ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА И МЕХАНИКА
Том 77. Вып. 1, 2013
УДК 539.376
© 2013 г. Д. В. Георгиевский
ВЫДАВЛИВАНИЕ ПЛАСТИЧЕСКОГО МАТЕРИАЛА ИЗ КРУГОВОГО СЕКТОРА С МАЛЫМ УГЛОМ РАСТВОРА И СТОКОМ В ВЕРШИНЕ
С привлечением методики асимптотического интегрирования исследуется плоское безынерционное выдавливание идеально жесткопластическо-го материала из кругового сектора, угол которого служит малым параметром. Течение инициировано сближением сторон сектора и наличием в его вершине стока заданной мощности. Получены главные приближения скоростей и напряжений, найдены области применимости асимптотических разложений и безынерционного (квазистатического) решения. Проведены аналогии с решениями классической задачи Прандтля и некоторых ее обобщений.
Изучаемые в механике деформируемого тонкого тела задачи о пластическом течении в тонких слоях, заключенных между движущимися шероховатыми поверхностями, моделируют обжатие и прессование металлов высоким давлением, получение тонких листов заданной формы, штамповку и другие практические важные процессы обработки материалов.
Первой классической проблемой в этом направлении, получившей значительное аналитическое развитие на протяжении последних почти ста лет, стала задача Прандтля, а также различные ее обобщения [1—8]. Решение таких задач в силу их физической нелинейности традиционно сопряжено с использованием ряда гипотез — кинематических и силовых, в частности, гипотезы о линейном распределении касательного напряжения по толщине слоя. Кроме того, на концах и в средней части слоя эти решения [9] по разным причинам недостаточно точно описывают картину течения. Но интегральные предельные нагрузки, вычисляемые по ним, вполне удовлетворительно совпадают с экспериментом.
Исследования последних лет на основе методики асимптотического интегрирования позволили без введения дополнительных гипотез построить главные члены разложений по малому геометрическому параметру (обычно это отношение характерных линейных размеров системы) полей скоростей и напряжений в самой задаче Прандтля [10], ее плоском осесимметричном [11], цилиндрическом [12] и сферическом [13] аналогах. В первом из перечисленных случаев и, по-видимому, в единственно возможном, главные члены представляют собой асимптотически точное решение, которое хорошо известно в литературе.
1. Характеристики течения и постановка задачи. Рассмотрим в условиях плоской деформации безынерционное течение несжимаемого идеальножесткопластического материала с пределом текучести а s (течение Сен-Венана с критерием пластичности Ми-
зеса—Генки a u = а s ; а u = 7 tr(s2) — интенсивность напряжений, s — девиатор напряжений), реализуемое в круговом секторе с малым углом раствора 2а:
Q = {0 < r < R(t), | ej < a(t), | z| < Ч а « 1, R(0) = R0, а(0) = a 0
где (r, 0) — полярные координаты в произвольной плоскости z = const. Течение осуществляется в результате поворота вокруг шарнира в начале координат и соответствующего сближения сторон 0 = ±а сектора Q с заданной угловой скоростью ю :
иele=+a = ±юr> ю > 0
(1.1)
Касательная составляющая иг вектора скорости на границах области ^ идеальной среды, как известно, не задается.
В начале координат имеется сток интенсивности < > 0. Система имеет четыре определяющих параметра Я, ю, < и а5, из которых можно составить одну безразмерную комбинацию
д = е/(юЯ2) (1.2)
(безразмерную интенсивность стока в вершине сектора).
Рассмотрение ведется для некоторого момента времени ? из интервала (0, а0/ю - Г), правая граница которого отделена от момента полного схлопывания а 0/ю сторон сектора значением времени г; его наличие объясняется тем, что при
а0/ю-г < г <а0/ю (1.3)
безынерционным, или квазистатическим, приближением уже ограничиваться нельзя и необходимо учитывать динамические слагаемые в уравнениях движения. Оценка времени г будет дана ниже, после получения безынерционного решения задачи и вывода условий его квазистатичности.
Нелинейная замкнутая система плоской теории идеальной пластичности в секторе ^ относительно пяти функций — независимых компонент девиатора напряжений вгт, 5,.д (в условиях плоской деформации 500 = -Вг,.), давленияр и компонент скорости — записывается следующим образом:
12 11 2
-Р.г + -Vг -г0,0 -гг = 0>--р.0 -00.0 + -г0,г -г0 = 0 (1.4)
г г г г г
2
2 , 2 _ 2 _ п
-гг + ^0 - Т- = — (1.5)
V I1 + ив,г - - ие) = 28^^ (1.6)
\г г I
иг,г + -(и0,0 + иг) = 0 (1.7)
г
и состоит из уравнений равновесия (1.4), критерия пластичности (1.5), единственного независимого условия (1.6) соосности девиатора напряжений и тензора скоростей деформаций, а также условия несжимаемости (1.7). Запятая в индексе означает частное дифференцирование по переменной, указанной после запятой.
Реальному процессу выдавливания пластического слоя обычно соответствует отсутствие напряжений на торцевой границе г = Я сектора однако в математической постановке точного выполнения условий на этой части границы не требуется. Поэтому кинематические граничные условия формулируемой краевой задачи включают лишь равенства (1.1). К числу статических условий на сторонах 0 = ±а сектора необходимо отнести задание шероховатости этих стенок как характеристики контактного трения пластического материала, скользящего по движущимся плоскостям. Коэффициент шероховатости т, вообще говоря, зависящий от г, определяется [2] как отношение модуля касательного напряжения ¡г0(г, ±а) к пределу текучести при сдвиге т -. Из критерия (1.5) следует, что 0 < т < 1, причем наиболее часто встречающийся в исследованиях случай т = 1 соответствует тому, что модуль касательного напряжения на жестких поверхностях обрабатывающего инструмента достигает предела текучести при сдвиге.
