ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА И МЕХАНИКА
Том 78. Вып. 2, 2014
УДК 532.5
© 2014 г. Х. Г. Умаров
ЯВНЫЙ ВИД РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ КОШИ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ БАРЕНБЛАТТА-ЖЕЛТОВА-КОЧИНОЙ
Для модельного представления Баренблатта—Желтова—Кочиной фильтрации жидкости в трещиновато-пористой породе строится решение задачи Коши в изотропной и, с ярко выраженной вертикальной или горизонтальной проницаемостью, анизотропной средах сведением рассматриваемых задач фильтрации к решению абстрактной задачи Коши в банаховом пространстве.
1. Введение. Из всего многообразия моделей фильтрации жидких и газообразных углеводородов в трещиновато-пористых пластах, наиболее широкое применение получила модель двойной пористости Баренблатта—Желтова—Кочиной, в которой течение в трещиновато-пористой породе описывается методами механики сплошной среды. Систему трещин и систему пор рассматривают как совмещение двух пористых сред с порами разных масштабов: 1) укрупненная среда, в которой роль зерен играют пористые блоки, рассматриваемые как непроницаемые, а роль поровых каналов — трещины, давление в этой среде р{, 2) система пористых блоков, состоящая из зерен, разделенных мелкими порами, давление в нейр2. Таким образом, вместо одного давления жидкости в данной точке среды два давления: в трещинахр1 и в порах блоковр2 [1—3].
Сформулированные основные положения и уравнения теории нестационарной фильтрации в трещиновато-пористых пластах [4] были затем развиты многими авторами [1—3]. Исследование течения однородной слабосжимаемой жидкости в таких средах приводит ([2], гл. 3, § 4) к системе уравнений в частных производных
3
^ (^ + « (' 2 - ' ■ > = 0
j = 1 7 ' (1.1) Г дР 1 + д (Р 2 - Р1 ) + ^ ( р р ) 0
+ —— +с (р 2- р 1) = 0
д ^ д ^
где а, Ь, с — положительные постоянные, зависящие от геометрических характеристик пласта и свойств фильтрующейся жидкости, ку — компоненты тензора проницаемости, определяемые структурой системы трещин, ра = ра(х1, х2, х3, 0 — искомые давления в трещинах (а = 1) и пористых блоках (а = 2).
Проницаемость изотропной среды выражается шаровым тензором ([2], с. 108)
к 11 = к22 = кзз = к, ки = 0, I ф7 (1.2)
Для нефтяных пластов часто характерна анизотропия, связанная либо с естественной слоистостью осадочных пород, либо с развитой системой параллельных микротрещин, вызванных напряжениями в породе. Так, например, в грозненских нижнемеловых залежах отмечается ярко выраженное вертикальное направление трещиновато-
сти, которое порождает значительную неоднородность пласта по проницаемости ([5], с. 201). Для таких анизотропных пластов
кп = к22 = к0 < к = £33, к„ = 0, IФ] (1.3)
поэтому фильтрационный поток в основном осуществляется "снизу—вверх" ([5], с. 85). Если же анизотропия пласта связана с естественной слоистостью, то ([2], с. 12) проницаемость к0 вдоль слоев значительно больше проницаемости к в направлении, перпендикулярном плоскости напластования:
кп = к22 = ко > к = кзз, ки = 0, IФ] (1.4)
поэтому направление фильтрационного потока в основном "горизонтальное" ([6], с. 323).
Переходя к традиционным обозначениям х1 = х, х2 = у, х3 = г, исключим из системы (1.1) одно из давлений.
