ОПТИКА И СПЕКТРОСКОПИЯ, 2004, том 97, № 2, с. 325-327
ФИЗИЧЕСКАЯ И КВАНТОВАЯ ОПТИКА
УДК 535.2; 535.1;535.14
УРАВНЕНИЯ МАКСВЕЛЛА В ФОРМЕ МАЙОРАНА В ЛОКАЛЬНО ИЗОТРОПНОЙ КИРАЛЬНОЙ СРЕДЕ
© 2004 г. Н. Р. Садыков
Российский федеральный ядерный центр "Всероссийский научно-исследовательский институт технической физики", 456770 Снежинск, Челябинская обл., Россия Поступила в редакцию 12.11.2003 г. В окончательной редакции 10.02.2004 г.
Уравнения Максвелла в форме Майорана обобщены на случай киральной среды. Установлена связь между динамическими переменными и параметрами киральной среды. Для рассматриваемой среды получено выражение для 4-вектора плотности тока.
Фотон является спиновой частицей со спином 5 = 1 и эволюция этой частицы в вакууме описывается уравнением Майорана ([1], с. 80), которое по форме записи совпадает с уравнением Дирака [2] для частицы со спином 5 = 1/2,
Р0У + а Ру = 0, (1)
где динамические переменные а = (а, а2, а3)
являются матрицами размерности 3 х 3, Ро =
= (г%/с)Э/Э£, Р = -1К— - соответственно временная и пространственная части 4-вектора импульса
Рц = (Ро, -Р) = ((гй/с)Э/Эг, №—); у - биспинор, состоящий из спиноров размерности три,
аР =
г \ -§ 0
V 0 §у
5! =
/ л
0 0 0
0 0 -г
0 г 0
/ / \
0 0 г 0 - г 0
5Р2 = 0 0 0 , 5Р3 = г 0 0
V - 00 , 1 0 0 0 J
(2)
где динамические переменные а имеют вид, который для электронов соответствует спинорному представлению ([3], с. 102). Компоненты оператора § обладают следующими свойствами ([1], с. 81):
5 X = -г е/,^, 5; ц = -г е/^Пк. (3)
Уравнение (1) было получено непосредственно из уравнений Максвелла для вакуума в предположении X = Е + гН, ц = Е - гН. Уравнение Майорана в вакууме применительно к изогнутой и скрученной системам координат позволило опи-
сать часть поляризационных эффектов в оптике (прямой [4] и обратный [5] оптические эффекты Магнуса). С непосредственным обобщением уравнения Майорана в рамках классической электродинамики можно ознакомиться в работах [6, 7]. В этих работах предлагается комбинировать спиноры X и ц в виде
X = ТеЕ + г ТЦН, ц = ТеЕ - г ТЦН.
В этом случае эволюционное уравнение родной среде запишется как
одно-
. _Э_Х =
1сдГ тец
1 Х д 1 —гЛ X, г --Г- ц = —-
с Э г тец
гЛ ц. (4)
В случае неоднородной среды уравнения (4) необходимо дополнить не сохраняющими круговую поляризацию членами, содержащими градиенты е и ц.
