ОПТИКА И СПЕКТРОСКОПИЯ, 2015, том 118, № 1, с. 163-168
НЕЛИНЕЙНАЯ И КВАНТОВАЯ ОПТИКА
УДК 537.87+537.9
СТАБИЛИЗАЦИЯ ФОРМЫ УЕДИНЕННОЙ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЙ ВОЛНЫ В ГРАФЕНОВОЙ СВЕРХРЕШЕТКЕ ВЫСОКОЧАСТОТНЫМ
ЛАЗЕРНЫМ ИЗЛУЧЕНИЕМ © 2015 г. С. В. Крючков*, **, Е. И. Кухарь*
*Волгоградский государственный социально-педагогический университет, 400066Волгоград, Россия **Волгоградский государственный технический университет, 400005 Волгоград, Россия
E-mail: eikuhar@yandex.ru Поступила в редакцию 07.07.2014 г.
Исследовано влияние высокочастотного электромагнитного излучения на распространение уединенных электромагнитных волн в графеновой сверхрешетке с учетом диссипации. Найдено выражение для потенциала диссипативного солитона. Показано, что форма диссипативного солитона зависит от амплитуды высокочастотного излучения. Найдены интервалы амплитуд высокочастотного поля, для которых в графеновой сверхрешетке формируются два типа диссипативных солито-нов. Показано, что площади этих солитонов регулируются изменением амплитуды высокочастотного излучения.
DOI: 10.7868/S0030403415010146
ВВЕДЕНИЕ
Возможности использования графеновых структур в оптоэлектронике обусловливают повышенный интерес среди исследователей к изучению нелинейных электрических и оптических эффектов в таких материалах [1—8]. Оптические свойства графена исследовались теоретически и экспериментально в [2—4, 9—13]. Изученные нелинейные оптические свойства графеновых структур открывают новые перспективы в оптоэлектронном приборостроении [8, 14—16]. В [3,11] обсуждалось применение графеновых структур для генерации электромагнитного (ЭМ) излучения терагерцово-го (ТГц) диапазона. В [8, 15, 16] продемонстрировано использование поглотителя на основе гра-фена для генерации ЭМ импульсов длительностью менее чем 200 фс.
Интерес к электронному транспорту в графе-новых сверхрешетках (ГСР) [3, 13, 17—23] вызван возможностями использования сверхрешеток (СР) в качестве рабочей среды генераторов и усилителей ТГц ЭМ излучения [24, 25], а также для формирования уединенных ЭМ волн [26—31]. Например, для генерации солитонов в полупроводниковой СР требуются меньшие электрические поля (~1 кВ/см), чем в объемных кристаллах [26]. Распространение ЭМ 2я-импульса в ГСР теоретически изучено в [30, 31].
Формирование нелинейных волн в полупроводниковых структурах связано с движением электронов в поле волны как целого. Такое коллективное поведение электронного газа разрушается за время, равное по порядку величины вре-
мени релаксации [26,29]. Это приводит к сильному затуханию солитонов, что является препятствием их использованию для передачи информации на большие расстояния. В полупроводниковых СР, например, длина пробега ЭМ солитона составляет менее 1 мм. Поэтому в настоящее время актуален поиск способов усиления и стабилизации формы уединенных ЭМ волн [32,33]. Подвижность носителей заряда в графене (которая определяется временем релаксации) значительно превышает подвижность носителей заряда даже в относительно чистых полупроводниковых СР [1]. Это позволяет надеяться, что использование ГСР значительно увеличит длину пробега уединенных ЭМ волн.
В [27, 34, 35] для стабилизации формы солитона в полупроводниковой СР предлагалось использовать высокочастотное (ВЧ) лазерное излучение. Наличие дополнительного ВЧ излучения приводило к динамической модификации электронного спектра СР так, что при определенных амплитудах ВЧ поля последняя становилась средой с инверсной населенностью. В [27] показана возможность формирования в полупроводниковой СР так называемого диссипативного солито-на, причем в достаточно мощном ВЧ поле время пробега солитона значительно увеличивается. Аналогичная ситуация рассмотрена в [34, 35], где показано, что учет второй гармоники в электронном спектре полупроводниковой СР приводит к принципиально новым результатам.
