ОПТИКА И СПЕКТРОСКОПИЯ, 2004, том 96, № 5, с. 790-795
ТРЕТИЙ СЕМИНАР ^^^^^^^^^^^^ ПАМЯТИ Д.Н. клышко
УДК 535.14
СТАТИСТИКА ФОТОНОВ ПРИ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫХ ПАРАМЕТРИЧЕСКИХ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯХ СВЕТОВЫХ ВОЛН
С НЕКРАТНЫМИ ЧАСТОТАМИ
© 2004 г. А. В. Родионов, А. С. Чиркин
Московский государственный университет им. М.В. Ломоносова, 119992 Москва, Россия
E-mail: chirkin@squeez.phys.msu.su Поступила в Редакцию 17.07.2003 г.
Рассмотрены квазисинхронные последовательные трехчастотные взаимодействия волн с некратными частотами. В приближении заданного поля низкочастотной накачки в представлении Гейзен-берга развита квантовая теория процесса параметрического усиления. Показано, что при определенном выборе порядков квазисинхронизма можно осуществить режим экспоненциального роста среднего числа фотонов взаимодействующих волн. При этом статистика фотонов генерируемых волн является суперпуассоновской. Обсуждена корреляция флуктуаций чисел фотонов между различными частотами.
1. ВВЕДЕНИЕ
Последовательные трехчастотные взаимодействия световых волн - новый класс нелинейно-оптических взаимодействий, которые удается осуществить в оптических кристаллах с регулярной доменной структурой (РДС) или, в английской терминологии, в периодически поляризованных нелинейных кристаллах (см. обзор [1]). В РДС-кристалле можно реализовать условия квазисинхронных взаимодействий для двух связанных процессов таким образом, что протекание одного из них определяется в значительной мере эффективностью другого. К настоящему времени при последовательных взаимодействиях наблюдалась генерация третьей оптической гармоники (см. цитируемую литературу в [2]).
Развитые ранее классическая и квантовая теории последовательных нелинейно-оптических взаимодействий относятся к взаимодействиям волн с кратными частотами ю, 2ю и 3ю. Особый интерес здесь представляет процесс параметрического усиления волны с частотой 3ю в поле низкочастотной накачки с частотой 2ю. При этом на первом этапе реализуется процесс вырожденного параметрического усиления при высокочастотной накачке, т.е. рождаются фотоны с частотой ю. Последние, складываясь с фотонами накачки, приводят к рождению сигнальных фотонов с частотой 3ю. В рассматриваемом процессе на частотах ю и 3ю может быть сформирован свет как в квадратурно-сжатом состоянии [3], так и с субпу-ассоновской статистикой фотонов [4, 5]. Интересно отметить, что энергия волны накачки с частотой 2ю может быть полностью преобразована в энергию волны с частотой 3ю [1, 6-8].
Цель настоящей работы - разработка квантовой теории параметрического усиления при низкочастотной накачке для случая некратных частот взаимодействующих волн. На первом этапе речь идет о невырожденном трехчастотном параметрическом процессе
ю „ = ю, + ю2
(1)
где юр - частота накачки, ю1 и ю2 - частоты рождающихся волн, а на следующем этапе имеем дело с процессом генерации суммарной частоты
ю3 = ю „ + ю,
(2)
Недавно показано [2], что такие последовательные квазисинхронные взаимодействия можно реализовать в кристалле ЫКЬ03. В [2] рассчитаны перестроечные кривые для процессов (1), (2). Основное внимание в данной работе уделено анализу статистики фотонов полей, рождающихся на частотах ю1, ю2 и ю3 при интенсивной накачке частоты юр.
Структура работы следующая. В разд. 2 приведены классические уравнения для процесса параметрического усиления при низкочастотной накачке для волн с некратными частотами и дан краткий анализ этих уравнений. В разд. 3 изложен переход от классических уравнений к квантовым и определен гамильтониан взаимодействия. Решение квантовых уравнений для рассматриваемого процесса, а также анализ статистики фотонов на генерируемых частотах и корреляции фотонов разных частот представлены в разд. 4.
2. КЛАССИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
Процесс параметрического взаимодействия в РДС-кристалле волн с некратными частотами, удовлетворяющим соотношениям (1) и (2), описывается следующими укороченными уравнениями для случая плоских волн [2]:
й-А = - 4 * (*)
* - Ак1*
- /р<2) * (*) Аз А* в-4"*, = - (*) А,А* в^,
<Аз й* йАр й*
- Р32) * (*) АрА1^'",
•Ак2г
(3)
= -•рр1)* (*) А1А2 в
1А к1 г
- ¿РР2) * (*) Аз А** в Здесь А, - комплексная амплитуда волны с часто-
а( 1, 2) 2пЮ; (1, 2) той ю;, р , = —-—г- а еГ - модуль нелинейного ■ ■ сп(ю])
коэффициента связи волн, причем верхний индекс относится к взаимодействию (1) или (2) соответственно, п(ю,) - показатель преломления на
частоте Ю,, а коэффициент й 2) учитывает геометрию взаимодействия волн и нелинейность кристалла. Функция *(*) описывает модуляцию нелинейного коэффициента; она принимает значения +1 или -1 в пределах отдельного слоя. Ак1 = к1 + к2 - кр и Ак2 = к3 - к1 - кр - фазовые расстройки, связанные с процессами (1) и (2) соответственно.
В общем случае систему уравнений (3) не удается решить аналитически. Однако при некоторых физически разумных предположениях эта система уравнений может быть приведена к виду, имеющему аналитическое решение. Такие предположения заключаются в следующем. Во-первых, для эффективного энергообмена между взаимодействующими волнами необходимо выполнение условий квазисинхронизма
* -1Ак2*
А к 1 =
2 п т1 "А"'
А к 2 =
2п т2
Л
(4)
ли амплитуды взаимодействующих волн слабо изменяются на длине Л, можно произвести усреднение уравнений (3) по периоду Л.
При сделанных предположениях систему уравнений (3) можно привести к виду
<аА - - ,у(1)А ,у(2)*А а*- - 111 А2 1! 1 Аз,
<аА = 7( 1) А *
й* - 172 А* '
<А = 17(2) А а* - -гУз А1'
где у(= (2 р,(1) /пт1)Ар, , = (2 р(2) /пт2)Ар. Решение системы (5) имеет вид
(5)
• у (1) _
А1(*) - АюС08(к*) --— А*о 8Ш(к*) -
к
(2)*
IУ1
к
- Азо81п (к * )'
•у ^ *
А2(*) - А20------- А*о81п(к*) +
к
(6)
у( 1)у(1) У(2) *у(1)
+ ^Ц2-А2о(1 - С08(к*)) + А*о(1 - С08(к*))'
кк
• (2) ч з
Аз(*) - Азо- —А^яп(к*) -к
(1) (2) у 1 у з
к
2 А*0(1 - С08 (к*)) -
(2) * (2) у 1 у з
^--р- Азо(1-С08 (к * ))' к
где коэффициент т, = ±1, ±3, ... (; = 1, 2) означает порядок квазисинхронизма, а Л - период модуляции нелинейной восприимчивости. Условия (4) полагаем выполненными. Во-вторых, считая волну накачки достаточно интенсивной, пренебрегаем обратным действием на нее волн с частотами Юх, Ю2, Ю3, т.е. используем приближение заданного поля волны накачки: Ар(*) = Ар(* = 0). Наконец, ес-
где А;0 = А,(* = 0) - начальные значения амплитуд
2 (2)* (2) (1) (1)* волн и к2 = у 1 у з - у 1 у 2 .
Пространственная динамика взаимодействующих волн зависит от знака к2. При к2 > 0 имеет место осцилляционная зависимость интенсивностей взаимодействующих волн от длины взаимодействия. При к2 < 0 наблюдается экспоненциальное нарастание интенсивностей взаимодействующих волн с ростом длины взаимодействия, характерное для параметрической неустойчивости.