Хотя Майорана свои уравнения получил непосредственно из уравнений Максвелла для вакуума, в действительности они соответствуют эволюционному уравнению частицы со спином 5 = 1. Во-первых, следует отметить, что сами уравнения для электрона Дираком были получены ([2], с. 113) из условия линеаризации дифференциального волнового уравнения второго порядка относительно оператора 4-импульса. Этому условию можно удовлетворить, если в волновое уравнение
ввести динамические переменные а из (2), где вместо 51 , 52 , 53 нужно взять матрицы Паули
а1 = ах, а2 = ау, а3 = аг ([8], с. 233). Нетрудно заметить, что как матрицы Паули, так и матрицы р в из (2), где в = 1, 2, 3, совпадают с матрицами, составленными из матричных элементов компонент векторного оператора спина (5х)пт, (5у)пт, (5г)пт (см. [8], с. 232). В случае 5 = 1/2 матричные элементы компонент векторного оператора спи-
326
САДЫКОВ
на совпадают с элементами матриц Паули размерности 2 х 2, а в случае 5 = 1 являются с точностью до унитарных преобразований элементами введенных Майорана матриц размерности 3 х 3
(см. (2)). Из (2) также следует, что §2 = 52х + ^ +
+ §2 = 2. Поскольку имеет место соотношение
§2 = 5(5 + 1), то получим, что 5 = 1, т.е. спин фотона равен единице. В случае квантовой системы с полным моментом / естественным обобщением сказанного выше должна быть комбинация динамических переменных, составленных из матриц размерности 2/ + 1, элементами которых являются матричные элементы оператора полного момента (1х)Пт, (/у)пт, (Л)™. Во-вторых, наличие в волновой функции двух спиноров размерности 2/ + 1 является следствием того, что волновая функция квантовой системы с фиксированным / должна включать два биспинора с различными внутренними четностями. При инверсии системы координат спиноры X и л преобразуются друг через друга ([1], с. 28). Именно такими биспинорами и являются биспиноры в уравнении Майорана (1). В-третьих, величины X = Е + гН, "Л = Е - гН (характеризующие круговую поляризацию фотона, а на языке квантовой электродинамики - спираль-ность фотона [6, 9-11]) представляют собой волновые функции спиновых состояний фотона в X-представлении ([12], с. 42)
Фх = --1 (ех + геу), Ф2 = -1= (ех - геу), Ф3 = ег,
где Фх, Ф2 соответствуют в Х-представлении состояниям 5^ = ±1, а Ф3 - состоянию 5г = 0. Следует отметить, что именно волновые функции Фа, а = = 1, 2, 3, входят в различные формулы при исследовании механизмов возбуждения ядра с помощью фотона. Даже из приведенных примеров видно, что уравнения Майорана, имея чисто классическое происхождение, тем не менее описывают заведомо квантовую спиновую частицу - фотон.
В данной работе показано, что при соответствующем преобразовании оператора импульса уравнения Майорана обобщаются на случай ки-ральной среды. Для локально изотропной ки-ральной среды получено выражение для 4-векто-ра плотности тока. Пусть имеет место в вакууме уравнение (1). Предположим, что в рассматриваемой нами среде операторы 4-импульса преобразуются следующим образом:
Ро (I + га0 ао), Р
Р,
где динамическая переменная а0 равна
ао =
( \
0 -1 I о
(5)
(6)
Если предположить, что а0 - комплексное число, то уравнение (1) с учетом (5) запишется как
Ро ^ + аI* V + тсу = 0,
(7)
где тс = -£ 1т а0/с, £ - энергия частицы. Из (7) следует, что мнимая часть а0 эквивалентна наличию у фотона массы покоя. Поскольку масса покоя у фотона равна нулю, то в дальнейшем будем считать, что а0 - реальное число, т.е. 1т а0 = 0. Следует подчеркнуть, что мнимость а0 приведет к тому, что в волновом уравнении появится оператор, не являющийся эрмитовым. Таким образом, с учетом (5) уравнение (1) выглядит следующим образом:
Ро (I + га0 а0 )у + а Ру = 0. (8)
В сопряженном виде уравнение (8) запишется
(Ро у +)(I - гао а+ )у + (Р у +) а+ = 0, (9)
где у+ - комплексно сопряженный транспониро-
^ + ~ +
ванный вектор, а0 и а - сопряженные соответственно к а0 и а операторы (транспонированные комплексно сопряженные). Поскольку в соответствии с (2) и (6) имеют место соотношения
а+ = -а0, а+ = а, (10)
то (9) преобразуется к виду
(Ро у +)(I + га0 ао )у + (Ру+) а = 0. (11)
Запишем (8) в виде уравнений Максвелла. Для этого сначала воздействуем на левую часть уравнения (8) оператором (I - га0 а0). С учетом равенства а0 = -1 получим
§ (I - гао ао)(а Р) Ро у =----2-у.
