ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА И МЕХАНИКА
Том 79. Вып. 3, 2015
УДК 531.36
© 2015 г. В. И. Никонов
СУЩЕСТВОВАНИЕ И УСТОЙЧИВОСТЬ СТАЦИОНАРНЫХ КОНФИГУРАЦИЙ В ЗАДАЧЕ О ДВИЖЕНИИ ПРОВОЛОЧНОГО ТРЕУГОЛЬНИКА И ТОЧКИ ПОД ДЕЙСТВИЕМ СИЛ ВЗАИМНОГО ПРИТЯЖЕНИЯ
Изучается плоская задача о движении треугольника, масса которого распределена на его сторонах, и материальной точки под действием сил взаимного притяжения. Находятся стационарные вращающиеся конфигурации такой системы, исследуются условия их устойчивости и бифуркаций. Устойчивыми оказываются конфигурации, на которых материальная точка достаточно удалена от треугольника и располагается на оси симметрии напротив вершины.
В случаях, когда размеры реальных притягивающихся тел крайне малы по сравнению с расстояниями, их разделяющими, оказывается удовлетворительной замена таких тел материальными точками. Совершенно иная ситуация наблюдается в случае, когда тела либо в течение всего времени движения, либо на отдельных его участках находятся на расстоянии, имеющем один порядок с размерами тел, например, при движении космического корабля и астероида под действием сил взаимного притяжения. Как правило, астероиды — тела, форма которых далека от шарообразной. Поэтому применение стандартных приближений для потенциала притяжения оказывается затруднительным — возникающие ряды плохо сходящиеся. В этом случае к описанию сил притяжения необходим поиск иных подходов, удобных как для численного, так и для аналитического исследований.
При обсуждении возможности использования триангуляции для приближения ньютоновского потенциала, было показано, что такая триангуляция оказывается более эффективной, если массу тела распределить между ребрами, а не между вершинами возникающих в ходе триангуляции (симплициального разбиения) тетраэдров [1]. В этом случае возникают потенциалы, содержащие логарифм [2]. Указанный подход естественным образом ориентирован на численное исследование движения в поле сил притяжения, представленном таким образом. Между тем, соответствующее аналитическое исследование оказывается затруднительным даже в случае, когда тело представлено единственным элементом. Так, был предложен [3] подход к исследованию динамики правильного тетраэдра. Однако особенности динамики тел в виде каркасного треугольника с произвольной постоянной плотностью каждой из сторон не исследовались. Настоящая работа отчасти позволяет заполнить этот пробел.
Вообще говоря, точных решений в задачах такого класса известно не так и много. Основное внимание уделялось исследованию существования, устойчивости и бифуркаций стационарных движений. Такие решения были найдены и исследованы в задаче о движении гантелеобразного тела и материальной точки под действием сил взаимного притяжения [4, 5] (см. также [6]), в задаче о движении взаимно гравитирующих точки и двух- и трехмерного крестообразного тела [7—10], в задаче о движении пары взаимно гравитирующих гантелей [11]. Рассматривался случай, когда в системе имеются неудерживающие связи, реализованные с помощью невесомого троса [12, 13]. Была
Л
¥
P,
Фиг. 1
рассмотрена задача о стационарном движении взаимно гравитирующих материальном точки и однородного стержня [14].
1. Основные обозначения и постановка задачи. Рассматривается движение треугольника P1P2P3 (далее для краткости — "треугольника"), составленного из однородных стержней длинами = (1, 2, 3) и массами m3 (1, 2, 3), а также точки P массы m под действием сил взаимного ньютоновского притяжения (фиг. 1). Предполагается, что треугольник и точка P остаются в одной и той же неподвижной плоскости во все время движения. Пусть C — центр масс треугольника, — центр масс системы. Без нарушения общности можно считать, что точка — начало абсолютной системы координат SXlX2Xз, неподвижной в абсолютном пространстве, оси SX1 и SX2 которой располагаются в плоскости движения.
