ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА И МЕХАНИКА
Том 77. Вып. 1, 2013
УДК 539.3 : 534.1
© 2013 г. Д. Д. Захаров
СВОЙСТВО ОРТОГОНАЛЬНОСТИ И ПЕРЕНОС ЭНЕРГИИ
ТРЕХМЕРНЫМИ СОБСТВЕННЫМИ ВОЛНАМИ В ТРАНСВЕРСАЛЬНО-ИЗОТРОПНЫХ СЛОИСТЫХ ПЛИТАХ ПРИ НАЛИЧИИ ИЛИ ОТСУТСТВИИ КОНТАКТА С ЖИДКОСТЬЮ
Исследуются свойства собственных волн в слоистых плитах с анизотропией свойств в поперечном направлении. Анализируется наиболее общий вид решений, дисперсионные соотношения, потоки мощности и соотношения обобщенной ортогональности. Изучается сходство и различие свойств волн в сравнении с изотропными средами и идеальными жидкостями, а также обобщения на случай слоистых пространств и полупространств. Для задачи с динамическими источниками конечного размера предлагается способ определения коэффициентов при собственных волнах, излучаемых в плиту. Рассмотрен способ суммирования рядов по собственным волнам.
Фундаментальные свойства собственных волн (СВ), распространяющихся в слоистых упругих телах, используются при решении задач дифракции, микроэлектроники, неразрушающего контроля механики композиционных конструкций, геофизики и др. Вполне естественным оказывается вопрос: обладают ли такие нормальные волны, несмотря на наличие комплекснознач-ного спектра в краевых задачах, аналогом свойства ортогональности собственных волн в скалярных акустических средах.
По-видимому, первый результат в этой области был получен Шиффом (1883) для однородных решений статической задачи для упругого цилиндра [1]. Имеется подробная библиография последующих работ по статическим задачам для упругих цилиндров и полос [2]. В задачах динамики ортогональность СВ с плоским фронтом интенсивно исследовалась в 1970-е годы [3—11] для упругих полос и цилиндров с однородными граничными условиями на лицевых поверхностях. Соотношения ортогональности для изотропных сред были выведены разными способами и предложены их альтернативные формулировки [3—7], в том числе для разнотипных однородных краевых условий [8]. Было показано, что соотношения ортогональности в твердых волноводах связаны с поведением потока мощности и соотношениями взаимности [8, 9]. Найденные соотношения нашли применение при решении задач о дифракции волн на трещине или включении, об отражения СВ от торца волновода и т.д. [12—17]. Задачи сводились к представлению искомого напряженно-деформированного состояния в виде ряда по СВ, составлению бесконечной системы линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных коэффициентов, ее решению и сравнению с альтернативными методами.
Были получены [18] соотношения ортогональности для СВ с трехмерной геометрией в изотропном слое, частные случаи таких соотношений для осесимметричных СВ рассматривались [19—21] на основании преемственности соотношений ортогональности для плоских волн Лэмба.
В настоящей работе анализируются упругие среды и два предельных случая: переход к гидроупругой задаче для системы из чередующихся слоев идеальной жидкости (с возможным учетом гравитационного эффекта в жидкости) и упругих слоев, и задача о контакте пакета слоев с упругим или жидким полупространством. Предложены точные формулы для коэффициентов при СВ, возбуждаемых объемным или поверхностным источником.
1. Постановка задачи и основные уравнения. Рассмотрим изменяющийся во времени по гармоническому закону в~ш динамический процесс в плите из N слоев, где область, занимаемаяу-м слоем, в цилиндрических координатах г, 0, г имеет вид 0 < г < <
< г < +1. Лицевые поверхности плиты имеют координаты z1 = г- и zN +1 = Z+. Предпо-
лагаем, что по своим упругим свойствам каждый слой трансверсально-изотропный, с осью анизотропии параллельной оси г. Тем самым перемещения и!а , напряжения СТ^р
и деформации 8аа , У^р удовлетворяют закону Гука с пятью упругими постоянными (множитель е-""' и верхний индекс слоя] в очевидных случаях опускаем)
со1
Стгг Ст00 Стzz СTвz СТгв1
Л 0
0 м
со1
8гг 8ее 8zz Уez Уп Уге
Л =
X + 2 ц X X X X + 2 ц X
Х0
Xn
, м = diag[цo Цп ц]
8ГГ = дгиг, 8ее = г (иг + деие), 8zz = дzUz
Yеz = дzUе + г-1де^, у^ = д,иг + д^, уге = г^деЦ. + (дг - г1)ие
и уравнениям движения трехмерной линейной теории упругости дгстгг + г-деСтге + д^р^ + г-(стгг - Стее) + рю2иг + ¥г = П дгСТге + гЛ де Стее + дz СТ z + 2г_1ст,<, + рю\ + ¥е = П дгстгг + г- де aеz + дz ст^ + г-1 ап + рю2 + = П
(1.1)
где р (или р.) — плотности и Га (или Ра) — объемные силы, вид которых будет оговорен ниже.
