ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА И МЕХАНИКА
Том 78. Вып. 6, 2014
УДК (532.59+533.6+533.95):534
© 2014 г. И. Б. Бахолдин
ТЕОРИЯ И КЛАССИФИКАЦИЯ ОБРАТИМЫХ СТРУКТУР РАЗРЫВОВ В МОДЕЛЯХ ГИДРОДИНАМИЧЕСКОГО ТИПА
Приводятся результаты анализа численных и аналитических решений уравнений в частных производных для различных моделей механики сплошной среды, а также решений обыкновенных дифференциальных уравнений бегущих волн для этих моделей. Рассматриваются типичные модели, основные положения теории разрывов в моделях обратимого и слабо-диссипативного типа, классификация стационарных структур, нестационарные упорядоченные структуры. Теория включает в себя такие элементы, как использование усредненных уравнений, условия эволюционности, условия полной и частичной обратимости разрыва, условия существования решения в типичном случае, получаемые на основе анализа размерности инвариантных многообразий и числа дополнительных варьируемых параметров, классификацию периодических волн, уединенных волн и кинков по числу свободных параметров.
Необратимые структуры разрывов, т.е. переходы между двумя однородными состояниями, в моделях с диссипацией изучались длительное время и относительно хорошо исследованы (см., например, [1, 2]). Здесь рассматриваются обратимые структуры (кинки), встречающиеся как в обратимых, бездиссипативных моделях, так и в слабо-диссипативных, где они могут находиться внутри необратимых структур. Исследование обратимых структур началось в 1960—1970-е гг. (см., например, [3], где для плазмы исследовалась бесстолкновительная ударная волна). Однако исследовались простые, аналитически решаемые модели, приводящие к уравнениям бегущих волн второго порядка. Развитие вычислительных средств позволило в последние годы исследовать более сложные модели, приводящие к уравнениям бегущих волн четвертого порядка и выше. Для кинков этих уравнений характерно наличие волновых зон и резонансных взаимодействий волн. В связи с наличием излучаемых волн исследование таких структур представляет интерес для раннего предупреждения движущейся мощной волны, определения свойств среды по типу структуры, разработки методов трансформации волн. Цель работы — отразить изменения в теории обратимых структур, связанные с последними исследованиями. При анализе были использованы более ранние результаты ([4—15]), а также результаты новых исследований, связанных с уравнениями электронной магнитной гидродинамики плазмы и жидкости в трубе.
1. Анализ обратимых моделей со сложной дисперсией. Типичные уравнения, в которых встречаются обратимые структуры разрывов, — это уравнения многокомпонентных или слоистых сред. Наиболее простые из них — аналоги уравнения Кортевега—де Вриза (КдВ)
а - (а3 /3)х + Ьхах + Ь3аххх = 0
(1.1)
2
а( + (а /2)х + Ь1ах + Ь3аххх + Ь5аххххх + [Ь7аххххххх - ейахх] = 0
(1.2)
at - (a /2)х + hflx + b3axxx + b5axxxxx = 0
(1.3)
Здесь представлены модифицированное уравнение КдВ (1.1), обобщенное уравнение КдВ с производной пятого порядка (1.2) (в квадратных скобках включены некоторые допустимые дополнительные члены) и обобщенное уравнение с кубической нелинейностью (1.3). Это уравнения скалярного типа. Уравнение (1.2) описывает длинные волны в слое жидкости с упругим покрытием при использовании модели пластины, в частности волны подо льдом [16]. При наличии члена с множителем уравнение (1.2) будем называть обобщенным уравнением Кортевега—Бюргерса.
Более сложное уравнение — обобщенное нелинейное уравнение Шрёдингера
At + ib2 Axx + b3 Axxx + [Щ Axxxx + b5 Axxxxx] + i\A A = 0
(1.4)
Оно описывает комплексную огибающую слабонелинейных диспергирующих волн в различных обратимых моделях. После подстановки
А = а ехр ¡у, Ж = у х
это уравнение становится эквивалентным двум уравнениям гидродинамического типа относительно неизвестных а и Ж
(a2)t + [bta2 - 2b2a2W + h(2aaxx - a2x - 3a2W2)\x = 0
Wt +
bxW - b2\W2 - a
a
+ b3\ 3 axx W + 3 ^ Wx + Wxx - W31 + a2 a a
= 0
(1.5)
Также двумя уравнениями описывается модель композитных материалов [17]
Р0 ЁШ-S-fWL cm = 0, % = i = 1,2 dt dx « J dx dt dx
Ф = 1 Cf («2 + «ь+1 Cgи - u2) - 4 CK(«12 + «22)2, u = ^ U = wit
(1.6)
Неизвестные: и и, — перемещения и скорости в ортогональном направлении, р0 — плотность; Ст, Су, С&, Ск — некоторые постоянные.
Уравнения электронной магнитной гидродинамики плазмы содержат шесть уравнений [18]
dP + d£U = 0 dPU | d By + Bz dt dx dt dx 2
dp и + d
b2 dp
dx.
= 0
dt dx dpw + d
dPu + flp«u - BxBy - R-1 ^1 = 0
dt i dBy
dpw , d l „ „ n-iuny I n
~t + dx lPMW - BxBZ - Re ~dTI = 0
(1.7)
Щ V dt dx V
dB
uBy - BxU - Ri
-1 dw
dt
_ + A V - Bxw - R-1 dU
dt dx\ dt
^d2 By
' 2 dx
d2 By
2
dx
Неизвестные: n — плотность ионов, u, и, w — компоненты вектора скорости, By, Bz — компоненты вектора магнитной индукции, Bx = const, Ri и Re — физические постоянные, связанные с отношением массы электрона и иона, b — коэффициент, связанный с температурами электронов и ионов, в холодной плазме он равен нулю, s — коэффициент диссипации, связанный с ионно-электронным трением [14].
