ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА И МЕХАНИКА
Том 77. Вып. 3, 2013
УДК 531.36
© 2013 г. Г. А. Леонов
ЗАДАЧА ТРИКОМИ О СУЩЕСТВОВАНИИ ГОМОКЛИНИЧЕСКИХ ТРАЕКТОРИЙ В ДИССИПАТИВНЫХ СИСТЕМАХ
Описываются принципы доказательства существования гомоклиниче-ских траекторий в диссипативных динамических системах. Применение этих принципов для системы Лоренца позволяет сформулировать новые критерии существования гомоклинических траекторий.
Гомоклинические траектории (ГТ) играют важную роль в теории бифуркаций [1—7] и в сценариях перехода к хаосу [8—16]. Для диссипативных систем доказательство существования ГТ — содержательная и часто весьма трудная задача. В статье Трикоми [17] была впервые решена задача о существовании ГТ для двумерной динамической системы, описывающей синхронную электрическую машину; ее основные результаты вошли в знаменитую книгу [1]. Многочисленные последователи Трикоми развивали его идеи и улучшали его результаты для различных двумерных диссипативных динамических систем [18—31]. Во всех этих работах оценивался некоторый интервал изменения скалярного параметра рассматриваемой двумерной системы, на котором имелась точка, соответствующая ГТ. Стремление к обобщению такого подхода как на многомерные фазовые пространства, так и на многомерные пространства параметров, приводит к формулировке общей задачи о существовании ГТ. И вполне естественно назвать такую общую задачу о существовании ГТ в диссипативных системах задачей Трикоми.
Предлагаемый подход позволяет развивать аналитические и численно-аналитические методы доказательства существования ГТ, что продемонстрировано на примере системы Лоренца, для которой сформулированы различные критерии существования ГТ.
1. Задача Трикоми. Рассмотрим дифференциальное уравнение
с гладкой вектор-функцией f(x, d). Здесь Rn — фазовое пространство, Rm — пространство параметров системы (1.1).
Пусть y(s), s е [0, 1] — гладкий пусть в пространстве параметров {d}. Задача Трикоми. Дан гладкий путь y(s) в пространстве параметров {d}. Существует ли точка d0 е y(s), для которой система (1.1) с d = d0 имеет гомоклиническую (или гете-роклиническую) траекторию?
Напомним, что траектория x(t) системы (1.1) называется гетероклинической, если существуют пределы
lim х(t) = х1, lim х( t) = x2
t ^ + ro t ^ -Ю
Если x1 = x2, то траектория x(t) называется гомоклинической. Трикоми рассматривал уравнение
— = f(x, d), х е Rn = {х}, d е Rm = {d}
dt
(1.1)
0 + aö + sin0 = ß; a > 0, ß< 1
(1.2)
Оно описывает движение маятника в вязкой среде с постоянным внешним силовым моментом, динамику синхронных электрических машин и электронных систем фазовой автоподстройки частоты [1, 32].
0П + 2п
Фиг. 1
Запишем уравнение (1.2) в виде системы (1.1)
(í \л
0 = z, z = - a z - sin 0 - ß;
= {*},
Л z
С \
а
I ßJ
= {d}
(1.3)
и для пути
Y(s) =
/ \ а( s )
ß
; а( 0) = 0, а( 1) = 2
приведем следующий результат.
Теорема 1 [17, 1]. Для любого числа ß е (0, 1) существует число а0 € (0, 2), такое, что при а = а0 система (1.3) имеет траекторию 0(0, z(t), для которой
lim 0(t) = 00, lim 0(t) = 00 + 2п, lim z(t) = lim z(t) = 0
t ^ - да t ^ + да t ^ -да t ^ + да
где 0O — некоторое число, для которого sin 0О = ß, cos 0О < 0. Такая траектория изображена кривой 1 на фиг. 1.
Она гетероклинична в R2 и гомоклинична в цилиндрическом фазовом пространстве {z, 0 mod 2п} [31, 33]. Поэтому по традиции будем называть такие траектории гомокли-ническими.
Обсудим схему доказательства теоремы 1. Ясно, что точки 0 = 00, z = 0 и 0 = 00 + 2п, z = 0 — седла. Рассмотрим одну из сепаратрис 0+(t), z+(t) второго седла, которая удовлетворяет условиям
lim 0+(t) = 0 0 + 2 п, lim z+ (t) = 0
t ^ + да t ^ + да
причем z+(t) > 0 на некотором интервале (т, (кривая 2 на фиг. 1). Видно, что при а = 0 существует число T, для которого
z+ (T) = 0, 0+(T) g (00,00 + 2п), z(t)> 0, Vt > T
Такая траектория изображена кривой 3.
