ОПТИКА И СПЕКТРОСКОПИЯ, 2015, том 118, № 2, с. 203-210
СПЕКТРОСКОПИЯ АТОМОВ И МОЛЕКУЛ
УДК 535.2
ВЫНУЖДЕННЫЕ РАДИАЦИОННЫЕ ПЕРЕХОДЫ ЭЛЕКТРОНА В ПОТЕНЦИАЛЕ ИЗОБРАЖЕНИЯ © 2015 г. П. А. Головинский***, М. А. Преображенский*
* Воронежский государственный архитектурно-строительный университет, 394006 Воронеж, Россия ** Московский физико-технический институт (государственный университет), 141700Долгопрудный, Московская обл., Россия E-mail: golovinski@bk.ru Поступила в редакцию 07.07.2014 г.
Получены волновые функции, описывающие состояния электрона, находящегося в поле потенциала изображения вблизи поверхности металла. В первом порядке теории возмущений по взаимодействию электрона с электромагнитной волной в дипольном приближении найдены общие соотношения для вероятностей вынужденного поглощения. Вероятности связанно-связанных и связанно-свободных переходов выражены через элементарные функции. Приведены результаты расчетов матричных элементов для ряда переходов и исследовано асимптотическое поведение вероятностей.
DOI: 10.7868/S0030403415020063
ВВЕДЕНИЕ
Теоретическому исследованию квантово-механического поведения зарядов в кулоновском поле различной размерности посвящена обширная литература. Наиболее изучены трехмерные задачи, описывающие водородоподобные атомы и положительные ионы [1, 2]. Учет влияния эффектов запаздывания на дифференциальные вероятности переходов выполнен в работе [3], а на интегральные — в [4]. В последнее время значительный интерес вызывают оптические свойства систем пониженной размерности (двумерные, одномерные и нульмерные), что, в частности, определяется их ролью при изучении и проектировании наноразмерных устройств [5].
Среди одномерных систем подробно исследовался одномерный атом водорода [6—11] с симметричным по координате потенциалом V = -в/|г|. Трудности, возникающие при исследовании ку-лоновских задач различной размерности, имеют родственную природу, связанную с дальнодей-ствующим характером потенциала. Поэтому методы, используемые при вычислении сечений радиационных процессов в системах различных размерностей, тоже близки. Еще в работе [12] были получены общие преобразования размерности для обобщенной задачи Кеплера, частным случаем которой является кулоновская задача. Динамика электрона под действием сильного светового поля в одномерном симметричном кулонов-ском потенциале изучалась в работах [13—16].
Иной тип кулоновской задачи возникает при изучении состояний электрона, наблюдающихся
вблизи поверхности металла [17—22]. В этом случае электрон находится в поле своего изображения, взаимодействие с которым при положительном расстоянии до границы проводника г > 0 мо-дельно описывается одномерным кулоновским потенциалом V = 1/(4г) (в работе используется атомная система единиц: е = % = т = 1). Физически данная модель соответствует одномерному атому с эффективным зарядом Z = 1/4, энергетические уровни в котором подобно состояниям электрона в атоме водорода описываются ридбер-
говскими сериями Еп = -0.85 эВ/(п + а)2, где а — квантовый дефект, который слабо зависит от квантового числа состояния п [23, 24]. При этом параллельно поверхности проводника электроны двигаются свободно с эффективной массой, близкой к массе свободного электрона. Потенциал изображения благодаря его простоте является удобной моделью для изучения взаимодействия электрона с металлом. Отметим, что результаты, полученные в модели симметричного одномерного кулоновского потенциала, не могут быть применены даже к качественному описанию динамики электрона в поле потенциала изображения, в котором в отличие от четного потенциала проникновение электрона в область отрицательных значений г физически невозможно, что принципиально меняет и симметрию состояний.
Совокупность электронов с одинаковыми энергиями связи образует фундаментальный объект особой природы в виде двумерного электронного газа. Воздействуя на резонансные уровни этого газа или на одиночные электронные состо-
яния внешним электромагнитным полем, можно управлять их динамикой [25—31]. Важная особенность состояний в потенциале изображений состоит в том, что энергия отрыва электрона, находящегося в нем, соответствует оптическому и более длинноволновым диапазонам. Это облегчает экспериментальное изучение отклика такого электрона на различные когерентные и некогерентные воздействия.
Рассеяние электронов, связанных вблизи поверхности металла потенциалом изображения, является тонким инструментом исследования деталей поверхности и адсорбированных на поверхности атомов [32]. Рассмотрение этой задачи основывается на использовании псевдопотенциала [33], но в более последовательной постановке требуется учет коллективной динамики электронов металла [34, 35]. Недавно теоретически предсказан и экспериментально обнаружен новый тип состояний в потенциале изображения, который формируется у поверхности графена [36]. Достигнутые успехи в экспериментальном исследовании состояний вблизи поверхности металлов указывают на необходимость совершенствования теоретических методов расчетов соответствующих оптических переходов. При слабом внешнем электромагнитном поле динамику системы "электрон + внешнее поле" можно описывать в первом порядке теории возмущений по их взаимодействию. В этом приближении вероятности радиационных процессов выражаются через матричные элементы переходов между начальными и конечными состояниями электрона [37].
