ОПТИКА И СПЕКТРОСКОПИЯ, 2004, том 96, № 5, с. 732-734
ТРЕТИЙ СЕМИНАР ПАМЯТИ Д.Н. клышко
УДК 535.14
ТЕОРЕМА БЕЛЛА С УЧЕТОМ ПОТЕРЬ
© 2004 г. А. В. Белинский
Московский государственный университет им. М.В. Ломоносова, 119899 Москва, Россия
E-mail: belinsky@inbox.ru Поступила в Редакцию 17.07.2003 г.
Показано, что для опровержения локальной теории скрытых параметров нет необходимости использования высокоэффективных детекторов.
Нарушение неравенства Белла, опровергающее локальную теорию скрытых параметров и зарегистрированное в экспериментах [1-3], подверглось последующей критике, поскольку наличие потерь позволяет это нарушение формально объяснить не выходя за рамки локальной теории скрытых параметров (см., например, [4-15] и цитируемую там литературу). В данной работе показано, что возможна реабилитация результатов [1-3] без использования высокоэффективных детекторов.
Обратимся к рисунку. Источник (кружок слева) одновременно испускает пару элементарных частиц. Наблюдатели А и В их регистрируют детекторами. В зависимости от измеряемого параметра частицы (например, спина или плоскости поляризации фотонов) измерительные приборы приемников могут принимать два значения: +1 или -1. Приборы устроены так, что они могут работать в двух режимах (символически это показано в виде переключателя). Во втором режиме (нижнем положении переключателя). Во втором режиме (нижнем положении переключателя) наблюдаемым величинам присваиваются штрихованные значения (А' и В'). Два этих режима могут быть, например, двумя различными углами поворота поляризационных призм, если измеряются плоскости поляризации фотонов. Наблюдатели между собой не сообщаются (разделены непрозрачной стеной). Результаты измерений вместе с отсчетами времени прихода каждой частицы наблюдатели отсылают координатору (справа). Он перемножает значения одновременно измеренных величин и усредняет их. Проводится четыре серии эксперимента (при всевозможных положениях двух переключателей).
Если верна локальная теория скрытых параметров, то результаты измерений предопределены в момент испускания пар элементарных частиц источником и могут быть описаны в рамках классической статистической физики четырехмерными совместными вероятностями [14-16] РАА'ВВ'(а, а', Ь, Ь'), которые представляют собой ве-
роятности измерения всех четырех величин одновременно. Здесь заглавными буквами обозначены измеряемые величины, а строчными - их значения (+1 или -1). С совокупностью скрытых параметров источника {X} они связаны следующим соотношением:
Раавв'(а, а\ Ь, V) = | Р(К)¿К, (1)
Л(а, а', Ь, Ь')
где подмножество скрытых параметров, приводящее к результату а, а', Ь, Ь', обозначено как Л(а, а', Ь, Ь'), а Р(К) - распределение плотности вероятности скрытых параметров.
Для краткости четырехмерные совместные вероятности будем обозначать просто их значениями, например РААВВ (а = +1, а' = -1, Ь = -1, Ь' = +1) = (+----+). Таких совместных вероятностей будет 24. Их сумма равна единице, каждая из них находится в интервале [0, +1], и справедливо неравенство Белла типа Клаузера-Хорна-Шимони-Хольта [17]:
к АВ) + <А'В) + < АВ') - < А'В')| < 2. (2)
Схема эксперимента с двумя наблюдателями по проверке неравенства Белла.
ТЕОРЕМА БЕЛЛА С УЧЕТОМ ПОТЕРЬ
733
Вывести это неравенство можно, если выразить средние величины через суммы:
16
< АБ) = £ аЬР аа'вв'уа, а , Ь, Ь ).
1
Аналогичные равенства можно написать для остальных трех моментов < А Б), < АБ'), < А ' Б'). Квантовая теория предсказывает возможное нарушение неравенства (2), что и было зафиксировано в экспериментах [1-3]. Однако эффективность детекторов при этом была меньше единицы и фактически измерялись трихотомные, т.е. принимающие три возможные значения, переменные а, а', Ь, Ь' = 0, ±1. При этом неравенство (2) может нарушаться и в рамках локальной теории скрытых параметров, поскольку появляются дополнительные возможности комбинаций значений совместных вероятностей. Их количество становится равным 34, тогда 81
< АБ) = £ аЬР ААББ (аа'ЬЬ'), 1
как и для других трех моментов. Конкретные примеры приведены в работах [14, 15]. Однако на совместные четырехмерные вероятности можно наложить ограничения, связанные с тем, что вероятность срабатывания детекторов у наблюдателей А и Б равна квантовым эффективностям ца и ПЬ соответственно с учетом всех потерь. При этом четырехмерные совместные вероятности для три-хотомных наблюдаемых можно выразить через четырехмерные совместные вероятности для ди-хотомных наблюдаемых, т.е. для схемы с идеальными детекторами с единичными квантовыми эф-фективностями. Предположим, что квантовая эффективность детекторов определяется их конструкцией и не зависит от совокупности скрытых параметров источника (ниже обсуждается вопрос о том, необходимо ли это предположение).
