ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА И МЕХАНИКА Том 78. Вып. 6, 2014
УДК 531.36;62-50
© 2014 г. И. М. Ананьевский, Н. В. Анохин
УПРАВЛЕНИЕ ПРОСТРАНСТВЕННЫМ ДВИЖЕНИЕМ МНОГОЗВЕННОГО ПЕРЕВЕРНУТОГО МАЯТНИКА С ПОМОЩЬЮ МОМЕНТА, ПРИЛОЖЕННОГО К ПЕРВОМУ ЗВЕНУ
Развивается подход к построению управления для нелинейных механических систем, у которых число степеней свободы превосходит размерность вектора обобщенных управляющих сил. В качестве примера рассматривается п-звенный маятник с двухстепенными шарнирами, управляемый моментом, приложенным к первому звену. Такой маятник имеет 2п различных положений равновесия. Построено ограниченное по модулю управление в форме обратной связи, приводящее маятник из окрестности произвольного положения равновесия в это положение равновесия за конечное время. С этой целью уравнения движения маятника линеаризуется в окрестности рассматриваемого положения равновесия, устанавливается полная управляемость линейной модели и для нее строится управление с применением техники линейных матричных неравенств. Дается обоснование применимости полученного закона управления для решения задачи управления нелинейным многозвенным маятником.
Многозвенный маятник — классический пример механической системы с дефицитом управляющих воздействий. Если не во всех шарнирах маятника приложены управляющие моменты, то его число степеней свободы превосходит размерность вектора управляющих воздействий и возникает дефицит управлений. Чаще всего исследования в области управления движением механическими системами с дефицитом управляющих воздействий, в том числе маятниковыми системами, посвящены задачам стабилизации положений равновесия (см. [1, 2], там же — публикации в этой области). В настоящей работе изучается вопрос о точном приведении системы в заданное состояние равновесия за конечное время. Из исследований на эту тему отметим изучение вопроса о полной управляемости механических систем [3] и предложенные различные законы управления, позволяющие приводить системы в заданное состояние за конечное время [4].
Ранее была рассмотрена аналогичная задача для плоского многозвенного маятника [5]. В отличие от плоского маятника, управляемого скалярным моментом, управление маятником с двухстепенными шарнирами представляет собой двумерный вектор. Это обстоятельство требует модификации использованного ранее [5] алгоритма построения управления, и такая модификация приведена ниже.
1. Общая постановка задачи. На примере задачи синтеза управления многозвенным маятником развивается подход к построению управления в форме обратной связи для нелинейных механических систем с дефицитом управляющих воздействий. Рассматривается я-звенный маятник с двухстепенными шарнирами. Такой маятник имеет 2п различных положений равновесия, в которых какие-то звенья ориентированы вверх, а какие-то — вниз. Среди всех положений равновесия лишь одно — нижнее — является устойчивым, остальные же — неустойчивы. Предполагается, что маятник управляется моментом, приложенным к первому звену. Строится ограниченное по модулю управление в форме обратной связи, приводящее маятник из окрестности произвольного положения равновесия в это положение равновесия за конечное время.
Рассмотрим нелинейную автономную систему
х = Сх + Бы + g(x), х е Я", и е и = Ят, т' < п, g(х) = О(|х|2)
(1.1)
описывающую, в частности, динамику многозвенного маятника в окрестности положения равновесия.
Задача 1. В некоторой окрестности нуля построить такое ограниченное по модулю управление u = u(x), что для любого достаточно малого x0 е К." решение системы (1.1) с начальным состоянием х(0) = х0 попадает в точку 0 за конечное время.
Предполагается, что линейная система
X = Сх + Бы
(1.2)
удовлетворяет условию управляемости Калмана [6]. Для линеаризованных уравнений движения многозвенного маятника в окрестности произвольного положения равновесия это будет установлено ниже.
Сформулированная задача локального синтеза изучалась, в частности, В.И. Коробовым [7]. Ниже применяется более простой подход [8], основанный на методах теории устойчивости движения и использующий понятие функции Ляпунова, общей для двух различных устойчивых систем дифференциальных уравнений.
Приведение линейной системы к канонической форме Бруновского. Известно [9], что с помощью линейного преобразования координат и добавления к управлению линейной обратной связи система (1.2) может быть приведена к каноническому виду — форме Бруновского. В результате исходная система распадается на т независимых подсистем размерностей ..., .т, имеющих вид
(
г, ик е Я
1,
т,
т
X 'к к
(1.3)
где т — число независимых столбцов матрицы Б в (1.1). Перепишем систему (1.3) в векторной форме
¿к = Ак?-к + ьк ик> ¿к е к = !,.■; т (1.4) со скалярными управлениями ик. Здесь (5к х 5к)-матрица Ак и 5к-вектор Ьк имеют вид
А
0 1 0 . . 0 0
0 0 1 . . 0 0
, Ьк =
0 0 0 . . 1 0
0 0 0 . . 0 V V 1 V
(1.5)
С помощью указанного выше преобразования исходная нелинейная система (1.1) сведется к совокупности подсистем
^к = АЛ + Ъик + Ок(г), Ок(г) = О(к1 ); к = 1,
т
(1.6)
где вектор z = ..., zm), z е К — прямая сумма векторов состояния всех подсистем (1.4).
Для решения задачи 1 сначала построим управление, решающее аналогичную задачу для линейной системы (1.4). Затем покажем, что полученное управление эффективно и для нелинейной системы (1.6).