Модификация электронного спектра графеновых структур в ВЧ ЭМ поле изучалась в [36—38],
163
11*
где предсказано динамическое наведение щели в изначально бесщелевом графене. Квазиэнергетический спектр ГСР, подверженной ВЧ ЭМ излучению, найден в [39], где изучено влияние ВЧ поля на распространение уединенных ЭМ волн в идеальной (без диссипации) ГСР.
Ниже исследуется стабилизация ВЧ ЭМ излучением формы уединенной ЭМ волны, распространяющейся в ГСР с учетом диссипации. Показано, что в ГСР возможно формирование дисси-пативного солитона. Однако в отличие от полупроводниковой СР площадь диссипативного солитона в ГСР зависит от амплитуды ВЧ поля.
УСИЛЕНИЕ УЕДИНЕННОЙ ЭМ ВОЛНЫ, РАСПРОСТРАНЯЮЩЕЙСЯ В ИДЕАЛЬНОЙ ГСР
Один из способов изготовления ГСР основан на создании пространственной модуляции щели, наводимой в графене подложкой, состоящей из периодически чередующихся слоев БЮ^БЮ [17, 20]. В [19—22] показано, что электронный спектр такой структуры может быть записан в виде
е (p) = Ja2 + pXvF + д? |1 - cosZd |,
где vF = 10 см/с — скорость на поверхности Ферми, ху — графеновая плоскость, Оу — направление чередования слоев (ось ГСР), й — период ГСР, параметры А, Д1 задаются в процессе изготовления ГСР и определяются прозрачностью формируемых в графене энергетических барьеров. Численный анализ [20] показал, что в случае подложки из периодически чередующихся слоев БЮ^БЮ
Д~ 0.13 эВ, Д1 ~ 0.1Д.
Рассмотрим ситуацию, когда ГСР находится в поле двух ЭМ волн. Одна из этих волн является синусоидальной ВЧ волной, распространяется перпендикулярно графеновой плоскости и описывается векторным потенциалом
AHF =
cE,
HF
ю
-sin(®t), 0
где ЕНР — амплитуда электрического поля ВЧ волны. Вторая волна с векторным потенциалом А распространяется так, что ее плоскость поляризации совпадает с графеновой плоскостью, а напряженность электрического поля направлена вдоль Оу. Форма последней волны определяется из уравнения д'Аламбера, записанного с учетом электрического тока, наводимого ЭМ полем вдоль Оу.
Пусть температура 0 и частота ВЧ излучения ю удовлетворяют условиям
J-2 2
ПоП vF щ
А
Щ А,
ю > юр1,
(1) (2)
где ю pl = 2nn0e 2k\d2 / Й2а0Д — плазменная частота, a0 — толщина графенового слоя, n0 — поверхностная концентрация свободных носителей заряда в графене. Кроме того, считаем <§ Д. В этом случае, как показано в [39], уравнение д'Аламбера, записанное для ЭМ поля с потенциалом A, принимает вид уравнения double sine-Gordon:
д 2ф _ 2 dt2 дх2
л2
+ ™Pi (D(a) sin ф + 2yG(a)sin^)) = 0,(3)
дх
где ф = edAyjhc, a = edE^/Йю, у = (Д^Йю)2,
D (a) = J о (a) + Op £
И)
8 ^+1)2
да
J„
+ J,
к+2
G (a) = Z
(-1)"1Л (a) к2
к=1
1к (а) — функция Бесселя целого порядка. Одним из решений уравнения (5) является потенциал, описывающий уединенный ЭМ импульс, площадь которого может регулироваться изменением амплитуды ВЧ поля [39].