2 2
В этом случае (± ± ± ±)п < 1 = ПаПь (± ± ± ±)п = 1, поскольку четырехмерная вероятность представляет собой вероятность четырех фотоотсчетов. При этом 16 совместных вероятностей с одним нулем также можно выразить через вероятности регистрации частиц идеальными детекторами, например,
(0 ± ± ±)п < 1 =
( 1 - Па)ПаП2[( + ± ± ± )п = 1 + (- ± ± ± ) П = 1
32 совместные вероятности с двумя нулями определяются аналогично следующему примеру:
(0±0±)п< 1 = ( 1- Па)Па( 1- ПЬ)ПЬ [( + ± + ± )п = 1 +
+ (- ± + ± )ч = 1 + (+ ± - ±)ч = 1 + (- ± - ±)„ = 1 ] ,
а каждая из 16 совместных вероятностей с тремя нулями равна сумме 8 вероятностей схемы с идеальными детекторами, умноженной на (1 - Па)2(1 - Пь)Пь или (1 - Па)Па(1 - Пь)2 , зависимости от расположения нулей. Оставшаяся вероятность того, что не сработает ни один из детекторов,
16
(0000) = (1-Па)2(1-Пь)2± ± ± ).
1
Теперь можно вычислить моменты
81
< АВ)ц< 1 = X аЬрАЛЕЕ< аа' ьь) = ПаПь < АВ)Ц = 1 (3)
1
и аналогично для остальных трех моментов <А'Е), <АЕ') и <А'Е'). Определим также
81
<| АЕ| )ч< 1 = X paabb< аа' ьь) = ПаПь. (4)
Таким образом, моменты схемы с идеальными детекторами можно определить по моментам схемы с реальными детекторами соотношениями типа
< АЕ)п = 1 =
< AB)
п<
<1 АЕ|)
п < 1
1_ Хаь
M '
(5)
где суммирование ведется по всем М одновременным парным регистрациям частиц двумя наблюдателями. Одиночные отсчеты при этом отбрасываются. Но именно так и проводилась статистическая обработка экспериментов [1-3]. Отметим также, что в более поздних экспериментах (см., например, [18]) пользовались схемами не с четырьмя, как в [1-3], а с двумя детекторами (по одному у каждого наблюдателя). Потери в каналах "+" и "-" при этом строго одинаковы (что и предполагалось в приведенных выше расчетах), поскольку каждая из четырех серий эксперимента по измерению моментов <АБ), <АБ), <АБ'), <А'Б') разбивается еще на четыре подсерии - отдельно для плюсовых и минусовых детекторов.
Вернемся к предположению о независимости вероятности регистрации частиц от скрытых параметров. Оно приводит к соотношениям (3), (4), которые не только очевидны сами по себе, но и легко могут быть проверены экспериментально, если вводить регулируемые потери в каналы детектирования наблюдателей А и Б (хотя проверить эти соотношения во всем интервале возможных значений квантовых эффективностей детекторов вплоть до единицы, конечно, не удастся). Таким образом, если верны очевидные соотношения (3), (4), то вопрос о независимости квантовой эффективности детекторов от скрытых параметр ов снимается: моменты схемы с реальными
734
БЕЛИНСКИЙ
детекторами можно выразить через соответствующие моменты схемы с идеальными детекторами и без этого предположения. А это и означает достаточность имеющихся экспериментальных данных для заключения о том, что квантовую теорию принципиально нельзя свести к классической статистической физике и интерпретировать квантовую теорию локальной теорией скрытых параметров.
До сих пор ведутся довольно интенсивные дорогостоящие попытки экспериментального опровержения локальной теории скрытых параметров в схемах с высокоэффективными детекторами (см., например, [19]). Изложенные здесь соображения позволяют снять эту проблему. Отметим также, что появилась работа [20], в которой получены аналогичные результаты, правда, исходя из несколько иных соображений.
Автор благодарен С.А. Белозерову, С.П. Кулику и А.С. Чиркину за полезные стимулирующие обсуждения и помощь. Работа поддержана грантом INTAS № 01-2097.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Aspect A., Grangier P., Roger G. // Phys. Rev. Lett. 1981. V. 47. P. 460.
2. Aspect A., Grangier P., Roger G. // Phys. Rev. Lett. 1982. V. 49. P. 91.
3. Aspect A., Dalibar J, Roger G. // Phys. Rev. Lett. 1982. V. 49. P. 1804.
4. Mermin N.D. // New Techniques and Ideas in Quantum Measurement Theory / Ed. by Greenberger D.M. N.Y.: Academy of Scince, 1986. P. 422.
5. Garg A, Mermin N.D. // Phys. Rev. D. 1987. V. 35. P. 3831.
6. Santos E. // Phys. Rev. Lett. 1991. V. 66. P. 1388.
7. Santos E. // Phys. Rev. Lett. 1991. V. 66. P. 3227.
8. Santos E. // Found. Phys. 1991. V. 21. P. 221.
9. Santos E. // Phys. Rev. A. 1992. V. 46. P. 3646.
10. Santos E. // Phys. Lett. A. 1996. V. 212. P. 10.
11. Eberhard PH. // Phys. Rev. A. 1993. V. 47. P. 747.
12. Pavicic M. // JOSA. B. 1995. V. 12. P. 821.
13. Pavicic M. // Phys. Lett. A. 1995. V. 209. P. 255.
14. Белинский A.B. // Письма в ЖЭТФ. 1996. Т. 64. С. 294.
15. Белинский A.B. // УФН. 1997. Т. 167. С. 323.
16. Евдокимов Н.В., Клышко Д.Н., Комолое В.П, Ярочкин B.A. // УФН. 1996. Т. 166. С. 91.
17. Clauser J.F., Horn M.A., Shimony A. et al. // Phys. Rev. Lett. 1969. V. 23. P. 880.
18. Kwiat P.G. et al. // Phys. Rev. A. 1999. V. 60. P. 773.
19. Brida G. et al. // Phys. Lett. A. 2000. V. 268. P. 12.
20. Shafice A., Golshani M. E-print, LANL, quant-ph/0305110.
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.