ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА И МЕХАНИКА
Том 77. Вып. 1, 2013
УДК 533.6.011.55
© 2013 г. И. Г. Брыкина, Б. В. Рогов, Г. А. Тирский, В. А. Титарев, С. В. Утюжников
СРАВНИТЕЛЬНЫЙ АНАЛИЗ ПОДХОДОВ К ИССЛЕДОВАНИЮ ГИПЕРЗВУКОВОГО ОБТЕКАНИЯ ЗАТУПЛЕННЫХ ТЕЛ В ПЕРЕХОДНОМ РЕЖИМЕ
Рассматриваются гиперзвуковые течения вязкого совершенного разреженного газа около затупленных тел в переходном режиме обтекания от континуального к свободномолекулярному, характерном для входа космических аппаратов в атмосферу Земли на высотах выше 90—100 км. Двумерная задача гиперзвукового обтекания исследуется в широком диапазоне чисел Кнудсена набегающего потока с использованием как континуальных, так и кинетических подходов: путем численного и аналитического решений континуальных уравнений, путем численного решения кинетического уравнения Больцмана с модельным интегралом столкновений в виде 5-модели, а также методом прямого статистического моделирования Монте-Карло. Континуальный подход основан на использовании асимптотически согласованных моделей тонкого вязкого ударного слоя и вязкого ударного слоя. Для модели вязкого ударного слоя предлагается уточнение условия для температурного скачка на поверхности тела. Проводятся сравнения между континуальными и кинетическими решениями, а также решениями, полученными методом Монте-Карло. Оцениваются эффективность, области применимости, достоинства и недостатки различных подходов.
Задачи гиперзвукового обтекания затупленных тел вязким разреженным газом в переходном режиме связаны с исследованием аэродинамики и теплообмена космических аппаратов и ме-теороидов, движущихся в верхних слоях атмосферы Земли и других планет. Переходной режим обтекания от континуального до свободномолекулярного характеризуется большими числами Кнудсена набегающего потока Кида (примерно 0.1 < Кида < 30, границы переходного режима в шкале чисел Кида зависят от конкретной задачи: формы тела, свойств поверхности, скорости), или малыми числами Рейнольдса Яеда и Яе, определяющими степень разреженности газа:
Кп „ = ±, X = / (со)-^—^, / (ш) = (7 - 2Ю>(5 - 2Ю>
2
_ р хУх _ р схУх т _
х ) ' цГо) ' 2ср
Здесь — средняя длина свободного пробега в набегающем потоке [1], рда, Тда и = ц(Тда) — скорость, плотность, температура и коэффициент вязкости набегающего потока, Я0 — радиус кривизны тела в его вершине, ц0 = ц(Т0) — коэффициент вязкости при температуре Т0, ср — удельная теплоемкость при постоянном давлении, Я* — удельная газовая постоянная; полагается, что коэффициент вязкости ц степенным образом (с показателем степени ю) зависит от температуры газа Т: ц - Т®, что соответствует межмолекулярному взаимодействию сфер с переменным ("дышащим") диаметром. Обычно для длины свободного пробега используется формула, соответствующая молекулярной модели сфер с фиксированным диаметром, при этом ю = 0.5, что соответствует /(ю) = 1. Однако в реальных газах 0.6 < ю < 0.9, поэтому следует учитывать предложен-
ный Бердом [1] поправочный коэффициент /(ю), соответствующий модели сфер с переменным диаметром.
В последние годы для решения задач гиперзвукового обтекания тел разреженным газом в переходном режиме начал развиваться континуальный подход [2—4], который основан на использовании асимптотически согласованной модели вязкого ударного слоя с учетом в граничных условиях на головной ударной волне и в условиях для скорости скольжения и температурного скачка на теле членов, связанных с кривизной обтекаемой поверхности, существенных при малых числах Рейнольдса, и асимптотически согласованной модели тонкого вязкого ударного слоя, которая дает для коэффициентов теплопередачи, трения и давления правильные свобод-номолекулярные пределы, когда число Рейнольдса стремится к нулю. Термин "асимптотически согласованная модель" означает, что в уравнениях и граничных условиях учитываются все члены одного порядка и не учитываются члены более высокого порядка малости (имеется в виду порядок введенного малого параметра % [2], существенного в переходном режиме обтекания).
В настоящей работе, продолжающей предыдущие исследования [2—4], получил дальнейшее развитие континуальный подход — улучшается граничное условие для температурного скачка на поверхности в модели вязкого ударного слоя, что приводит к уточнению коэффициента теплопередачи и температуры вблизи поверхности. Кроме того, в отличие от предыдущего подхода [2—4], моделирование гиперзвукового течения разреженного газа около затупленных тел проводится не только в рамках континуальных моделей, но также методом прямого статистического моделирования Монте-Карло и путем численного решения кинетического уравнения Больцма-на с 8-модельным интегралом столкновений. Если метод Монте-Карло является общепринятым для решения таких задач в переходном режиме, то решение кинетического уравнения Больцмана даже с модельным интегралом столкновений до сих пор представляет сложную вычислительную проблему для гиперзвуковых течений, и ее решение в данной работе является определенным шагом в направлении применения кинетических методов к задачам гиперзвукового обтекания. Проводится сравнение между решениями, полученными в рамках различных подходов, для оценки эффективности этих подходов, области применимости и целесообразности их применения в переходном режиме.
