Автоматика и телемеханика, № 9, 2014
© 2014 г. А.П. НЕЛЮБИН (nelubin@gmail.com) (Институт машиноведения им. А.А. Благонравова РАН, Москва),
В.В. ПОДИНОВСКИЙ, д-р техн. наук (podinovski@mail.ru)
(Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»,
Москва)
АНАЛИТИЧЕСКИЕ РЕШАЮЩИЕ ПРАВИЛА ДЛЯ УПОРЯДОЧЕННЫХ ПО ВАЖНОСТИ КРИТЕРИЕВ СО ШКАЛОЙ ПЕРВОЙ ПОРЯДКОВОЙ МЕТРИКИ ОБЩЕГО ВИДА1
Предложены простые и точные методы сравнения по предпочтительности вариантов в многокритериальных задачах с упорядоченными по важности критериями, когда предпочтения возрастают вдоль шкалы критериев по произвольному закону.
1. Введение
Принципиальным недостатком всех известных методов анализа многокритериальных задач принятия решений, использующих оценки важности критериев, является то, что само понятие важности критериев формально не определяется и полагается, что человек будет исходить из своего интуитивного понимания, что такое важность [1—3]. Поэтому для оценивания коэффициентов важности человеку предлагается отвечать на вопросы, сводящиеся в итоге к таким: «Во сколько раз один из сравниваемых критериев важнее другого?» или «Какая доля общей важности всех критериев приходится на рассматриваемый критерий?». Проблема состоит в том, что невозможно установить точный смысл, вкладываемый конкретным человеком в ответы на указанные вопросы [4].
Математическая теория важности критериев была создана и продолжает развиваться в России (историю и библиографию см. в [5, 6]). Она опирается на строгие определения понятий равенства критериев в важности, превосходства в важности одного критерия над другим (качественная важность) и превосходства в важности одного критерия над другим в h раз (количественная важность). В этой теории разработаны решающие правила, задающие отношения предпочтения на основе качественной или же количественной информации о важности критериев с учетом информации об изменении предпочтений вдоль шкалы критериев.
В общем случае эти решающие правила являются комбинаторными или же оптимизационными [7, 8] и потому достаточно сложны с вычислительной точки зрения. Однако для задач, в которых все критерии упорядочены по важности, удалось разработать аналитические решающие правила. В [9, 10]
1 Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных
исследований (проект № 12-01-31160) и Лаборатории анализа и выбора решений в рамках
программы фундаментальных исследований НИУ ВШЭ в 2012 г.
4 Автоматика и телемеханика, № 9
97
это сделано для случая порядковой шкалы критериев, т.е. когда известно лишь, что предпочтения вдоль шкалы возрастают. В [11-14] - для случаев, когда дополнительно известно, что рост предпочтений вдоль шкалы критериев замедляется или же, наоборот, ускоряется.
Оптимизационные решающие правила для случая шкалы первой порядковой метрики общего вида были сформулированы в [10, 13]. В [10] решающее правило было сведено к проверке систем линейных неравенств. В настоящей статье представлены аналитические решающие правила для этого случая и рассмотрены условия, при которых они применимы.
2. Математическая модель и сведения из теории важности критериев
Дальнейшее изложение опирается на следующую математическую модель ситуации принятия индивидуального решения в условиях определенности:
М =< т, X, К^о,Я>,
где т - тип постановки задачи (выбрать один наилучший или несколько лучших вариантов, упорядочить все варианты по предпочтительности и т.д.); X - множество вариантов; К = (К\,..., Кт) - векторный критерий, состоящий из т ^ 2 частных критериев Кг; Zо = {1,... ,д} - множество шкальных градаций (шкала критериев) (д ^ 2); Я - отношение нестрогого предпочтения лица, принимающего решение (ЛПР). Под критерием Кг понимается функция, определенная на X и принимающая значения из Zо. Каждый вариант х из множества X характеризуется своей критериальной, или векторной, оценкой у(х) = К(х) = (К\(х),... ,Кт(х)). Поэтому сравнение вариантов по предпочтительности сводится к сопоставлению их критериальных оценок. Множество всех критериальных оценок есть Z =
Предпочтения ЛПР моделируются на Z при помощи отношения нестрогого предпочтения Я, так что у Яг означает, что критериальная оценка у не менее предпочтительна, чем г. Отношение Я является (частичным) квазипорядком, т.е. оно рефлексивно и транзитивно, и порождает отношение безразличия I и (строгого) предпочтения Р следующим образом: у1г ■ у Яг Л гЯу; ■уРг уЯг/\Ящ (запись г-Яу означает, что гЯу неверно). Отношение Я неизвестно и подлежит восстановлению на основе информации о предпочтениях ЛПР, состоящей из сведений об относительной важности критериев и характере изменения предпочтений на Zо.
Будем полагать, что предпочтения вдоль шкалы критериев Zо возрастают, так что (неизвестные) значения ценностей у(к) градаций к удовлетворяют неравенствам
(2.1) у(1) <у(2) <...<у(д).
Если больше никаких ограничений на значения функции у(к) нет, то это означает, что шкала критериев является порядковой. При д ^ 3 в качестве дополнительной информации могут выступать сведения о скорости роста предпочтений вдоль шкалы критериев. Для этого приращения ценности при переходе между соседними градациями Д(к) = у(к + 1) — у(к), к = 1,... ,д — 1,
ранжируются по предпочтительности. На практике часто можно встретиться с законом убывания (информация А или возрастания (А скорости роста предпочтений:
(2.2) А(1) > А(2) >...> А(д - 1) > 0,
(2.3) А(д - 1) > А(д - 2) >...> А(1) > 0.