В случае изотропного пласта (1.2) имеем уравнение ([2], с. 109)
др - юЦр = хАзР1 (1.5)
д t д t
Для анизотропного пласта (1.3), пренебрегая изменением фильтрационного потока в "горизонтальном" направлении, получим
др1 53р1 д2р1
- ю —г1 - X -Т = Хо А2Р1 (1.6)
д дг дt дг
Для анизотропного пласта (1.4), пренебрегая изменением фильтрационного потока в "вертикальном" направлении, приходим к уравнению
1- - ю5-^ - ХоД^1 = X'Л1 (1.7)
дt ot дг
Здесь
к к0 2 2 2
ю = --, X = сю, Юо = —-, Хо = сюо, А2 = —- + —, Дз = Л2 + —2
аЬ аЬ дх2 ду дг
Будем рассматривать фильтрацию в участках пласта, достаточно удаленных от охватывающих его непроницаемых горных пород, причем в течение достаточно малого промежутка времени, так что влияние границ еще несущественно. Тогда искомое распределение давления р = и(х, у, г, т) в неограниченном пласте, совпадающем с евклидовым пространством Я3, будет определяться только значением давления в момент вскрытия пласта и запуска процесса фильтрации:
Р1 \, = о = и1 = о = Ф(х, у, г), (х, у, г) е Е (1.8)
т.е. ставится задача Коши нахождения решения одного из дифференциальных уравнений (1.5)—(1.7), удовлетворяющего начальному условию (1.8).
Задачу Коши для каждого из уравнений (1.5)—(1.7) будем решать сведением рассматриваемых задач нестационарной фильтрации к решению, методами теории сильно непрерывных полугрупп линейных ограниченных операторов, соответствующих
задач Коши для абстрактных дифференциальных уравнений в банаховых пространствах.
2. Фильтрация в изотропной среде. Будем полагать, что начальное данное ф = ф(х, у, z) и искомое решение u = u(x, у, z, 0 уравнения (1.5) для всех значений временной переменной t е [0, Г[, 0 < Т < +<», по пространственным переменным (х, у, z) е R3 принад-
лежат Lp(R), 1 < р < +<», — банахову пространству функций / = /(х, у, z) с абсолютно
"3\ 1 ^ р
интегрируемой по R3 р-й степенью абсолютной величины:
.. . = III II/( X V 7 1Г ПТПМП7^ ^
Я)
= ( Ц/ V, 7 )| Чхйуй7)
Решением задачи Коши (1.5), (1.8) будем называть функцию и(х, у, z, 0, непрерывную при (х, у, z) е R3, t е [0, Г[, для которой входящие в уравнение производные непрерывны в области (х, у, z) е R3, t е ]0, Г[; функция и(х, у, z, t) удовлетворяет уравнению (1.5) при (х, у, z) е R3, t е ]0, Г[, и для нее выполнено начальное условие (1.8).
В банаховом пространстве Lp(R3), 1 <р < +<», оператор Лапласа А3 с область определения
Д(А3) = /е Lp(R3): обобщенная производная А/е Lp(R3)}
является производящим оператором сжимающей сильно непрерывной (более того — аналитической) полугруппы и(Ц А3) класса С0 ([7], с. 261, [8], с. 58), представляющейся сингулярным интегралом Гаусса—Вейерштрасса:
(х - \)2 + (у - П )2 + (7 - С )21
иц; Дз)/(х, V, 7) = Г Г Гехр
(4 М)У2Ш I- М
= я-3/2 ехр(- - п2 - С2)/(х + 2у + 2п -Д 7 + 2СцС^
АЪп, О^¿п¿С =
Положительная полуось принадлежит ([7], п. 1.1.2) резольвентному множеству оператора Лапласа, и для резольвенты справедлива оценка
||(ХI- Дз)-1/(х, у, 7)||^ < , X > 0, /е Ьр(Я3)
и представление
+ ю
(XI- Дз)-1/(х, V, 7) = | ехр(-X,) и(,; Д3)/(х, у, 7)сН
о
где I — тождественный оператор.
Наличие в точке X > 0 резольвенты (XI — А3)-1 позволяет существенно преобразовать уравнение фильтрации (1.5), разрешив его относительно производной по времени и представив в виде уравнения, эквивалентному исходному ([9], §10, §15). Именно, полагая
и = (I- юДз)-Ч(х, у, 7, 0 (2.1)
приходим к однородному дифференциальному уравнению первого порядка с операторным коэффициентом
V, = А0V, , > 0
Оператор
А = ХАз{I- юАз)-1 = Х(1 - юАз)-1Аз
определен на функциях/из ХДЯ3), 1 < р < +<», для которых существует обобщенная производная Д3/, и его можно продолжить до линейного ограниченного оператора
А = х [(I- юА3)-1 -1] ю
определенного на всем пространстве Хр(Я3).