На межфазных границах г = г. ( = 2, 3, ..., N предполагаем выполнение условий полного контакта о"^1 = СТа3, и^ 1 = . На лицевых поверхностях г- = г! и г+ = +1
полагаются заданными либо напряжения с^3, либо перемещения и^ , либо в некоторых направлениях заданы напряжения, а в оставшихся направлениях — перемещения.
Рассмотрим сначала однородные решения, периодические по отношению к полярному углу. Для их построения используем технику потенциалов [22], позволяющих представить поле перемещений в виде
и = Уф + а V х V х (у е^ + Ух (п ez)
(1.2)
где коэффициент а должен иметь метрическую размерность. Потенциалы ф и у описывают перемещения в любой плоскости, параллельной оси г, а потенциал п — перемещения, локализованные в горизонтальной плоскости, что для задачи с плоской геометрией отвечает волнам с Р8У- и $Н-поляризацией, соответственно. Потенциалы (1.2) обладают необходимой общностью, позволяют разделять градиентную и вихревую компоненту поля и, в отличие от потенциалов Ламе, не являются избыточными и не требуют постановки дополнительных условий. Такие дополнительные условия ставятся, например, для потенциалов Ламе с целью однозначного описания поля в бесконечно протяженных круговых цилиндрах.
8
В цилиндрических координатах перемещения имеют вид (V22 = дГ + r 1dr + r 2dg )
2 —1 —1 —12 2 ur = дгф + aд^у + r д0n, ug = r д0ф + ar d0zу - дгn, uz = дгф - a V±y (1.3)
а потенциалы удовлетворяют однородным уравнениям движения (1.1)—(1.3) (подробное преобразование см. [23, 24])
V22{(X + 2^)V2ф + (X0 + 2ц0 - X - 2ц)д2ф + рю2ф +
2 2 2 + aдz[(X + 2ц - X0 - ц0)V у + (X0 + 2ц0 - X - 2ц)дгу + рю у]} = 0
4(X0 + 2^0)V2ф + (б0 - X0- 2Ц)д2Ф + рю2ф J - (1.4)
- aV2 [ц V2y + (60 - X0 - 2ц)д^у + рю2у] = 0 V2 {^V2 + (ц0 - ц)д2 + рю2}n = 0; V2 = V2 + д2
Система уравнений (1.4) допускает решение методом разделения переменных . . I cosn 0 I / ч I cosn 0 I . . . . I sinn 0 I
ф = фг(г)фг(г)< . К у = yXr)уг(г)i . n = Пг(r)nz(z)i (1.5)
[ - sin n 0J [ - sin n 0J [ cos n 0J
причем функциональная зависимость от радиальной координаты может быть выбрана одинаковой, в виде
Фг( r) = уг( r) = Пг(r) = Bn(sr) где Bm(sr) — любая цилиндрическая функция порядка n, так что
„2 .-2 -1~ -2 2\ 2 Л cosn0|
V2ф = (дг + r дг - r n )ф = -s фг(Z)Bn(sr)1 . Л f
[ - sin n0J
с аналогичным результатом для потенциалов у и п. В этом состоит дополнительное достоинство формализма (1.4), так как радиальные компоненты для потенциалов Ламе выражаются через цилиндрические функции разных порядков. Равенства (1.5) отвечают разложению решения в тригонометрический ряд Фурье по 9. Далее, в отличие от подхода [23, 24], где коэффициент a равен конечному радиусу цилиндра, примем a = s—1, где s — волновое число. В результате уравнения (1.4) могут быть преобразованы к виду
|_(X0 + 2ц0)д2 - (X + 2ц)s2 + рю2]sфг + [ц0д2 - (X + 2ц - А0 - ц0)s2 + рю2]дгуг = 0
|_б0д2 - (X + 2ц)s2 + рю2Jдгфг + s[(60 - X0 - ц0)д2 - ц0s2 + рю2]z = 0 (1.6)
2 2 2 [ц0дг - цs + рю ]nz = 0 (s Ф 0)
Вводя новые обозначения
U(z) = - sфг - d уг, u(z) = d фг + яу^ w(z) = -snz (1.7)
dz dz
получаем окончательные уравнения для г-компонент перемещений
22 а + рю_ _ а*
Цо хп .
