ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА И МЕХАНИКА
Том 78. Вып. 5, 2014
УДК 532.59:534.1
© 2014 г. В. В. Булатов, Ю. В. Владимиров
ТОЧНЫЕ И АСИМПТОТИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ ВНУТРЕННИХ ГРАВИТАЦИОННЫХ ВОЛН В КЛИНОВИДНОЙ ОБЛАСТИ
Рассматривается поле внутренних гравитационных волн в клиновидной области стратифицированной среды. С использованием преобразования Канторовича—Лебедева получены точные решения, описывающие отдельную моду и полное волновое поле. Построены ВКБ асимптотики отдельной волновой моды, которые выражаются через гипергеометрическую функцию, и асимптотики полного волнового поля, выражающиеся через полулогарифмическую функцию. Для параметров стратифицированной среды, характерных для динамики океана, приведены результаты численных расчетов волновых полей по точным и асимптотическим формулам. Оценены границы их применимости.
В основе анализа волновых движений стратифицированных сред, как правило, лежат асимптотические методы, позволяющие в дальнейшем решать задачи для возмущенных уравнений, которые могут учитывать эффекты нелинейности, неоднородности и нестационарности природных стратифицированных сред [1—3]. Для исследования волновой динамики таких сред эффективны лишь численные методы. Однако в ряде случаев первоначальное представление об изучаемом круге явлений можно получить и на основе более простых асимптотических моделей и аналитических методов их исследования, позволяющих проследить соотношение различных волновых явлений и установить их взаимосвязь [4—11]. В этой связи необходимо отметить задачи об эволюции негармонических волновых пакетов в плавнонеоднородной по горизонтали и нестационарной стратифицированной среде [2—3, 9—10]. Оказалось, что построенные модельные решения вполне согласуются с результатами натурных наблюдений волновых полей [2—4, 7, 8].
Представляет интерес исследовать не рассматриваемые ранее точные решения, описывающие динамику волновых возмущений от точечного источника в клиновидной области стратифицированной среды. В силу значительных математических трудностей ранее удавалось построить только асимптотические представления волновых полей или точные решения для монохроматических волн [10, 12].
1. Постановка задачи. В рамках линейной теории исследуются внутренние гравитационные волны в невязкой, несжимаемой неоднородной жидкости с невозмущенной плотностью р0(г), ограниченной твердой поверхностью % = 0 и дном г = у у (ось z направлена вверх, у — наклон дна). В точке х = х 0, у = у0, г = г 0, находящейся внутри этой клиновидной области, имеется точечный источник массы мощностью Q с временной зависимостью ехр(—ю I).
Система уравнений гидродинамики для малых возмущений плотности р*, давления р* и компонент скорости (щь и2, имеет вид [1—3]
д щ др* д и2 др* дw др* *
Р 0—1 = ——, Р 0—2 = ——, Р 0— = —— + £Р* д I дх д I ду д I дг
дщ1 + ^ = е*ехр(_/шI), д* = аЪ(х _х0)§(у _У0)5(г -(1.1)
дх ду
дР* дР0
дг
где g — ускорение силы тяжести. В качестве граничных условий используется условие "твердой крышки" на поверхности и условие непротекания на дне
г = 0: V = 0, г = -уу: м + и2у = 0 (1.2)
Предполагая гармоническую зависимость всех решений от времени:
(р*, р*, и1, и2, V) = ехр(-т^(р, р,и1,и2,Ж)
получим
и1 = др, и2= ^др, ж = --£.дРг р = Ж^Р
г'юр0 дх г'юр0 ду г'юр0 дг г'ю дг
и + и + дЖ = в* (1.3)
дх ду дг
с2 N 2(г) = ^
N - ю2 Ро дг
о
Здесь N(z) — частота Брента—Вяйсяля, которая в дальнейшем предполагается постоянной.
В приближении Буссинеска система (1.3) сводится к одному уравнению, например для возмущенного давления p, с граничными условиями:
§Jp - 1 fe + d2pl = -^^ (1.4)
-л 2 2 I ^ 2 -л 2 2
dz c \ox dy J c
z = 0: dp = 0, z = -yy: dpdp = 0 (1.5)
dz dz c dy
Под значением p0 в правой части уравнения (1.4) в силу относительно малого изменения po(z) в океане понимается, например, значение плотности морской воды на поверхности, т.е. далее р0 = р0(0) = const [1—3, 4, 7, 8]. Решение p(x, y, z) должно стремиться к нулю при \Jx2 + y2 + z2 ^ <». После нахождения функции p(x, y, z) компоненты скорости (Ul,U2,W) можно найти из первых трех уравнений системы (1.3), а плотность р из четвертого уравнения этой системы.