Задача состоит в отыскании стационарных движений во вращающейся системе отсчета изучаемой механической системы и исследовании достаточных условий их устойчивости. Уравнения движения допускают интеграл энергии, а также интеграл площадей, выражающий инвариантность системы относительно поворота вокруг проходящего через точку S перпендикуляра к плоскости орбиты. Понижение с помощью этого интеграла порядка системы позволяет выписать выражения для приведенного потенциала
2
1
и - -та
и - и + и„, и -- -X, и„ --та
года (1.1)
J о
2 J ^ Р
Здесь и далее ^ — потенциальная энергия центробежных сил и UN — потенциальная энергия взаимного притяжения точки и треугольника, ^^ — постоянная интеграла площадей, J — момент инерции системы в целом относительно проходящей через точку S оси, перпендикулярной плоскости движения, G — гравитационная постоянная, а — линейная плотность сторон, ds — элемент длины, р — расстояние от точки P до точек сторон треугольника. Интегрирование в последнем равенстве (1.1) осуществляется по всему контуру треугольника.
Стационарные конфигурации, согласно теории Рауса, находятся как критические точки приведенного потенциала (1.1).
С помощью известного выражения для потенциала однородной палочки (см., например, [2]) находим
^ = - У ^п-2-; к{ = , г, = РР,, , = 1 2, 3 (1.2)
^ Г2 + Г з - €1 ^
(1,2,3) 231 г
Согласно теореме Гюйгенса—Штейнера имеем выражения
/ = /А + М( С$)2 + ш (&Р)2, (СБ)2 = \1Шг, (БР)2 = \1мг
ш М
Иш = Т7-, Им = Т7-, М = Ш1 + Ш2 + Ш3, Г = СР
М + Ш М + Ш
где /д — момент инерции треугольника относительно оси €, проходящей через его
центр масс С и перпендикулярной его плоскости.
-» -> ->
Пусть А1, А2 и А3 — середины сторон Р2Р3 , Р1Р3 и Р1Р2 . Момент инерции /д треугольника Р1Р2Р3 равен сумме моментов инерций его сторон относительно этой же оси €. Вновь применяя теорему Гюйгенса—Штейнера, находим
/А = У Ш1 (| + V
(1, 2, 3)
2. Основные величины в барицентрических координатах. Воспользуемся системой барицентрических координат (БЦК), связанной с треугольником. По определению, БЦК точки Р на плоскости — это тройка чисел (х1, х2, х3), таких, что
х1 + х2 + х3 = 1 (2.1)
задающих "массы" х1, х2 и х3, которые надо поместить в точки Р1, Р2 и Р3 соответственно, чтобы точка Р была их центром масс (см., например, [15]).
БЦК точек Р1, Р2, Р3, А:, А2 и А3 имеют вид (1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1), (0, 1/2, 1/2), (1/2, 0, 1/2) и (1/2, 1/2, 0). Тогда БЦК точки С записываются следующим образом:
VM,, ых = mi+m (i, 2,3)
V 2 2 2 ' 1 M
2 2 2 r 1 M
Известна [15] геометрическая конструкция, позволяющая наглядно представить вычисления величин AjC2 (i = 1, 2, 3) в БЦК.
