ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА И МЕХАНИКА
Том 77. Вып. 5, 2013
УДК 532.529:534.2
© 2013 г. Д. А. Губайдуллин, Ю. В. Федоров
ЗВУКОВЫЕ ВОЛНЫ В ДВУХФРАКЦИОННЫХ ПОЛИДИСПЕРСНЫХ ПУЗЫРЬКОВЫХ СРЕДАХ
Исследовано распространение звуковых волн в двухфракционных смесях жидкости с полидисперсными пузырьками газа разного состава. Приведена система дифференциальных уравнений возмущенного движения смеси, выведено дисперсионное соотношение. Получены равновесная скорость звука, низкочастотная и высокочастотная асимптотики линейного коэффициента затухания. Выявлены характерные средние радиусы пузырьков. Приведено сравнение развитой теории с известными экспериментальными данными.
Проблемы акустики смеси жидкости с пузырьками газа или пара рассмотрены в известных монографиях [1, 2]. Описаны основные особенности двухфазных сред пузырьковой структуры и приведен обзор работ по распространению волн в жидкостях с пузырьками постоянной массы и работ по волновой динамике жидкостей, содержащих пузырьки пара или растворимого газа [3]. Для смеси жидкости с газовыми пузырьками получена дисперсионная зависимость волнового числа от частоты колебаний и теплофизических свойств фаз в случае плоских волн, показана необходимость учета сжимаемости несущей фазы для задач акустики пузырьковых жидкостей [4]. Рассмотрена задача о распространении малых плоских возмущений в жидкости с полидисперсными пузырьками, получено дисперсионное соотношение, найдена равновесная скорость звука [5]. В приближении Фолди в нелинейной постановке получена система уравнений, описывающая распространение звуковых волн в жидкости с пузырьками газа, дано подробное обсуждение области применимости этих уравнений, а также некоторые их свойства [6]. В рамках трехтемпературной модели исследовано распространение малых возмущений в двухкомпонент-ной двухфазной смеси, показано, что дисперсия определяется неравновесностью тепломассо-переноса, а не эффектами скольжения фаз [7]. Дано сравнение теории с известными экспериментальными данными по скорости распространения и затуханию волн в смесях воды с пузырьками воздуха, показана немонотонная зависимость затухания импульсного возмущения от начального радиуса пузырьков [8]. Получено дисперсионное соотношение, определяющее распространение гармонических возмущений в двухфазных смесях жидкости с пузырьками пара и газа для случаев плоских, сферических и цилиндрических волн [9]. В известной монографии [10] дано теоретическое исследование распространения звуковых волн в жидкости с парогазовыми пузырьками, а также сравнение теории с экспериментальными данными других авторов для случая очень мелких пузырьков.
Исследование распространения гармонических возмущений в двухфракционных смесях жидкости с монодисперсными пузырьками газа [11] ниже распространяется на случай слабых возмущений в двухфракционных смесях жидкости с полидисперсными пузырьками газа разного состава.
1. Основные уравнения. В системе координат, связанной с невозмущенной средой, линеаризованные уравнения массы, числа пузырьков, импульса и давления имеют вид, обобщающий полученные ранее уравнения [4, 11] на случай полидисперсных фракций дисперсной фазы с использованием описанной ранее процедуры [12]:
(.1)
(1.2)
Р1 = Р°аъ Р2? = Р°, а21 (1-3)
а1 + а2й + а2ъ = 1, а2; = 4 п [ N (г,у^г, (4)
3 ■'
&г,
Здесь
| N0 (г, % о (г, )НйП
{Н)1 = Г #0(г,%о(п)НйП = &*—-, ) = 4пг,У21
Р20 Ап ] Nо(г )£о(Г № 3
&г,
А г шт шахт , т
Аг, = [г, , г, ], ; = а,ъ
Нижние индексы 1 и 2 относятся к параметрам жидкой и газовой фаз. Штрихи обозначают возмущения параметров, нижний нулевой индекс — начальное невозмущенное состояние. Переменные с индексом а относятся к пузырькам газа радиуса гя, с индексом Ъ — к пузырькам газа другого сорта радиуса гь, х — координата, * — время, р° и р — истинная и средняя плотность смеси, и — скорость, р — давление, п — число пузырьков в единице объема, у — показатель адиабаты, у — скорость радиального движения пузырьков, а — их объемное содержание, N1 (г,) — функции распределения пузырьков разных газов по размерам.