Предположим, что а > 2. Рассмотрим отрезок прямой
z = -K(0 - 00 - 2п) 0 e [00, 00 + 2п]
z
е0 0О + 2п е
Фиг. 2
На нем выполнены соотношения
(z - K(0 - 0О - 2п))• = -az + Kz - sinö + ß =
= (0 - 0o - 2п)(- K(K- a) + A); A = 0 ß -0 sin 0
0 - 0 0 - 2 п
Используя очевидное неравенство А < 1, V0 Ф 0О + 2п и предполагая, что
K- < K< K+; K± = a/2 ± Va2/4 - 1
получим оценку
(z - K(0 - 00 - 2п))• < 0 при z = -K(0 - 00 - 2п), 0 е (00, 00 + 2п)
Из этой оценки следует (фиг. 2), что сепаратриса 0(0+, z(t)+ в полосе {z, 0|0 е (0О, 0О + 2п)} будет располагаться выше отрезка
{z, е|z = -K(0 - е0 - 2п), е е (00, 00 + 2п)}
Известно, что величина 0+(7) непрерывно зависит от параметра а. Поэтому изменяя а от 0 до 2, обязательно получим значение а0 е (0, 2), такое, что [17]
lim z + (t) = 0, lim 0+(t) = 0 0
t ^ - да t ^ - да
2. Принцип рыбака. Описанный здесь принцип доказательства существования го-моклинической траектории (ГТ) допускает обобщение на более сложные динамические системы.
Пусть для системы (1.1) и пути y(s) можно построить (n — 1)-мерное ограниченное многообразие Q с краем dQ, обладающее следующими свойствами:
1) для любых х е Q\dQ и d вектор f(x, d) трансверсален к многообразию Q,
2) для любых d точка х0 е dQ — седло,
3) при s = 0 сепаратриса S(y(0)) седла х0 пересекает в некоторой точке S0(y(0)) многообразие Q\dQ (фиг. 3, а),
4) при s = 1 сепаратриса S(y(1)) седла х0 не пересекается с Q\dQ,
5) для любых s е [0, 1] и точки х1 е dQ\x0 существует окрестность {х| |х — х1| < 8}, которую не пересекает сепаратриса S(y(s)).
S(Y(s))
Фиг. 3
Так же, как и в доказательстве теоремы 1, из непрерывности функции ¿0(у(5)) вытекает следующий результат.
Теорема 2. Если выполнены условия 1—5, то существует число 50 е [0, 1], такое, что ^(у(£0)) — ГТ седла х0 (фиг. 3, б).
Описанный выше принцип доказательства существования ГТ можно назвать принципом рыбака [34]. Поясним это.
Представим себе, что в точке х0 (фиг. 3, а) находится рыбак, а £(у(5)) — его удочка, заброшенная в озеро, поверхность которого О и дО — берег. При 5 = 0 на крючок попалась рыбка. Тогда £0(у(5)), 5 е [0, 50] — это путь удочки с рыбкой на берег. Но по условию 5 вытащить рыбку можно только через точку х0 (так как дО\х0 — запретная зона). Поэтому здесь реализуется ситуация, изображенная на фиг. 3, б (рыбак поймал рыбку).
3. Система Лоренца. Применим теорему 2 к системе Лоренца
u = -а(u - y), y = ru - y - uz, z = bz + uy
(3.1)
где а, Ь, г — положительные параметры, г > 1.
Известно [35], что аттрактор системы (3.1) расположен в некотором шаре достаточно большого диаметра. Приведем здесь один из таких результатов. Введем обозначение
€ =
Í1, если b < 2
I b / [ 2jb-
1 ], если b > 2
Теорема 3 [34]. Для любого решения системы (3.1) имеют место соотношения
lim sup (y (t)2 + (z (t) - r)2) < €2 r2, lim sup| u (t)| < € r
t ^ + да t ^ + да
Рассмотрим множества
U = {y2 + (z - r)2 < 2€2r2, |u| < 2€r}, L = {u = 0, y < 0}, Q = L n U пространство параметров d = col(r, a, b) и путь
Y(s) = col(r(s), a, b), r(0) = r0, r( 1) = 1 Здесь r0 — число достаточно большое относительно 1, a и b.