Настоящая работа посвящена развитию теории возмущений для взаимодействия электрона, находящегося в поле потенциала изображения, с внешним электромагнитным полем и разработке методов аналитического расчета вероятностей однофотонных стимулированных переходов.
ВОЛНОВЫЕ ФУНКЦИИ И ВЕРОЯТНОСТИ ВЫНУЖДЕННОГО ПОГЛОЩЕНИЯ
Волновые функции электрона в поле потенциала изображения являются решениями однородного стационарного уравнения Шредингера с разделяющимися переменными:
+
э! + э!
2 + л 2
Л
У
+ — + Е 4z
х
(1)
кдх ду дz хФл (х)ф^ (У) =
Движение параллельно границе металла вдоль осей х и у является свободным и при нормировке на б-функцию описывается плоскими волнами с компонентами импульса рх и р соответственно:
Фрх (х) = ехр0рхх)/л/2л, Фру (х) = ехр(груу)/л/2П.
(2)
Волновая функция, описывающая движение по оси удовлетворяет уравнению
+ ± + 2Е, |ф¥(¿) = 0,
(3)
Уdz2 2z ------- ' ^
решения которого совпадают с функцией ^ (z)/z, где ^ (z) является радиальной частью волновой функции состояния 5 атома водорода [37]. При дискретных отрицательных значениях энергии Еу < 0 нормированные на единицу собственные функции уравнения (3) имеют вид
ф^) = 2у-3/^ ехр(^Л)Ф(1 -У,2^Л). (4) Здесь Ф (1 - V, 2,2z / V) — вырожденная гипергеометрическая функция, а квантовое число V = 1Д/-2Е принимает целые положительные значения. Для положительных энергий нормированные на б-функцию от импульса собственные функции уравнения (3) выражаются через вырожденную гипергеометрическую функцию мнимого аргумента:
Фк^) =
8п
X
(5)
¡к [1 - ехр (-2пк)] х ехр (-¿г/к) Ф (1 + /к,2,2^/к),
где обратный импульс электрона к связан с соответствующей составляющей энергии Ек соотношением к = 1Д/2Ек . Полная энергия электрона Е есть сумма энергий для трех независимых степеней свободы:
Е = Ev+ р^/2 + рЦ2. (6)
В дипольном приближении взаимодействие с фотоном не приводит к изменению свободного движения электрона вдоль поверхности металла, поэтому вероятность радиационного процесса определяется только нормальной к поверхности составляющей электромагнитного поля.
Учтем отражение падающей волны от металла при взаимодействии электрона с излучением в
пространственной части возмущения ^^, вызывающего поглощение фотонов на частоте ю. В дипольном приближении возмущение можно следующим образом выразить через коэффициент отражения Я электромагнитной волны от поверхности металла и проекцию вг вектора поляризации е падающей волны [38]:
=-Е (ю) (1 + Я )е^/2.
(7)
Здесь Е (ю) — амплитуда напряженности электрического поля падающей волны. Явные выражения коэффициента отражения электромагнитной волны от металла для произвольного угла падения получены в работе [39].
В первом порядке теории возмущений по взаимодействию электрона с гармонической электромагнитной волной вероятность Р/, перехода электрона в единицу времени из начального одномерного связанного состояния ф,. (и) в конечное связанное состояние ф / (и), вызванное поглощением фотона, следующим образом выражается
через матричный элемент хода [37]:
(ф / (г) ф. (г))
пере-
Р. = 2я|(ф/(г) ф,.(г))|2 6(Е/ - Е, - ш). (8)
Подставляя оператор взаимодействия (7) в выражение (8), получим вероятность поглощения фотона Р., в следующем виде:
Р/, =
2
2 + 4 'КФ/ (г) N Ф«(г))|2 х
(9)
х 5(Е
/
ш).
ш = (Е/ - Е ) =1
1 1
V V
(10)
'/У
шими радиальными квантовыми числами приводят к громоздким выражениям, которые не могут быть обобщены на связанно-свободные переходы. Далее сформулирован усовершенствованный алгоритм вычисления матричных элементов, свободный от этих недостатков.
СВЯЗАННО-СВЯЗАННЫЕ ПЕРЕХОДЫ
В соответствии с выражением (9) зависимость вероятности процесса однофотонного поглощения от состояний электрона определяется ди-польным матричным элементом в форме длины
и. = (ф / (г) N Ф<(г)). Однако вычисление удобнее проводить, используя запись матричного элемента в форме скорости. Эти две формы представления дипольного матричного элемента связаны соотношением [37]
Энергии Ер, Е, и квантовые числа дискретных состояний V /, V,, между которыми происходит переход, связаны с частотой излучения ш соотношением
Ф / (и)
йг
Ф,(г)> ш.
(12)
Для учета формы линии поглощения при связанно-связанных переходах следует заменить 5(Е/ - Е, - ш) на соответствующее распределение конечной ширины [40]. При расчете связанно-свободных переходов следует заменить 5-функцию на плотность распределения конечных состояний электрона р(Е/) по энергии, которая для квазиодномерного одностороннего движения имеет вид [41]
р (Е/ ) = (11)
и в отличие от трехмерных и двумерных систем расходится в пределе Ер ^ 0. Рассмотрение процессов вынужденного излучения производится полность
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.