Для сплошной фазы используется уравнение состояния акустически сжимаемой жидкости
Р1 - Р10 = ^(р? -р?о) (1.5)
где C¡ — скорость звука в жидкости.
Для дисперсной фазы выбраны уравнения состояния совершенного газа
Р2, = Р2, Щ1 Тц (1.6)
где Я2, — газовая постоянная.
При описании радиального движения, согласно уточнению, приведенному ранее [4], будем полагать, что возмущение массовой радиальной скорости жидкости на поверхности раздела фаз ^ состоит из двух слагаемых: у' = + уА. Слагаемое у'к описывается уравнением Релея — Ламба
г дУж + 4у Уж = Р2- р1
д! 1 г р°о
где г — радиус пузырька, У1 — коэффициент кинематической вязкости жидкости. Слагаемое у'А, учитывающее сжимаемость сплошной фазы, определяется из решения задачи о сферической разгрузке сферического пузырька в жидкости в акустическом приближении [4]
р2 - р1 о 1
Уа = о2 в , в = 3
р°ос1а 2о 3
Для точного учета диссипации из-за неравновесного межфазного теплообмена интенсивность теплообмена q определяем на основе решения уравнения теплопроводности для одиночного пузырька [4]
0о с дИ = ХА
р2оСр2 д! "^2
+ М, г
д*
% = r :T2 = T0; % = 0: М = 0; q =-X2 д$
( \
дЦ д%
где Т2 = Т2(г, г, — температура дисперсной фазы, ср2 — удельная теплоемкость газа в пузырьках при постоянном давлении, £ — микрокоордината, определяющая расстояние до центра пузырька. Тогда [4]
( . 2 Л1/2
,. ч , y cth y -1
q = (i«>)rp2¿—2—, y = y
i&r | X2
cp2p20
где ю — частота возмущений, к — коэффициент температуропроводности.
При учете двухфракционности состава дисперсной фазы получаем соотношения
- ' г + ¿к, ^Ж = р21 - р1 _ р21 - р1 (1 7)
= + , г1~--+ 4У1---, --,—в (1'/)
дг Г1 Р°о Р?сС1(а2о)в
Соотношения (1.4)—(1.6) удобнее переписать в следующем линеаризованном виде: а 1 3а 1
а1 =-«2а-а2¿, а2 = ^ щ + г (18)
«0 г
р1 = ^ = ^ + Т2- (1.9)
pio P2i to
o
Поскольку в уравнения входят переменные р", р2, целесообразно перейти от переменных р1, р2 к вышеуказанным переменным. Линеаризуя соотношения (1.3), получим
р1 = PÍ0a1 + РГа10, P2l = p2l a2l + P2l «20 (1.10)
Подставим выражения (1.10) в первые два уравнения (1.1), учитывая выражения (1.8) и последнее уравнение (1.1), и после необходимых алгебраических преобразований имеем
«10 5рГ+М _ 3ОЖ drh - 3ОЖ М = 0 _L дРк + 3 dli = 0 (111)
Pi0 dt dx ra dt rb dt ' p°2l dt r dt
Таким образом, получили замкнутую систему уравнений (1.2), (1.7), (1.9), (1.11). 2. Дисперсионное соотношение и асимптотики линейного коэффициента затухания.
Исследуем решения полученной системы уравнений, имеющие вид прогрессивных
волн для возмущений ф', где ф' = р1°, р2, p1, T¿ ...:
ф' = Aф exp[i(K*x - rot)], K* = K + iK**, Cp = ю/K, K** > 0 (2.1)
где K * — комплексное волновое число, K ** — линейный коэффициент затухания, Cp — фазовая скорость.