1. Континуальные модели течения. Континуальный подход к решению задач гиперзвукового обтекания затупленных тел разреженным газом, применяемый в данной работе, основан на использовании двух асимптотически согласованных моделей — тонкого вязкого ударного слоя (ТВУС) и вязкого ударного слоя (ВУС). Первоначально уравнения ТВУС и ВУС были предложены для умеренных и больших чисел Рейнольдса Яе §> 1 соответственно Ченгом [5] и Дэвисом [6] и в дальнейшем использовались только для режимов обтекания в этом диапазоне.
Правомерность применения этих уравнений при малых числах Яе была показана [2] путем асимптотического анализа уравнений Навье—Стокса: показано, что уравнения ТВУС и ВУС асимптотически строго выводятся из уравнений Навье-Стокса при малых числах Яе в предположении малости обнаруженного в работе параметра подобия х, существенного в переходном режиме обтекания. Были выведены [3, 4] асимптотически корректные, согласующиеся с уравнениями, граничные условия для моделей ТВУС и ВУС на головной ударной волне (УВ) и на поверхности тела при малых числах Яе.
Асимптотически согласованная модель ТВУС при Яе 1 отличается от общепринятой модели Ченга [5] отсутствием члена с продольной составляющей градиента давления в уравнении импульсов, являющегося внепорядковым при малых числах Яе, и более точным уравнением сохранения массы на УВ, учитывающим все члены одного порядка, в обобщенных условиях Ренкина—Гюгонио. Асимптотически корректными условиями на поверхности для этой модели являются условия прилипания и отсутствия температурного скачка, поскольку эффекты скольжения — скорость скольжения и скачок температуры — оказываются внепорядковыми (постановка таких граничных условий на теле также отличается от общепринятой точки зрения). Именно такая модель ТВУС при Яе ^ 0 дает правильные свободномолекулярные пределы (с коэффициентом аккомодации, равным единице) [7] для коэффициентов теплопередачи, трения и давления. В работе используются уравнения и граничные условия для модели ТВУС, приведенные ранее [3] для осесимметричных и плоских течений.
Асимптотически согласованная модель ВУС отличается от общепринятой модели Дэвиса [6] граничными условиями как на УВ, так и на теле. Асимптотически корректные граничные условия на УВ учитывают члены, связанные с ее кривизной, существенные при малых числах Яе и отсутствующие в модели Дэвиса. Условия для скорости скольжения и температурного скачка на теле отличаются от условий скольжения в модели Дэвиса учетом кривизны поверхности, диссипативных членов и наличием множителя, связанного с температурой поверхности. Использование корректных граничных условий на УВ и на поверхности приводит к обобщению и значительному расширению области применимости модели ВУС в переходном режиме, существенно уточняя предсказываемые значения тепловых потоков и напряжения трения. Уравнения ВУС и граничные условия на УВ для осесимметричных и плоских течений приведены ранее [4]. Что касается граничных условий на поверхности тела, то в данной работе предлагается дальнейшее их уточнение.
Для модели ВУС используются следующие условия для скорости скольжения и температурного скачка на поверхности:
= 2-6 f ( \_16__ц (du -и_)
" 6 f (Ю)5л/2П Re„(sT)i/2pUy R)
т т ,2 -а' w \ 16 2у ц
T = Tw +-f (ю)—т=----,п
а' V ЯТж (у + 1)Re„(sT) р
(1.1)
Pr dy ^dy Rj
Tw] ±ST + 2u(duu - u
Здесь TT0 — температура, TwT0 — температура поверхности тела, Vju — касательная к поверхности составляющая скорости, ррж — плотность, — коэффициент вязко-
сти, б = (у — 1)/(2у), у = cp/cu — отношение удельных теплоемкостей, Pr — число Прандтля, RR0 — радиус кривизны контура тела, y — нормальная к поверхности координата, отнесенная к R0, 9 — коэффициент диффузного отражения и а' — коэффициент аккомодации (при расчетах принимались равными единице).
Граничные условия на поверхности (1.1) отличаются от условий [6], в которых отсутствует член u/R, диссипативные члены u(du/dy — u/R) и множитель (Tw/T)a перед градиентом температуры. Обычно в условиях скольжения не учитываются диссипативные члены и множитель Tw/T. Введение множителя (Tw/T)a с переменным параметром а в условие для температурного скачка (обычно этот множитель полагается равным единице, т.е. а = 0, иногда присутствует множитель Tw/T , т.е. а = 1) является попыткой описать с помощью граничных условий (1.1) путем изменения параметра а режимы течения как с малыми, так и с большими скачками температуры. На основании сравнения с расчетами температурного скачка методом прямого статистического моделирования Монте-Карло [8] (приведенного ниже на фиг. 1) для KnM > 0.1 предлагается рассчитывать показатель степени а в зависимости от числа Кнудсена набегающего потока KnM
а = 0.74 - O.iilnKn^ (1.2)
Для KnM < 0.1 решения для температурного скачка при 0 < а < 1 практически с
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.