Задача Коши для абстрактного обыкновенного дифференциального уравнения
V(г) = Аv(г), г > 0 (2.2)
с ограниченным операторным коэффициентом (||А|| < 2%/ю), разрешима ([8], с. 64) при любом начальном условии
v(г)|г = о = у(') (2.3)
где у(-) = у(х, у, г) — произвольная функция из Хр(Я3). Решение задачи Коши (2.2), (2.3) дается формулой (ряд сходится по норме пространства Хр(Я3))
к
v(г) = и(г; АМ■) = ехр(гА)у(■) = £ Аку(■) (2.4)
к = 0
Из формулы (2.4), используя перестановочность резольвенты (I — юД3)-1 с полугруппой ехр(?А), находим решение уравнения (1.5)
и = (I- юА3)-1ехр(гА)(I- юА3)ф = ехр(гА)ф (2.5)
при условии ф е ^(Д3). Полугруппа (фактически, группа) ехр(?А), порождаемая ограниченным оператором А, является сжимающей, поэтому для решения уравнения фильтрации (1.5) справедлива оценка
(*3) = N^М^, г >0 (2.6)
Преобразуем решение уравнения (1.5), разлагая полугруппу ехр(А) в ряд по степеням резольвенты (I — юД3)-1:
и (х, у, г, г) = ехр ()
+ ® ~ к ^
ф( X'
у' г) + ^ кк!(^^- юАз) У'г)
к = 1
7 = х г = с? ю
Используя формулу ([10], с. 297) для отрицательных степеней А-а, а > 0, оператора А, для которого —А — производящий оператор сильно непрерывной полугруппы Щр; —А) с отрицательным типом:
+<»
А~а = -1— Г - 1и(- А)а > 0 (2.7)
Г(а) J
Г(а)
найдем используемое в дальнейших преобразованиях представление для степеней резольвенты
(I - юАз )-кф(х, у, г) = | / - ^хр (-5) и(«; юАз )ф(х, у,
0
Подставляя найденное представление в разложение в ряд решения уравнения (1.5) и используя представление полугруппы, порождаемой оператором Лапласа, находим явный вид решения задачи Коши (1.5), (1.8)
Р1 (х, у, г, 0 = ехр()
ф(х,у,г) + п 3/2,У? |ехр(-5) 11(х
Л
Ц|ехр(- £,2 - п2 - С2)ф(х + 2^л/ю^, у + 2пл/ю5, г + 2^л/ю5
(2.8)
где — модифицированная функция Бесселя.
Из формул (2.1), (2.4), (2.5) и свойств решения абстрактной задачи Коши (2.2), (2.3) следует, что значения решения уравнения (1.5) принадлежат множеству D(A3) для всех значений t > 0, и значит, у функцииp1(x, у, z, 0 по переменным (х, у, z) е В3 существуют все обобщенные производные до второго порядка включительно, причем по временной переменной t это решение бесконечно дифференцируемо.
Таким образом, доказана следующая теорема.
Теорема 1. Для любого начального данного ф(х, у, z) из множества D(A3) существует, удовлетворяющее по временной переменной t полугрупповому свойству, решение p1(x, у, z, 0 задачи Коши (1.5), (1.8) в пространстве Lp(R3), 1 <p < +<», представляемое в явном виде формулой (2.8), и для которого справедлива оценка (2.6).
Замечание 1. Если рассматривается банахово пространство Ьр(В3), 1 < p < +да, то множество D(A3) совпадает ([7], с. 268) с пространством Соболева ^ (В3), 1 <р <
Замечание 2. Из оценки (2.6) следует непрерывная зависимость решения от начального данного, а из формулы (2.5), в силу ограниченности оператора А, и значит, того, что {7(7; А) = ехр(А) — группа, возможность "восстановления прошлого" в изотропном случае, а именно, возможность по начальному данному (1.8) определения давления р^х, у, I, —7) в момент "отрицательного" времени —7
3. Фильтрация в анизотропной среде.
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.