В общем случае эти приращения А(к) могут быть упорядочены произвольным образом:
(2.4) А(^) ^ А(к2) ^ ... ^ А(Л,_1) > 0
для некоторой перестановки п = (к^ ..., кд-1) множества {1,..., д — 1}. При такой информации А шкала критериев является шкалой первой порядковой метрики (общего вида) [15].
Правило, которое с использованием информации о предпочтениях Г задает на 2 отношение нестрогого предпочтения Яг, называется решающим. При принятом допущении (2.1) на множестве векторных оценок 2 определено отношение Парето Я0
уЯ02 ^ уг ^ 2г, г = 1,..., т.
Однако получить решение многокритериальной задачи в требуемой постановке т только при помощи отношения Парето, как правило, не удается. Поэтому его требуется расширить, привлекая дополнительную информацию об относительной важности критериев.
Качественная информация о важности критериев О есть совокупность сообщений вида («Критерии Кг и К^ равноважны») и г^' («Критерий Кг важнее критерия Kj»). Точные определения этих понятий были даны в [7, 8]. Информация О задает качественные коэффициенты важности критериев аг - положительные числа, в сумме равные 1 и определяемые условиями:
(2.5) г^' € О ^ аг > аj•, € О ^ аг = аj•.
Будем полагать, что информация О полна и непротиворечива, так что все критерии оказываются упорядоченными по важности. В таком случае коэффициенты их важности называются порядковыми, или ординальными. Положим
(2.6) а*(у) = { а0- уг > ¡к, г = 1,..., т, к = 1,...,д - 1.
Пусть а|(у) = (ак1](у),..., а|т](у)) - вектор, полученный из вектора
ак(у) = (а1 (у),..., а^(у)) упорядочением его компонент по невозрастанию: а[1](у) ^ ... ^ а[т](у). Справедливо следующее решающее правило [8,9], задающее на множестве векторных оценок 2 отношение нестрогого предпочтения Яп:
(2.7) уЯП2 ^ а\ (у) ^ ак (г), к = 1,...,д - 1.
4* 99
Здесь и далее неравенства для векторов и матриц понимаются как покомпонентные.
Обозначим через а[1'к^(у) и а[к'д-1^(у) векторы, составленные из компонент первых к и последних д — к векторов ак(у) соответственно:
а[1'к](у) = (оц(у),...,ак (у)), а[к«-%) = (ак (у),..., ад-1(у)), к = 1,...,д — 1.
В предположении существования количественных коэффициентов важности критериев в [14] были предложены решающие правила для случаев, когда рост предпочтений вдоль шкалы критериев замедляется (2.2) или же, наоборот, ускоряется (2.3):
(2.8) уЯпА[г ■ а11'к](у) ^ а11М(г), к = 1,...,д — 1;
уЯпА*г ■ а[к'д-1](у) > а[к'д-1](г), к = 1,...,д — 1.
В [10, 16] предложена другая форма решающих правил (2.7)-(2.8). Разобьем множество М номеров критериев на р ^ т групп М1,..., Мр так, что в каждой группе все критерии равноважны, а критерии из групп с меньшими номерами важнее критериев из групп с большими номерами. Пусть гг - номера последних критериев в каждой г-й группе (отметим, что гр = т). Обозначим число компонент векторной оценки у с номерами г из групп М1,..., Мг таких, что уг > к, через Пкг(у):
(2.9) Пкг (у) = ^ [[уг >к]],
г=1
где [[ехрг]] равно 1, если вхрг верно, и равно 0, если вхрг неверно. Если ввести (д — 1) х р-матрицу п(у) = ||пкг(у) ||, то справедливо следующее решающее правило:
(2.10) уЯпг ■ п(у) ^ п(г).
Используя числа (2.9), введем в рассмотрение числа и матрицы:
п[к^к](у) = п1г (у) + ... + пкг (у), п[(у) = (у)
Пк^-1](у) = пкг(У) + ... + пя-1т (у), п*(у) = пк^-1](у)
В предположении существования количественных коэффициентов важности критериев справедливы решающие правила [10, 16]
(2.11) уЯпА[г ■ п[(у) ^ п[(г); уЯпА*г ■ и*(у) ^ п*(г).
Заметим, что если в решающих правилах (2.7), (2.8), (2.10) или (2.11) нестрогие неравенства для всех компонент выполняются как равенства, то верно у1г, а если хотя бы одно из них является строгим, то верно уРг.
,[1.к],
3. Решающие правила для шкалы первой порядковой метрики общего вида
Далее принимается предположение о существовании количественных коэффициентов важности. При справедливости этого предположения в случаях, когда шкала критериев порядковая или первой порядковой метрики, для сравнения вариантов по предпочтительности можно использовать аддитивную функцию ценности [17], которая для однородных критериев имеет следующий вид [18]:
т
^(у| а, г) = ^ аг^(уг),
г=1
где, как и ранее, аг - коэффициенты важности, г(к) - значения ценности шкальных оценок.
Если значения векторов а = (а1,..., ат) и г = (г(1),... , г(д)) известны, то эта информация порождает на 2 отношение нестрогого предпочтения -полный квазипорядок Яа:
(3.1) уЯа*2 ^ ^(у| а, г) ^ ^(2| а, г).
Если же для векторов а и г известны лишь (непустые) множества возможных значений А и V соответственно, то такой информации соответству
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.