ОПТИКА И СПЕКТРОСКОПИЯ, 2004, том 96, № 4, с. 619-627
ФИЗИЧЕСКАЯ И КВАНТОВАЯ ОПТИКА
УДК 621.375.9;535.01
СУБПУАССОНОВА СТАТИСТИКА ПОДАНСАМБЛЕЙ ПОЛЕВОЙ МОДЫ МИКРОМАЗЕРА
© 2004 г. Г. П. Мирошниченко
Санкт-Петербургский государственный университет информационных технологий, механики и оптики,
197101 Санкт-Петербург, Россия E-mail: mirosh@mkk.ifmo.ru, gpmirosh@yahoo. com Поступила в Редакцию 25.02.2003 г.
Для селекции во времени подаисамблей полевой моды предложено использовать результат косвенных измерений - среднюю относительную частоту отсчетов детектора, селективного по состояниям вылетающих из микромазера атомов. Аналитические выражения для рудуцированной матрицы плотности, среднего числа фотонов, ^-параметра Манделя подансамблей моды получены методом периодических траекторий. Генерация случайной последовательности результатов косвенных квантовых измерений выполнена с помощью метода Монте-Карло. Сопоставлены результаты аналитических и численных расчетов. Обнаружено, что статистика подансамблей является субпуассо-новой даже в том случае, когда расчет с матрицей полного ансамбля (в отсутствие квантовых измерений) дает суперпуассонову статистику. Отмечено, что временная селекция подансамблей возможна для ограниченного интервала изменений параметра накачки 0, когда вероятности квантовых скачков относительно малы.
1. ВВЕДЕНИЕ
Теория квантовых измерений, начатая работами фон Неймана [1] и Мандельштама [2], к настоящему времени превратилась в самостоятельный раздел квантовой механики [3-10]. Это направление занимает особое место в теории, так как решает вопрос интерпретации квантовой физики и разрабатывает конкретные схемы измерительных процедур - квантовых измерений, с помощью которых можно получить достаточную точность для описания квантовой динамики микросистем. Существует несколько вариантов теории квантовых измерений, каждый из которых интересен тем, что приводит, как правило, стохастическое уравнение движения индивидуальной квантовой системы в процессе совершения над ней серии последовательных измерений. Природа стохастичности связана с тем, что в конструкцию уравнения включена информация о состоянии системы, полученная в процессе очередного измерения, а характер получаемой информации в конкретном измерении абсолютно случаен.
В этой связи как объект приложения идей теории квантовых измерений интересен одноатомный мазер (микромазер), теория которого развита в работе [11]. Здесь индивидуальная квантовая система - выделенная мода микроволнового резонатора в каждом цикле действия прибора взаимодействует (и, следовательно, перепутывается) со второй квантовой системой - ридберговским атомом, который до влета в резонатор переводится на возбужденный (мазерный) уровень энер-
гии. Когда атом вылетает из резонатора (и системы перестают взаимодействовать, но остаются в перепутанном состоянии), над атомом совершается квантовое измерение энергии. По этому измерению можно косвенно судить о состоянии квантованной моды. Процесс измерения повторяется на каждом пролете атома, приводя благодаря так называемому обратному действию прибора на измеряемый квантовый объект к необычной динамике полевой моды. Интересная особенность такой задачи состоит в том, что над полевой модой совершается последовательная серия косвенных квантовых измерений, а сам измеряемый объект, атом, является источником накачки моды и измерительным зондом. Стохастическое рекуррентное соотношение, описывающее динамику моды в таком процессе, изучалось в работе [12]. Последующее развитие задача получила в работах [1315]. В экспериментальных работах [16-19] изучаются статистические свойства вылетающего из микромазера атомного пучка с помощью детектора, селективного к энергетическим состояниям атома. В работах [16-18] снята зависимость от времени относительных частот обнаружения вылетающих атомов в основном и возбужденном состояниях. В этих работах показано, что проводимые последовательные квантовые измерения дают возможность найти такие отрезки времени (далее каждый такой отрезок будет называться временем пребывания Гге8), когда относительные частоты слабо флуктуируют около определенных средних значений, а микромазер находится в квазистационарном состоянии со слабо флуктуи-
рующим значением среднего числа фотонов в моде. Смена квазистационарных состояний происходит в процессе быстро протекающего квантового скачка, при этом количество фотонов в моде изменяется на несколько десятков. В работе [19] изучена дисперсия количества атомов, обнаруженных в верхнем или нижнем состояниях за определенный интервал наблюдения. По формулам работы [20] рассчитан ^-параметр Манделя полевой моды и доказан субпуассонов характер статистики полевой моды. В работе [21], продолжением которой является данная работа, для анализа эволюции полевой моды в процессе квантовых измерений на интервалах Тге8 между квантовыми скачками (в квазистационарном состоянии) развит метод периодических траекторий. Основная идея метода состоит в том, что по измеренной средней (по интервалу Тге8) относительной частоте результатов измерений можно построить динамическое (а не стохастическое) рекуррентное соотношение, описывающее движение (средней) редуцированной матрицы плотности (РМП) полевой моды р81 для подансамбля состояний, определяемого значением средней относительной частоты. В настоящей работе динамика РМП поля микромазера как результат действия последовательных косвенных измерений изучается в приближении стопроцентной эффективности селективного атомного детектора. Использован метод периодических траекторий и с помощью метода линеаризации, приложенного к оператору развития РМП на периоде траектории, найдено аналитическое выражение для р81, получены формулы для 2-парамет-ра Манделя и среднего числа фотонов моды, пребывающей в состоянии р81. Произведено сравнение аналитических формул с численным расчетом.