В результате имеем следующую систему линейных алгебраических уравнений относительно 17 неизвестных амплитуд Ащ, Api, Apii, Ащ, AWa¡ , AWr¡ , Aft, Ap2i, At21 , An:
-i®P10 Ац + iK*Ap1 = 0 (2.2)
-i®( Aíi)i =-3Y 2^10^^ + '«ЫД (2.3)
Ау, - 1®Ап, Ау, = АмА1 + Ауш
А А — А А — А
А I л.. мы - Р21 Р1 л - Р21 Р1 -гш,^ + 4У1 —- ----, Аа, - о ,р
г, Р1о РюС1(а2о)
АР! = С12АР1, ^ = % + ^
То
Ар1 + (гК *)Аи1 + X шА, = о,
3а2о
Р2,
3
+ - Аг, = о
Рю
Р2, г,
(2.4)
(2.5)
(2.6) (2.7)
где
,, г.у, еШ у, -1 I га г Ф, = 3(У2, -1)-—г—, У, ---"
У,
К 2,
Поскольку параметры жидкой фазы не зависят от радиуса пузырьков, справедливы тождества
М, - V V1 = «Л, Рь •••
(2.8)
Таким образом, чтобы вынести неизвестные амплитуды АР2,, АГ1 из-под знака оператора осреднения (...),, нужно выразить их через амплитуды параметров жидкой фазы .
Выразив из первого уравнения (2.5) неизвестные Ау и преобразовав второе уравнение, получим
А =
Ш ,
А _ АРи АР1 АУА! -
/ и 4У1 . ; Н = —± - гю, г, =
Р югН рюг
и уравнения (2.4) примут вид
_ Л = АР2, ~ АР1 ^ = г^Рюч 2Н г, ' 1 + н*
г,
С1(а2о)в
(2.9)
Выразив из уравнения (2.2) величину Ащ, из первого уравнения (2.6) величину Ар и
подставив в первое уравнение (2.7), имеем А + V 302С А _ о ^ [ К±2 '
КА„, + V—А. _ о, К = —
1
г,
Р1о
К * ю
а1о С1
(2.10)
Выразив из последнего уравнения (2.7) величину Ар и подставив в последнее уравнение (2.6), получим
АР2, -
-3 А, + ^ | Рю
. г, То
(2.11)
Подставив это выражение в уравнение (2.3) при учете первого уравнения (2.4), а также в уравнение (2.9), имеем
{-3А, + = 3у2,1--{%
'о I,
г, I,
3 АТ
- 3 А, + аТ2
V г,
'о Л,
(2.12)
3 AT„ S A„ Ap
- - Ari + ^ = -^—1+ -PL (2.13)
r To pw rj pw
Следует отметить, что параметры пузырьков второй фракции не зависят от радиуса пузырьков первой фракции, поэтому
Ж - ^ (2.14)
\rbla rb
Линейные однородные уравнения (2.10), (2.12), (2.13) при учете условий (2.8) и (2.14) несложно свести к дисперсионному соотношению (ДС), как зависимости комплексного волнового числа от частоты возмущений:
W2 = X + V ^J (2 15)
UJ C2 7-Y2l - {QlS^J /pUi '
n ° l
Cf = CL, Yl =£10^10^20, Qi = ! + ф1 a10 p10
Отметим, что полученное ДС имеет два корня разных знаков. Положительный корень характеризует распространение гармонической волны вправо, отрицательный — влево [13]. Поскольку решения симметричны, далее анализируется положительное решение. Эта процедура стандартная [1—12].
ДС для случая двухфракционной смеси жидкости с монодисперсными пузырьками
[11] получается из ДС (2.15) при подстановке N'0(rl) = n0 8(rj - rl0), где 5 — функция Дирака. В этом случае (h)i = h(rl0).
Из ДС (2.15) выведены низкочастотная и высокочастотная асимптотики линейного
коэффициента затухания K**, справедливые для частот ю ^ к2l/(rj ) l и ю > k2j/(r^ соответственно. При получении асимптотик пренебрегали кинематической вязкостью жидкости Vj.
Приведем некоторые рассуждения для получения низкочастотной асимптотики. Поскольку ю ^ к2j/(rl2)l, то \yi\ < 1. Разложив функцию ф1 в ряд Тейлора по yl, получим
9l ~ -(Y21 - 1)
' 3- 45+... 1=3(Y*- «
2
1 - im +
3 45k2j "'
Покажем, что из условия ю ^ к2; /{г?) ; автоматически следует выполнение условия
ю ^ 1/?;. При записи в виде неравенства
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.