Случай 4у \0 (а) > Б (а) соответствует неустойчивым кинкам [40—42]. В этой ситуации возможно автомодельное решение уравнения (3), отвечающее усилению ЭМ импульса. Численный расчет, выполненный для у = 0.1, показывает, что значения параметра а, удовлетворяющие условию неустойчивости кинка, лежат в одном из следующих интервалов: [4.359, 5.671], [10.679, 11.951] и т.д.
Введем новые переменные 2, = ю р1 (М + х)/2с и П = юр1 - х)!2с. Тогда вместо (3) имеем
■ cos
ф)
(4)
д 2
-2JL = -4 yG sin ф ( +
д^дц
где X = D(a)/4yG(a), < 1. Для автомодельной переменной u = Ъ,ц уравнение (4) перепишется в виде
ud-фф + — = - 4у G sin ф (Я, + cos ф). du du
(5)
Уравнение (5) имеет регулярные при х = ±а решения. Эти решения таковы, что производная фи по переменной и представляет собой волновой пакет, монополярный в окрестности точки и = 0.
да
СТАБИЛИЗАЦИЯ ФОРМЫ УЕДИНЕННОЙ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЙ ВОЛНЫ
165
<£>/Д 1.010
0.005
1.000
4.359 5.671
ß — феноменологическая постоянная [29]. В результате имеем
8 a
Рис. 1. Зависимость средней энергии электронов от амплитуды ВЧ поля.
Напряженность электрического поля связана с решением уравнения (5) следующим соотношением:
Ey (x, t) = ф; (x, t). ced
(6)
52 ^2 Ф c2 д_Ф + п5ф_
dt2 öx2 dt
(7)
юр1 (D (a)sin ф + 2yG (a)sin^)) = 0.
Как видно из (6), по мере распространения ЭМ импульса его амплитуда возрастает. Отметим, что аналогичная ситуация исследована в [27, 43] для системы, описываемой уравнением 8ше^ог-ёоп. Как и в [27, 43], усиление импульса связано с сильным перераспределением электронов по ми-низоне, вызванным действием ВЧ ЭМ излучения.
Зависимость энергии электронов (б), усредненной по каноническому ансамблю и периоду ВЧ волны, от амплитуды ВЧ волны показана на рис. 1 (температура 8 = 77.4 К). Видно, что для определенных интервалов амплитуд а ВЧ поле сильно перераспределяет электронный газ по ми-низоне, так что значение (б) превышает энергию, соответствующую середине минизоны. Заштрихованная область — область, соответствующая неустойчивым кинкам, оказывается внутри этих интервалов. ГСР в этом случае является средой с инверсной населенностью, поэтому ЭМ импульс, распространяющийся вдоль графенового слоя, должен усиливаться.
ДИССИПАТИВНЫЙ СОЛИТОН В ГСР
Усиление ЭМ импульса происходит до тех пор, пока энергия, снимаемая в инвертированной среде уединенной волной за единицу времени, не сравняется с энергией, теряемой за единицу времени за счет диссипации. Диссипация, препятствующая усилению импульса, связана как с рассеянием носителей заряда на неоднородностях графена, так и с поглощением на межминизон-ных переходах. Для учета диссипации добавим в левую часть уравнения (3) слагаемое рдф/д?, где
Известно, что в формировании солитонов в СР решающую роль играет периодичность скорости движения электронов в узкой зоне проводимости [26]. В ГСР ВЧ поле приводит не только к динамическому сужению минизоны, как в СР на основе GaAs/AlGaAs [27], но и к изменению структуры зоны Бриллюэна так, что блоховские осцилляции электронов становятся негармоническими. Следствием этого, в частности, является влияние ВЧ поля на площадь солитонов, распространяющихся в ГСР. Если амплитуда ВЧ поля a является нулем функции D (a), то период обратной решетки уменьшится в 2 раза по сравнению со случаем отсутствия ВЧ излучения [39]. В этой ситуации в
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.