(3.2)
x
x
0
Покажем, что для О и у(я) выполнены условия 1, 2 и 5.
Из первого уравнения системы (3.1) следует выполнение условия 1. Условие 2 выполнено для и = у = I = 0. Для доказательства выполнения условия 5 заметим, что система (3.1) имеет решения вида
и (Г) = у (/) = 0, г (Г) = г (0) ехр (-Ы) (3.3)
Из теоремы 3 следует, что сепаратриса и(?)+, у(0+, £(0+ седла и = у = z = 0, входящая в полупространство и > 0 (и(?)+ > 0 в окрестности ( = —<»), обладает свойством
(у (^+)2 + (г (<) + - г)2 < €У, |и (0+| < € г, Vt е Л1 (3.4)
Отсюда и из равенств (3.3) сразу следует свойство 5 для сепаратрисы и(?)+, у(0+, z(t)+.
В самом деле, достаточно заметить, что решения (3.3) стремятся к бесконечности при t ^ —да. Поэтому, если сепаратриса подойдет достаточно близко к решению (3.3) (г(0) ф 0), то при убывании t она не будет удовлетворять неравенствам (3.4).
Для изучения свойств 3 и 4 приведем систему (3.1) с помощью преобразования
0 = _р-, п = вУ2(у - и), $ = в2Гг - и2), t = ^ ^, в = -±=
к виду
0 = п, 11 = - ИП - $0 - ф(0), $ = - а$ - р0п (3.5)
Здесь
И = , а = ^, Ф(0) = - 0 + У03, в = 2(у - 1), у = 2Ь
Та Ь
Зафиксируем параметры ст и Ь, полагая, что
3 а - 2Ь > 1 (3.6)
Теорема 4. Пусть выполнено неравенство (3.6). Тогда для достаточно большого числа г существует число Т, такое, что для сепаратрисы 9+(0, п(0+, седла 9 = п = ^ = 0 выполнены соотношения
0(t)+ > 0, Vt е (-да, Т); 0(Т) + = 0, п(Т) + < 0, $(Т) + > 0 (3.7)
Приведем схему доказательства теоремы.
Очевидно, что траектория системы (3.5) — решения системы
= - И0 - р0 - ф(0), 0<р = - аР- в00 а 0 а 0
(3.8)
на множествах {9 > 0, п > 0} и {9 > 0, п < 0}.
Поскольку г — большой параметр, параметры а и ц являются малыми. В этом случае можно записать первое приближение решения системы (3.8), которое соответствует сепаратрисе 9(0+, п(0+, ^(0+. Для нахождения такого приближения запишем левую часть
первого уравнения системы (3.8) в виде 1 и введем обозначения
2 <0
Д^п) = 2 и 1 - | dе, = 2 ар|е[1 1 - -2-1 dQ
®±(е) = - ее2 + аР^1 1 - I
Тогда для первого приближения решения Q, Р получим
о2(е) = е2 -1 - /(о,е) - /- (0,е), р1 (е) = еде) при о > о, е> о
о2(е) = е2 - е - де,Т2) -1 и + /+(е,72) - 3 ар, р2(е) = е+(е) при о< о, е> о.
Отсюда следует, что если выполнено условие (3.6), то существует число Т, такое, что имеют место соотношения (3.7). В самом деле, здесь
Т) + - Р2 (о) = 2 ав п(Т) + - 02(о) = -V8(ар - и)/3 = -л/8б(3а - 2Ь - 1)/(34а)
и теорема 4 доказана.
Получим условия, при которых
е(/)+ > о, V/ е(-да, +да) (3.9)
Рассмотрим сначала случай в < 0. Здесь для функции
в
12
+
пе,пД) = п2 - в-1 + |ф(е)dе
имеет место соотношение
*"(е( /),п( 0Д( О) = -2(ип2( 0 - ар-1^2 (0)
Отсюда и из неравенства в < 0 следуют соотношения
У(а(/)+, п(/)+, и0+) < Г(а(-да)+, п(-да)+, £(-да)+) = = У(о, о, о) = о, V/ е(-да, +да)
Но тогда выполнено неравенство (3.9).
Для в = 0 получим ^(0+ - 0, и из двух первых уравнений системы (3.5) следует выполнение неравенства (3.9).
Таким образом, при в ^ 0 система (3.5) не имеет ГТ. Ра
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.