Уравнения (1.1)—(1.7) содержат либо пространственные производные пятого порядка, либо производные более низких порядков, но в нескольких уравнениях. Общее свойство этих уравнений состоит в том, что они могут быть записаны в виде законов сохранения и после однократного интегрирования их решения в виде бегущих волн описываются обыкновенными дифференциальными уравнениями четвертого порядка. Наличие дополнительного закона сохранения энергии позволяет понизить порядок системы до третьего, но усложняется нелинейность, при численном анализе удобнее исследовать уравнения четвертого порядка. Общим является также сходный вид дисперсионных ветвей. Оказывается удобным сначала отрабатывать методики исследования на уравнениях типа КдВ, а затем переходить на более сложные модели.
Встречаются и более сложные уравнения, приводящие к уравнениям бегущих волн шестого порядка. Например, это уравнения двухслойной жидкости с упругой пластиной сверху и разделяющей пластиной между слоями жидкости [12]. Уравнения движения для модели трубы с упругими стенками, наполненной жидкостью, имеют вид
( „Л
Rq1
zz
Xi
- Prr^ = pRztt, [-Cbrzzzz ] +
( „ Л
с
Rq1
П
x i j
+ Prrz = PRrtt
z X2
Pf (uftZz - иfzZt + ufUfz) + Pz = 0, rtzz - rzZt + ufrz + 2rufz = 0 (1.8)
Xi = V r2 + z\, Xi = r, Qi = XWx., i = 1,2 R
Неизвестные: z — эйлерова горизонтальная координата и r — эйлерова ортогональная координата (толщина трубы); Z — начальная лагранжева координата , R — радиус трубы в ненапряженном состоянии, и f — скорость жидкости, P — давление, W — некоторая нелинейная функция, определяющая упругие свойства материала, р f — плотность жидкости, Cb — коэффициент, связанный с сопротивлением оболочки трубы на изгиб. Эти уравнения исследовались ранее [19], но в более простом варианте, без члена с производной четвертого порядка во втором уравнении, при этом бегущие волны описываются интегрируемой системой уравнений четвертого порядка. В отличие от предыдущих случаев второе уравнение системы не имеет вида закона сохранения, но может быть приведено к нему дифференцированием по Z. В случае контролируемого давления [20] (наполненная газом труба) P = const, нет уравнений для жидкости (вторая строка в системе (1.8)), система уравнений бегущих волн становится неинтегриру-емой (за исключением стационарного случая) системой четвертого порядка (при однократном интегрировании первого уравнения порядок можно снизить до третьего), т.е. похожей на случаи уравнений, приведенных выше. При добавлении члена с производной четвертого порядка, связанного с сопротивлением трубы на изгиб (модель пластины), как в случае контролируемого давления, так и для трубы, наполненной жидкостью, уравнения бегущих волн — неинтегрируемая система шестого (пятого) порядка. В случае низкого давления и малых амплитуд волн из уравнений трубы, наполненной жидкостью, можно вывести уравнение (1.2).
Все приведенные системы при отсутствии дополнительных диссипативных членов обратимы по пространству и времени, относятся к классу гамильтоновых систем. Из гамильтоновости следует наличие еще одного, дополнительного закона сохранения,
который обычно имеет физический смысл закона сохранения энергии, но не всегда (это не так в случае уравнений (1.8) при контролируемом давлении). Как основной ниже подразумевается именно этот класс уравнений, но некоторые утверждения пригодны и для просто обратимых уравнений, а некоторые и для необратимых уравнений.
Во все уравнения, за исключением (1.4), можно добавить диссипативные члены, описываемые производными второго порядка (для уравнения (1.4) диссипация добавляется в виде источниковых членов). Поэтому отдельные утверждения в разд. 2 и 3 сформулированы безотносительно к типу системы уравнений бегущих волн, а иногда — для случая как гамильтоновой, так и негамильтоновой системы. Заметим также, что в некоторых диссипативных моделях с внешним притоком энергии (стекание жидкости по наклонной плоскости, тепловая конвекция, электролиз) система уравнений бегущих волн при нулевой фазовой скорости становится симметричной, встречаются обратимые стационарные решения типа периодических и уединенных волн и кинков, но динамика в этих моделях другая.
2. Основные положения теории.
Дисперсионное соотношение. Дисперсионное соотношение получается подстановкой в линеаризованный вариант исходной системы уравнений выражения вида
У = У0 ехр[1^х - ю?)]
Yl (I = 1, 2, ...) — неизвестные величины исследуемой системы уравнений, У0 — некоторая векторная постоянная, ш — циклическая частота, k — волновое число. Условием существования такого решения является дисперсионное соотношение Г (ю, к) = 0. Оно может содержать одну или несколько ветвей
ю? = ю? (к), q = 1, 2, ...
Уравнения бегущих волн. Исследуется система уравнений бегущих волн, описывающая решения, стационарные в некоторой системе координат, движущейся со скоростью V:
и = Г (и, и); и = («0,«1, ..., «2т-1) (2.1)
ах
При выводе этой системы все высшие производные были обозначены как новые неизвестные. Рассматриваемые в
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.