Отметим, что осцилляционный режим характерен для однородных кристаллов, поскольку для
(2)* (2)
(1) (1)*
них у 1 у з > у 1 у 2 . Режим экспоненциального роста интенсивностей волн (к2 < 0) может быть реализован в кристаллах с регулярной доменной структурой путем соответствующего выбора порядков квазисинхронизма т1 и т2. Именно такой режим взаимодействия волн представляет
наибольший интерес с практической точки зрения. Другие свойства последовательных параметрических взаимодействий с некратными частотами обсуждаются в [2]. Представляет интерес обобщение теории рассмотренного процесса на квантовый случай.
3. КВАНТОВЫЕ УРАВНЕНИЯ
Переход от классических уравнений (5) к квантовым уравнениям нелинейного взаимодействия волн можно осуществить заменой напряженности электрического поля оператором. При этом комплексные амплитуды А- и А * следует заменить соответственно на операторы уничтожения а- и
рождения а+ фотона с частотой ю,-:
Aj —► iC( Wj)äj, A * —► -iC( Wj)ä+,
С(ю j) =
2 n h fflj
\n (a¡)V
(7)
где V - объем квантования, а операторы а - и а+ удовлетворяют коммутационным соотношениям
[ а -, а+] = 8-, где 8- - символ Кронекера.
Подставим выражение (7) в (5), пренебрегая различием показателей преломления на частотах ю1, ю2 и ю3: п = п(ю1) = п(ю2) = п(ю3). В результате квантовые уравнения имеют вид
йа1
dz
= - i Y! ä2- i Y 2*ä3,
dä2 Л+
— = -i Y i ä+,
dä3
- = —i Y 2 ä1.
(8)
Здесь введены обозначения
4 Jю i Ю2
cnm1
4 J ю1 ю
Yi
A d (1} Apdef ,
(9)
Y 2 = -
cnm2
3A d (2)
Apdef •
Системе квантовых уравнений (8) соответствует гамильтониан взаимодействия
Иш1 = 1 а+а+ + у * а! а2 + 7 2 а+а1 + 7 2*а3 а+ } (10) так, что, записывая уравнения Гейзенберга да,
ih "dZ - [ä j Hint ] >
Следует отметить, что в отличие от традиционного в квантовой теории подхода - рассмотрения эволюции во времени - мы рассматриваем зависимость операторов от пространственной координаты z. Данный подход соответствует выбору объема квантования, состоящего из двух пространственных координат x, y и одной временной vt (v = c/n - фазовая скорость волны). В случае попутного взаимодействия волн такой подход сводится к замене t = z/v. Обоснование такого подхода изложено в [9]. Уравнения, описывающие эволюцию операторов в пространстве, более строго можно получить, используя оператор импульса для взаимодействующих волн [10].
Из уравнений (8) нетрудно получить уравнение для операторов чисел фотонов П j (z) = (z) а j (z):
dn2 _ dn1 dn3
dz dz dz
(11)
Согласно (11), как числа фотонов, так и их флуктуации на генерируемых частотах связаны между собой.
4. СТАТИСТИКА И КОРРЕЛЯЦИЯ ФОТОНОВ ВЗАИМОДЕЙСТВУЮЩИХ ВОЛН
Решение системы уравнений (8) можно представить в следующем виде:
f \
äi( z) ä+( z)
ä3( z)
-iSi( z) 1 + Ci (z)
cos (rz) iS*(z)
-iS2( z) -(Y i/Y *) C2 (z) 1- C2( z)
-iS2( z) (Y */Y 1) Ci( z)
(12)
\
ä10 +
ä20 V ä30 J
Здесь а-0 = а - ^ = 0) - значение оператора на входе нелинейного кристалла,
(13)
приходим к (8).
Sj (г) = (Y /Г) sin (Г г), C (г) = (|Yj|2/Г2)(1-cos (Гг)),
где Г2 = |Y212 - lYi i2-
Из коммутационных соотношений для операторов следует, что
1 + |Si (г )| 2 + |Y 2/Y i|2C2 (г) = (1 + C (г))2, S2 (г )|2 + (1 - C2( г))2 = 1 + |y i/Y / с2( г), (14) cos2 (Гг) + S (г )|2 = г )| 2+1.
Эти выражения оказываются полезными для сравнения статис
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.