2. Интегральные представления решений. Сделаем замену переменных
2 г2 1 су_г
у = геЬф, г = _сгф, г = .¡у ф = -1п —--(2.1)
с 2 су + г
Осуществим преобразование Фурье по переменной х (не умаляя общности, положим далее х0 = 0). Учитывая, что модуль якобиана перехода от координат (у, г) к (г, ф) равен ст; из задачи (1.4), (1.5) получим для фурье-образа Р(г, ф, I) функции р(г, ф, х) следующую плоскую краевую задачу:
д2Р , дР 1 д2Р ,2В д., ч /0 оч
—г + —---2 —2 - 1Р Ъ(г - Г0ЖФ-Ф0) (2.2)
дг гдг г дф г
Ф = 0: др = 0, Ф = Фг : дР = 0 (2.3)
дф дф
2 zо 1, cy0 - zо 1, c + Y iaQpо ..
го = J Уо -"2, фо = - ln—-0, Фг = - ln-, q = (2.4)
V c 2 суо + z о 2 c -у c
Решение трехмерной краевой задачи (1.4), (1.5) в переменных (r, ф, x) получается из решения плоской задачи (2.2), (2.3) с помощью обратного преобразования Фурье
p(r, ф,x) = — [ P(r, ф, l)exp(;lx)dl (2.5)
2п
—да
Далее будем полагать, что наклон дна у меньше с, или, используя известную терминологию [6, 10, 12], считать наклон дна докритическим (критический наклон у = c).
Однородное уравнение (2.2) с нулевой правой частью имеет убывающие на бесконечности действительные решения
P(r, ф, l) = K^(lr) cos Цф
где ^ — любое действительное число, K^(lr) — функция МакДональда мнимого индекса, удовлетворяющая параметрическому модифицированному уравнению Бесселя, вещественная при вещественных значениях ^ и положительном аргументе lr [13—15].
Исходя из этого, для представления дельта-функции 5(r - го) воспользуемся парой прямого и обратного преобразования Канторовича—Лебедева [13—15]
Ffr) = f K¥{x)f(x)dx, f (x) = ^ J sh пц K^FdW» о x п о
Решение задачи (2.2), (2.3) будем искать в виде
P(r, ф, l) = Ц J sh пц Ki>(lr)Ki>(lrо)Фц(ф)цdц (2.6)
п о
Подстановка разложения (2.6) в уравнение (2.2) приводит к следующей краевой задаче:
Л2Фц(Ф) , ^ , , , Л Ф,(0) Л Ф,(Фг)
(1ф2 Лф ЛФ
Видно, что Ф ц(ф) — угловая функция Грина:
1 2 V с°8 Ф^« е°8 Фо^« 0 (, С + у|"1 ^
фц(ф) = -—---ь—2—2—«; =2пп11п—-1 - «^1
ц2Ф, ф,«=1 ^ с-у)
3. Точное решение, асимптотики отдельной волновой моды и полного поля. Рассмотрим в выражении (2.6) отдельную волновую моду (« > 1)
4х sh пц Ki^WAD Pn(r,ф,l) = -4Х2п 1-2_ 2 iA ^ц
п о ц цп (3.1)
q cos фцп cos фоцп
x п
ф
r
Интеграл понимается в смысле главного значения. Формула (3.1) также пригодна и для случая п = 0, если в ней положить = 0, а коэффициент перед интегралом уменьшить в два раза.
