9 fd)
(4)
tP
ГДе Tae =
2«aCos 9a
«a cos 9p + «в cos 90
Будем строить приближенное решение таким образом, чтобы оно учитывало не только осевую симметрию рассеивателя, но и поляризацию внешнего возбуждения [12]. Рассмотрим случай возбуждения ^-поляризованной плоской волны, поле которой в области Б0 принимает вид
Здесь п^ = Т^сЦ - индекс рефракции в Б^, к^ = кп^ 90 - преломленный угол, под которым волна проходит в Б0, а Тр - коэффициент преломления, который имеет вид
дит к выражению cos90 = -j^ sin 90 - 1, которое справедливо во всем диапазоне углов преломления 90 е [0, п/2).
Поскольку поверхность частицы dD¿ представляет собой поверхность, образованную врашени-ем образуюшей вокруг оси OZ, то резонно перейти от задачи аппроксимации для полей на поверхности к последовательному решению задач сопряжения на образуюшей поверхности враше-ния для фурье-гармоник полей по азимутальной переменной ф. В этом случае обоснован выбор в качестве источников мультиполей низшего порядка, распределенных вдоль оси симметрии OZ. Эта система электрических и магнитных мультиполей порождается потенциалами следуюшего вида:
Am«, x e xG m (p, z, zo) - ezg m +
1(p, z, zo)cosф, Amny = eyGemh(p, z, zo) - egm ++1 (p, z, zo) sinф, (5)
Am«, z = ezGm (p, z, zn).
Здесь ex, ey, ez - базисные векторы декартовой системы координат, а соответствуюшие азимутальные гармоники Фурье компонентов тензора Грина могут быть представлены в виде интегралов Вейля-Зоммерфельда
G
mh (p, z, zo) = J Jm (^p)V 11h (K z, zo )K1 + "'dK (6)
- коэффициенты
P «acos9p - «вcos9a
преломлениЯ на *ae, Rae = «a^ s 9 в + «,O s 9 a " коэффициенты отражения, соответствуюшие р-поляризованному излучению [13], а 9f - угол, под которым волна проходит в слой Df.
Как известно, соотношения Снеллиуса применительно к рассматриваемой слоистой среде, в
«1
частности, дают sin 90 = — sin 91. В силу того что
«o
|n1l > l«01 (показатель преломления стекла больше, чем показатель преломления воды или воздуха), при увеличении угла падения 91 в диапазоне от 0 до п/2 возникает ситуация, при которой |sin 901 > 1. Тогда в верхнем полупространстве
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.