аи п и- Уп * ~т = П, dz
22 ап а_ + ёю_
А цп
аи п и + Уп^— = п
dz
' +1 Грю _/)] ™ = п
а^1 8пг ц У] а* = 2 + р*, р* = Xц-1, у* = в* + 1, ап = 8пЦ-1, вп = XnЦ-1, Уп = вп+ 1
(1.8)
5п = ЦпЦ
1
и выражения для перемещений и напряжений
-иВ'„ + Б— эг
I еоБп0 1 [-б1п-0}
и< = и Б- ! е08 - 0 1; Б- = -В z -1-81пп0] - а{ эг}
ие =
и—Б„-^Б\
эг
— —
[ БШ — 0 1 [еоБ—0}
СТгг = Ц
Стге = Ц
ст^ = Ц
Стее = Ц
Стеz = Ц
ХБ—-и [(— + 1) Б— +1 + (—- 1) Б— _ 1 ]-^[ Б— + 2-Б—_ 2 ] 1 С°§—0 г 2 I и Б1п—0
Б— - 2 — Б— + 2] -у[Б— + 2 + Б— -2]Ц е0§ —0
о' , X а™ — в II еоБ—0 -т Б— + 5п-—Б—
dzsг II -Б1П — 0
рБп + *-и[Б—_2 + Б— + 2] + ^[Б— + 2 - Б— _2] 11
— о ][ Б1п—0 1 [ еОБ — 0 1
т-Б— - 5п-Б— 1! К Стzz = ЦСТБ—{ 1
эг dz } IеоБ—0| [-Б1п—0|
(1.9)
П О и , с;
Х = в пт + а* эи, т = 8 ( dz
Ои
-э и
п Ои О и , п
, р = + У*эи, ст = а п— + вп^и dz dz
Если плита многослойная, условия на межфазных границах следует сформулировать в терминах выражений (1.9). Потребуем выполнение условий полного контакта
z = ^: СТ^1 = СTaz, <1 = иа; 1 = 2 3, N
либо допустим, что на некоторых границах по каким-либо направлениям а выполнены более сильные условия вида иа 1 = = 0 или СTaz 1 = СTaz = 0 (формальное обоб-
щение условия жесткого ограничения или условия свободного проскальзывания). Для напряжений подобные условия означают полностью аналогичные равенства для а, Т, й^/й%, для перемещений — аналогичные равенства для функций и, и, V.
Дополним эти условия однородными граничными условиями на лицевых поверхностях плиты (ЛОГУ). Назовем "классическими" ЛОГУ вида (например, при z = I)
a1 (z~) = т1 (z~) = dwl(z ) _ 0 или u (z~) = и1 (z~) = w1 (z~) = 0
dz
а также случаи, когда одна поверхность свободна, а другая жестко защемлена. "Перекрестными" будем называть ЛОГУ, где в некоторых направлениях заданы нулевые напряжения, а в оставшихся направлениях — нулевые перемещения. К таковым, например, относится отсутствие нормальных перемещений и касательных усилий
и1 (z-) = 0, т1 (z-) = dWp _ о
dz
Сочетания "классических" и "перекрестных" ЛОГУ дают все возможные однородные граничные условия на лицевых поверхностях с нулевой мощностью поверхностных напряжений. Очевидно, что выбор функции Ганкеля первого или второго рода в
качестве радиальной функции Bn(sr) = H^1 (sr) (или Bn(sr) = H^ (sr)) позволяет описать распространяющиеся волны; функции Бесселя Bn(sr) = Jn(sr) и функции Неймана Bn(sr) = Nn(sr) соответствуют стоячим волнам.
Исследуем теперь свойства СВ (1.9), у
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.