г
Управление линейной системой. Предложенный ранее подход [8] позволяет строить для каждой из независимых подсистем (1.4) свое управление. В этом случае моменты достижения нуля различными подсистемами будут, вообще говоря, различны. Кроме того, такое независимое управление подсистемами не решает поставленную задачу для нелинейной системы (1.6), поскольку в нелинейном случае эти подсистемы связаны через последние слагаемые в правых частях (1.6) и не являются независимыми. Это обстоятельство требует модификации алгоритма построения управления. Ниже предложен модифицированный подход, позволяющий строить управление, приводящее все подсистемы линейной системы (1.4) в начало координат одновременно и решающее задачу управления для нелинейной системы.
Построим такое управления и(г) е К", и = (иь ..., ит), удовлетворяющее ограничению
N < 1
(1.7)
чтобы любое решение системы (1.4) достигало начала координат 0 за конечное время.
Введем в рассмотрение скалярную функцию Г(г) > 0, которая будет определена ниже, и для произвольного натурального числа I зададим диагональные матрицы
(
8 ( Т) =
л
(
Т 0 0 0 Т- +10
V 0 0 0
Т 1
м, =
- 0 0 0 -1+ 10
Л
0 0
0
-1 У
Матрица ( Т) обладает свойствами:
М*8-,1
ГЧ, 8Ь = Г1 Ь*, А* = Г'МЛ
йТ
(1.8)
Здесь матрица Лк и вектор Ьк имеют вид (1.5), размерности квадратных матриц 8^, Лк и М равны sk.
Следуя предложенному ранее подходу [8], выберем векторы ак так, чтобы были
устойчивы матрицы
(
А к
0 10 . 0 0 1.
0 0 0 .
к к к Ч а2 а3 .
т
(1.9)
Заметим, что элементы -а* (; = 1, ..., sk) вектора — ак представляют собой коэффици-
Л *
енты характеристического полинома матрицы А*, поэтому в качестве -а1 достаточно
взять коэффициенты любого гурвицева полинома. Существуют положительно определенные х 5к)-матрицы Qk и Рк, такие что
0*Лк + АкО* = -Р* < 0
(1.10)
Составим следующие блочно-диагональные (п х п)-матрицы и и-вектор Ь:
А = Ак}, М = ^ {Шкк}, 5( Т) = ^{8,к( Т)}
а = ^{ ак}, Р = diag{Рк}, Ьт = (Ь1, Ь2, ..., Ьт)
В силу равенств (1.8) матрицы А , 8(7) и Мудовлетворяют соотношениям
бА 8-1 = Г1 А, 8Ь = Т1Ь, й 8 = Т1 Мб (1.11)
йТ
а в силу неравенства (1.10) справедливы матричные неравенства
а > 0, аА+Ата =-р< 0 (1.12)
Зададим функцию Т(1) неявно уравнением
Г2р( а 8( Т) г, 8( Т)г) = 1, г * 0, р> 0 (1.13)
и положим
^(р) = а(в1 - м) + (в I - М) а
(I — единичная матрица). При достаточно больших в симметрическая матрица ¿*(Р) положительно определена, что в совокупности с (1.12) означает, что матрица Q является решением двух линейных матричных неравенств
аА+Ат а < 0, а(м- вI) + (м- в1)а < 0 (1.14)
с устойчивыми матрицами А и М — в1.
С использованием свойств (1.11) можно показать, аналогично предыдущим результатам [5, 8], что при достаточно больших в уравнение (1.13) относительно Т имеет единственное положительное решение для любого z е Кп, z * 0. При этом функция Т(1) > 0, аналитическая всюду, кроме точки z = 0, и может быть доопределена в нуле: Т(0) = 0 с сохранением непрерывности. Сделаем преобразование переменных
У = 8( Т) г (1.15)
и зададим управляющие функции следующим образом:
ик(г) = (ак,8,(( Т(г ))гк) = (ак, ук) (1.16)
Производная Т в силу системы (1.4) удовлетворяет неравенству Т =- (Ру,у ) < -Р < 0
(^Св)У, У) '
где р и 5 — наименьшее и наибольшее собственные числа матриц Р и ¿*(в) соответственно. Из последнего неравенства вытекает, что через конечный промежуток времени функция Т обращается в нуль и траектория системы (1.4) достигает начала координат (что означает одновременный приход траекторий всех подсистем в нуль).
Нетрудно показать, что ограничения (1.7) на управление выполнены в окрестности нуля
и = {г е Г : Т2Р(г)< ч\а\}
где q > 0 — минимальное собственное число матрицы Q, а вектор а составлен из векторов ак, т.е. а = (а1, а2, ..., ат).
Таким образом, сформулированная выше задача управления для линейной системы (1.4) решена.
Управление нелинейной системой. Покажем теперь, что полученное управление эффективно и для нелинейной системы (1.6). Воспользовавшись заменой переменных (1.15) и подставив управляющие функции ик (1.16) в уравнения (1.6), получим
у = Г1 (А у + МТу + Т80(81 у)) (1.17)
где вектор-функция О составлена из вектор-функций Ок.
От( г) = (Ох (г), 02( г),..., О^ г))
Выражение для производной функции Т в силу системы (1.17) имеет вид
^ = (Ру, у ) - 2 Т( ау, 8 О)
(^(в)у, у)
Оценим второе слагаемое в числителе правой части равенства (1.18). В силу соотношений (1.13) и (1.15) имеем ^у, у) = Т213. Следовательно, в некоторой окрестности нуля на траектории системы выполняются неравенства
|у| < С1Тв, Т< С2\у\1/Р, С1, С2 > 0 (1.19)
Из определения матрицы 8 получаем следующие оценки для норм матриц 8 и 8-1, справедливые
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.