Пусть Ox1x2x3 — тройка осей прямоугольной декартовой системы координат. Расположим треугольник таким образом, чтобы его вершины лежали на соответствующих осях: Pi е Oxi (фиг. 2). Обозначив OPi = di, в силу теоремы Пифагора имеем соотношения
d2 + d] = €1 (1, 2, 3) Складывая их, получаем
222
2(d2 + d2 + d3) = €2 + €2 + €2 ^ di = €2 + € ~ € 1 (1, 2, 3) (2.2)
Определим положение центра масс треугольника. Для этого воспользуемся теоремой о группировке. Массу каждой из сторон можно считать сосредоточенной в их середи-
*1
Фиг. 2
нах — точках А. Разобьем эти массы пополам и разнесем половины в ограничивающие стороны вершины. Исходя из определения центра масс (см., например, [15]), имеем
ОС -1 у т+тюР,
М ^ 2 1
(1, 2, 3)
Так как ОА1 = (ОР2 + ОР3 )/2, то
1
А,С - М((т2 + тз)ОР1 - т2ОР2 - тзОР3)
откуда
А1С2 - (А1С, А1С) - -1— [(т2 + т3)2+ т\+ т23й23] 4 М2
и в силу представлений (2.2) после преобразований
А1С2 - —■ [- т2тз^ + (т2 + тз)(тз^ + т2)] 4 М
Окончательно
2
^ (т1 + т2тз\ €1 + м 2 м - Мт
- У 1т + -М~)7 + мг, м -
3 М ) 4 М + т
(1, 2, 3)
2 Прикладная математика и механика, № 3
Запишем расстояние г от точки Р до центра масс С в БЦК
т2 - (СР, СР) - (СО + ОР, СО + ОР) -
2
- 1 У (-1 - т)(- + €2 + €3)
2 ^ ( 1 2
(1, 2, 3)
Расстояния от точки Р до вершин треугольника, присутствующие в равенстве (1.2), запишутся следующим образом
Г2 - *2€2 + *2€2 + *2*3(- €2 + €2 + €2) (1, 2, 3)
Таким образом, г:, г2, г3 — однородные функции первой степени от х1, х2, х3.
3. Критические точки приведенной потенциальной энергии. В силу взаимной зависимости переменных х1, х2 и х3 для определения критических точек приведенной потенциальной энергии (1.1) применим функцию
Жх - и + Х(х1 + х2 + х3 - 1) (3.1)
Ее критические точки описываются уравнениями
»X 1 - - 1 ю/ + 2 у кЛ123(Г2,1 + Г3,1) + X - 0 (1, 2, 3); ю - / (3.2)
J
(1, 2, 3)
Здесь
5» т д/ А €1 _ Эг:
»X, 1 - , /,1 - Л123 - -^-2, Г2, 1 - и т.п.
дХ д%1 (Г2 + Г3)2 - €1 дх1
Уравнения (3.2) надо рассматривать вместе с условием (2.1), выражающим связь между переменными хь х2 и х3.
Домножение '-го уравнения системы (3.2) на х{ (' = 1, 2, 3) и суммирование результатов позволяет с помощью условия (2.1) и условий однородности г{ найти выражение
2
X - ^Ю2У Х1/1 - 2 У кЛ123(Г2 + Г3)
' - 1 (1, 2, 3)
подстановка которого в уравнения (3.2) дает систему уравнений
ю2 3
ю у х,(/, - /,1) + 2 у к1 Л123(Г2,1 - г2 + Г3,1 - Г3) - 0 (1, 2, 3) (3.3)
' - 1 (1, 2, 3)
позволяющую исследовать зависимость стационарных конфигураций от ю2 как от параметра.
Утверждение. Система, образованная произвольным треугольником с однородными "проволочными" сторонами равных масс и материальной точкой, допускает стационарное движение, на котором
Х1 - Х2 - Х3 - 1/3 (3.4)
Доказательство. Под действием лишь центробежных сил система будет в равновесии, если точка P располагается в центре масс треугольника, вращающегося с произвольной угловой скоростью. Этому решению отвечает точка максимума потенциала центробежных сил. Назовем ее KC. Под действием лишь сил притяжения точка P может находиться в равновесии, если она располагается в точке, для которой результирующий вектор сил притяжения со стороны треугольника обращается в нуль. Обозначим ее KN.
Если точки KC и KN совпадают, то существует равномерное вращение системы вокруг точки K0 = KC = KN с постоянной угловой скоростью. Так как точки KC и KN имеют координаты
(M/2, M2/2, Мз/2) и (mx/M, m2/M, шъ/M)
соответственно, то в этом случае должны выполняться условия
M/2 = mx/M (1, 2, 3)
из которых с
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.