2. Асимптотические разложения. Примем полураствор сектора ^ геометрически малым параметром и будем искать неизвестные в системе (1.4)—(1.7) функции в виде асимптотических разложений по нему:
ur(r, 6) = юЯ X а0), u0(r, 6) = юЯ£аnü{n\p, 0)
«=о (2.1)
srnre(r, 6) = тs Ха"srrr-Q(Р, 0), p(r, 6) = тs X аV (Р, 0)
n=0 n=-1
p= r, $ = о <p< 1, -1 < 9 < 1 (2.2)
Я а
Структура рядов (2.1), в частности, нижние пределы суммирования, как и в классической задаче Прандтля, таковы, что цг и p стремятся к бесконечности при а ^ 0 (это не противоречит механическим соображениям), в то время как три оставшиеся функции ug, srr и sr0 конечны. В новых безразмерных полярных координатах (р, S) (2.2) область Q — единичный сектор с углом раствора 2 радиана. Ряды (2.1) — асимптотические в смысле Пуанкаре [14] по базе а ^ 0 лишь в заранее неизвестной подобласти сектора Q, которая может не совпадать с этим сектором.
Подстановка разложений (2.1) в систему (1.4)—(1.7) и приравнивание коэффициентов при отрицательных степенях а в правых и левых частях приводит к семи уравнениям
p™ = 0, и'-11 = 0 (2.3)
-¥{Р1] +1 sr01>3 = 0, (Pi0! + sfb = 0 (2.4)
P
(sf)2 + (sS1)2 = 1 (2.5)
1 З{0U{01 _ 2-{01-{-11 (2 6)
srr °r,ä _ 2sr0 ur,p (2.6)
P
U«,-11 + 1(üri-11 + ) = 0 (2.7)
P
относительно двух функций с верхним индексом {—1} и пяти функций с верхним индексом {0}, а также к граничным условиям
üf I = ±Р (2.8)
и 1э=+1
Интегрирование системы (2.3)—(2.8), несмотря на ее линейность, можно уже провести аналитически. Выделим несколько этапов этого асимптотического интегрирования (используется известная терминология [15]).
1°. Дифференцируя первое уравнение (2.4) по 9, при учете первого уравнения (2.3)
получим, что функция ЗГе1 линейна по 9. Если шероховатости обеих сближающихся плоскостей при одном и том же значении р одинаковы (симметрия задачи относительно биссектрисы сектора), то функция З^д1 нечетна по 9:
sig1 = -m(p)S (2.9)
Тогда коэффициент в сингулярном по а слагаемом давления имеет вид 1
= Я© ^ (2.10)
Р 5
Постоянная интегрирования взята так, чтобы при стремлении к свободному торцу слоя (р ^ 1) давление в последнем разложении (2.1) оставалось регулярной функцией а.
С другой стороны, сам коэффициент (2.10) должен быть конечен при всех р е (0,1). Сходимость интеграла (2.10) в нуле накладывает ограничения на шероховатость т(р). В частности, она не может быть постоянна по р, ее предел при р ^ 0 должен быть равен нулю, т.е. вблизи вершины сектора не должно быть никакого сцепления прессующих поверхностей с пластическим материалом. Это требование абсолютно гладкого контакта весьма специфично, технологически его реализовать затруднительно.
2°. Дифференцируя уравнение (2.7) по 9, при учете второго уравнения (2.3) получим линейную зависимость Од0' от 9. Граничные условия (2.8) позволяют полностью определить главные составляющие вектора скорости:
ие
= -рЭ, уН> = р/2 - q/р (2.11)
где q — безразмерный параметр, определенный выражением (1.2). Если q > 1/2, то всюду в области и/-1 < 0, т.е. весь материал движется к стоку. Если же q < 1/2, то существует граница р* = J2q, разделяющая зоны растекания материала к периферии и сте-кания к началу координат. На ней и!_1'|р=р> = 0 и главной составляющей радиальной компоненты скорости в (2.1) становится ю.щ!°'(р*, 9). В размерных переменных указанная граница имеет вид r* = y/2Q/& = const.
Таким образом, при небольшой заданной мощности стока (q < 1/2) кинематика рассматриваемого течения сходна с кинематикой в классической задаче Прандтля о сдавливании тонкого прямоугольного слоя. Роль разделяющего сечения р = р* в этой задаче играет среднее по координате xl сечение слоя, где происходит излом линий скольжения и необходимо привлекать внутреннее асимптотическое разложение. Известны попытки построения такого разложения и сращивания его с внешним разложением [10].
3°. Критерий пластичности (2.5) и второе уравнение (2.4) дают Т™ = g(p) - yf (2.12)
4°. После подстановки в равенство (2.6) уже известных функций и/-1*, Т^е и интегрирования по 9 получим
(p + 2q jV 1 - mV + f(p) (2.13)
Семь найденных коэффициентов (2.9)—(2.13) рядов (2.1) содержат две пока неизвестные функции /(р) и #(р), которые надо определять из следующего приближения по а. Выбор знака в равенстве (2.13), а следовательно и в (2.12), зависит от того, какой
профиль радиальной скорости и^'ф, 9) — выпуклый (к периферии) или во
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.