(12)
1 - ао
Уравнение (12) относительно спиноров X и л примет вид
РоХ =
(§Р)Х
га0
22 1 - а0 1 - а0
Ро Л = -
(§ Р) Л
га0
22 1 - а0 1 - а0
(§ Р) Л,
(§Р) X.
(13)
С учетом соотношений (3) систему уравнений (13) представим в виде
д е г ао „
Х = —Х --—2 л ,
сш 1- а0 1- а0
(14)
=Л
1Л0 ~
го1 Л--2гог X.
с д 1 - а02 1 - а
о
УРАВНЕНИЯ МАКСВЕЛЛА В ФОРМЕ МАЙОРАНА
327
Введем новые переменные E
_ § + Л H _ x - Л
- IT' H _ "2Т•
(15)
Из (14) и (15) получим уравнения Максвелла
cd t 1- a
1 a0 —2rot H--—2rot E,
о 1 — ao
-^H _
cd t 1- a
1 a0
—2rot E + ——2rot H.
о 1 — ao
(16)
Система уравнений (16) эквивалентна следующей системе:
д д rotE = -H - a0E), rotH = ^(E - a0H). (17)
Из (17) видно, что величина a0 характеризует ки-ральность среды. Действительно, в киральной среде векторы диэлектрической и магнитной индукций связаны с векторами поля следующим образом [13]:
B = | H + кЕ, D = £ E + к! H. (18)
Из (17) и (18) следует, что £ = | = 1, к = -a0£, к1 = = -ao|.
Теперь рассмотрим уравнение непрерывности. Из (8) и (11) следует равенство
Po (V+V + ia0 V+a0 V) + P (V+& V) = 0. (19)
Равенство (19) имеет вид уравнения непрерывности Уц j1 = 0, где величина
/ = (V+V + a V+<^0 V, V+« V)
представляет собой 4-вектор плотности тока фотона для среды (18), причем величина (y+y + + ia0y+ а0 y) является положительно определенной.
Таким образом, из результатов работы следует, что преобразование (5) оператора P0 в уравнении Майорана (1) приводит к наличию киральной среды. При этом очевидно, что преобразование (5) не является однозначным. Во-первых, в общем случае в (5) величина a0 может быть матрицей размерности 3 х 3, которая может быть приведена к скалярной симметричной безследо-вой, антисимметричной и единичной матрицам размерности 3 х 3, причем a0 = const и соответствует рассмотренному в данной работе случаю единичной матрицы. Во-вторых, естественно ожидать, что если преобразование (5) существует, то в этом преобразовании кроме а0 могут
присутствовать другие операторы (например, Po —- Po (I + ia0a0 + aâ ), P —» P ), которые являются комбинациями a0 и â. В третьих, в качестве альтернативных можно рассмотреть преобразования оператора P или волновой функции при преобразовании системы координат. Напри-
Аnm л
мер, антисимметричный оператор л = ( â, i s ) для фотона (а также для электрона (см. [4], с. 81 или [3], с. 104)) приводит к преобразованию волновой функции у —» exp(Xnm8Qnm/2)у, где 5Qnm = = (8v, 50) - антисимметричный 4-тензор второго ранга, 50 и 5v - соответственно бесконечно малые угол поворота и скорость движения одной системы отсчета по отношению к другой.
Из всего сказанного видно, что рассмотренный здесь подход не может охватить все экспериментально известные эффекты и закономерности в киральных средах, но тем не менее полученные результаты не противоречат ранее известным фактам. Использованный подход определяет методологию дальнейших исследований: формулировку уравнений Максвелла для различных сред в форме Майорана, в том числе и в киральных средах.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Ахиезер А.И., Берестецкий В.Б. Квантовая электродинамика. М.: Наука, 1981. 432 с.
2. Дирак П.А.М. К созданию квантовой теории поля. М.: Наука, 1990. 368 с.
3. Берестецкий В.Б., Лифшиц Е.М., Питаев-ский Л.П. Квантовая электродинамика. М.: Наука, 1989. 728 с.
4. Садыков Н.Р. // Опт. и спе
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.