Рассмотрим сначала случай г > г0 (при г < г0 интеграл (3.1) вычисляется аналогично). С целью деформирования контура интегрирования по ^ в выражении (3.1) воспользуемся известной формулой ([13], формула 8.485), которая в рассматриваемом случае приобретает вид
ЗД/0) = -п 1т ад/0))/ «Ь лц (3.2)
так как функции /(ц(х) и /,ц(-х) — комплексно-сопряженные. Подынтегральная функция в равенстве (3.1) — четная по ^, поэтому с помощью соотношения (3.2) можно получить равенство
Рп(г,Ф, /) = 22Хп 1т [ " 2 V (3.3)
п _! ц2 -цп
в котором контур интегрирования можно замкнуть в нижнюю полуплоскость. Чтобы убедиться в этом, воспользуемся асимптотиками
*-(/г)Ш"• -при
Тогда
Ку(/г)'у(//0) « 4^2ехР(-у(1п г - 1п /0))
Учитывая вычеты в точках ц = ±ц , получаем
Рп(г, ф, /) = -2ХпЯе(Х¥ п (/г)1¥ п (//>)) (3.4)
Полученные выражения можно объединить в одно:
Рп(г, ф,/) =-2х„Яе(Кщ„ (/г+ )'>„ (/г_)); г_ = т1п(г, /0), г+ = тах(г, г{]) (3.5)
Для случая п = 0 будем иметь
Р)(г, ф,/) = -1- Яе(К0(/г+)' 0(/г-)) (3.6)
фг
После проведения обратного преобразование Фурье (2.5) для п -й моды (п > 0), учитывая, что установившаяся стоячая волна — четная функция по переменной х, получаем, что отдельная волновая мода р (г, ф, х) выражается через гамма-функцию Г(г) и
гипергеометрическую функцию Г(а, р, у, т2) [13, 15]
е
Рп(г, Ф, х) = —¡=А= Xп КеБ0 = 1/2, Бп = 1 при п > 1 = Г(2а)
/лгг0
\ 2а
(т)а Г (а, в, у, т2), а = , р = УЦ^п (3.7)
Г(у)
1 • 2гг0
у = 1 + 1Нп, Т= 2 . 2 , 2
г + г 0 + х
Полное решение получается суммированием всех мод:
ад
p(г, ф, x) = £ рп(г, ф, х)
п=0
Выражение для г и ф определяется из соотношений (2.1), а г0, ф0 и фг — из соотношений (2.4).
Заметим, что полю вдали от источника возмущений, т.е. большим значениям г и х, соответствуют малые т, и отдельную моду рп(г, ф, х) можно аппроксимировать при помощи разложения гипергеометрической функции в ряд при 0 < z < 1
г, с, ч , аВ а(а + 1)В(В +1) 2 оч
ДаД у, z) = 1 + — z + —-——- z +... (3.8)
у у(у + 1)2!
Однако при фиксированном z с увеличением номера моды п в разложении (3.8) приходится брать все большее число членов ряда (количество членов т « ), что затрудняет расчет волновых мод с большими номерами. Имея в виду дальнейшее суммирование ряда (3.8), воспользуемся ВКБ асимптотикой гипергеометрической функции и асимптотикой отношения гамма-функций при больших значениях цп, входящих в правую часть третьего равенства (3.7):
Р(Т2) « ехр
Г ^Гщ+
. 4 1 ^л/Г-^2 уу
(1 -т2) '
(3.9)
2
V
Г(1/2 + Щп) ^ ехр(-п/4)
Г(1 + ^п)* ^п
Окончательно получаем следующее выражение для ВКБ асимптотики при больших значениях отдельной волновой моды:
Рп(г, ф, X) "т2)^ 1П1 + ^ + п) (3.10)
42у-пПЩ ^ 2 1 1 - т 2 4)
Если формально положить в разложении (3.8) цп ^ да, а в ВКБ асимптотике (3.9) для функции Г (г) считать, что z ^ 0, и учесть, что zц п ~ 0(1), то в обоих случаях получаем одинаковое значение, равное exp(;zцn/4). Таким образом, разложения (3.8) и ВКБ асимптотика (3.9) внутренне согласованы, т.е. имеется область значений z, цп, где эти выражения совпадают. Из выражения (3.10) видно, что амплитуда и-й моды при
—1/2
больших x и у убывает как ((^ + у2)п) . Раскладывая фазу в равенстве (3.10) при малых значениях т, получим, что длина полуволны вдоль оси у при больших у растет как лу/цп, вдоль оси x - как гск/(2цп).
Численные расчеты показывают хорошее совпадение точного и асимптотического решений, за исключением непосредственной окрестности источника возмущений, где аргумент гипергеометри
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.