2. МОДЕЛЬ МИКРОМАЗЕРА
Теория микромазера развита в работе [11] и основана на представлении гамильтониана Н в следующем виде (гамильтониан Джейнса-Кам-мингса [22]):
Н = юа1а + юЗз + g (а1 З- + а £+).
Здесь З+, З-, Зз - операторы момента группы Зи(2); а1, а - бозе-операторы рождения и уничтожения фотона, ю - частота квантовой моды резонатора, g - параметр атомно-полевого взаимодействия, А = 1. Согласно теории [11], цикл действия микромазера состоит из короткого интервала т взаимодействия полевой моды с пролетающим, первоначально возбужденным атомом и более длинного интервала Т релаксации полевой моды
к планковскому распределению. В конце этапа взаимодействия РМП поля р(т) имеет вид
р (т) = Spat (exp { -íHt } р1П ®aatexp {íHt}) =
(1)
= ( Qü + Qü) Pin-
Здесь aat - начальная матрица плотности ридбер-говского атома, pin - начальная РМП поля, Spat -операция взятия следа по состояниям атома; Qü, Qü - операторы развития на этапе взаимодействия (см. ниже). На этапе релаксации РМП развивается согласно уравнению
р (T + т) = W р (т). (2)
Здесь W - оператор развития в релаксационном процессе, который, согласно [11], представим в виде
W = 1/( 1- L/Nex) -
(3)
Здесь Ь - лиувиллиан свободного затухания поля, Иех = Я/у, Я - скорость инжекции атомов, у - скорость затухания поля. Оператор развития (3) получен в [11] с помощью усреднения экспоненциального оператора ехр( у Ь Т) по пуассонову распределению времен ожидания Т. В нижеследующих вычислениях будет использована именно эта форма оператора развития в релаксационном процессе, так как интервал времени усреднения (на котором производится вычисление частоты срабатываний селективных детекторов в работах [16-19]) гораздо больше, чем среднее время ожидания = 1/Я, и примерно равен Аtяv = Тсау = 1/у. При использовании оператора (3) модель микромазера с пуассоновым атомным пучком накачки заменяется на модель с периодическим атомным пучком с интервалом времени между атомами, равным Т„. В работе [21] показано, что такая трансформация модели практически не изменяет статистику относительных частот срабатываний детектора и упрощает анализ.
Далее будем интересоваться законом распределения чисел фотонов моды - главной диагональю РМП. Согласно [23, 24], диагонали РМП развиваются независимо. Обозначим через р^) вектор главной диагонали, введем операторы рождения а1 и уничтожения а (сохранены прежние обозначения), действующие на фоковские проекторы \п)(п | по правилу
\n){n\ = 4n + 1 \n +1){n + 1|,
a\n){n\ = jn\n - 1)(n - 1\, и перепишем (1)-(3) с помощью (4) в виде р (T) = W (Qü + Qü) Pin,
Qü = a^in2 (gT 4 ata +1)/4at a +1,
Qv = cos2 (gxjata + 1),
L = - (2nb + 1)ata - nb + (nb + 1)ajata +
it
+ пьа Цаа
Здесь пь - среднее планковское число фотонов в резонаторе. Так как Т > т, то релаксацией поля на коротком интервале взаимодействия пренебрегаем. Следуя работе [12], получим стохастическое рекуррентное соотношение (СРС), моделирующее динамику микромазера при совершении над ним последовательных квантовых измерений энергии вылетающих атомов. В данной работе ограничимся случаем стопроцентной эффективности детекторов. Для этого определим случайную переменную Е, принимающую два значения (Е = 0, 1) в зависимости от того, в основном или возбужденном состоянии детектор обнаруживает вылетающий атом, и получим СРС в виде
£ (Е )Р(I)
Р( l +1) =
Sp f (S($i) p (l ))'
(5)
S (1) = WQu , S (0) = WQd .
(6)
можно смоделировать какую-либо реализацию случайной траектории Е/ и отвечающую ей случайную последовательность векторов главной диагонали РМП внутрирезонаторного поля (см. ниже разд. 5). В течение времени пребывания Тге8 векторы главной диагонали изменяются случайным образом около некоторого среднего вектора. Определить этот средний вектор можно разными способами. В данной работе, являющейся продолжением работы [21], предложен следующий способ нахождения среднего на данном отрезке Тге8 вектора главной диагонали. Рассмотрим периодическую траекторию Е/, когда значения случайной переменной Е повторяются через период Ь. Обозначим символом (Е/ : 1 ^] ^ Ь} множество значений случайной переменной на периоде Ь. Параметры случайной траектории - ее (минимальный) период Ь, число
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.